LA DANZA M

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LA DANZA MÁGICA DE F
Y EL CRECIMIENTO HOMOTÉTICO
Una Mirada Matemática sobre las Formas
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En Progresión Geométrica
El triángulo es el único polígono que viene
determinado por sus lados. Es decir, dados tres
segmentos -tales que la suma de dos cualesquiera
sea superior al otro- existe un único triángulo
que los tiene por lados. Nos preguntamos, ahora,
cuántas formas triángulares existen que tengan
sus lados en progresión geométrica. Como no nos
importa el tamaño, reducimos en una las variables
y tomamos un lado de longitud unidad. Además,
basta considerar el caso en que la progresión sea
creciente, pues estos dos triángulos son
semejantes, por tener sus lados proporcionales
r
r-1
1
r-2
r2
1
3
con unos LÍMITES.
Evidentemente, la condición de que la suma de dos
cualesquiera de los lados sea superior al otro
pone límites a los valores que puede tomar la
razón r (r 1) de la progresión geométrica en
cuestión.
r2 r 1 ? r2 r 1 0 ?
Como hemos dicho, dada una razón r 1, que
cumple esa condición, r-1 1, conduce a la misma
solución, sólo que en este caso los lados están
en progresión geométrica decreciente. En este
caso el límite inferior sería
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Triángulos geométricos
Es decir, EXISTEN INFINITAS FORMAS TRIANGULARES
QUE TIENEN SUS LADOS EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA. Cada uno de ellas caracterizada por
la razón de la progresión geométrica creciente en
que tiene sus lados. Pero los valores que puede
tomar esta razón tiene unos límites, los límites
que marca el siguiente intervalo semicerrado
O bien,
Donde f0,618033 y F 1,618033..
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y muy especiales.
Veamos dos FORMAS particulares. EQUILÁTERA
RECTÁNGULAR
1
1
F
1
1
r 1 r

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La Sección Áurea
En el límite, los lados colapsan formando un
segmento de línea recta, y en vez de un triángulo
tenemos LA SECCIÓN DE UN SEGMENTO en PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA. Así
r2
1
r
O bien, r2 r 1 ? r .5 .5 5.5 F
Se trata de una SECCIÓN en media y extrema
razón El total es a la parte mayor, como la
mayor a la pequeña
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y su Danza Mágica.
Y, hora, un poquito de presión produce una
ROTACIÓN MÁGICA del segmento mayor alrededor del
menor. Se trata de una DANZA muy especial, de la
que estudiaremos cuatro pasos.
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Primer paso 90º (la rectitud)
F
90º
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El Rectángulo Áureo
F
largura
anchura
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El Crecimiento Homotético
Si tenemos una figura geométrica (el germen),
llamaremos GNOMON de esa forma a toda otra que
por yustaposición con la primera produzca otra
figura semejante a la inicial. Por ejemplo, el la
figura adjunta se muestra el gnomon del cuadrado
(lo que justifica su nombre)
El GNOMON (que tiene raiz de conocimiento) era el
instrumento astronómino, compuesto de un estilo
vertical y un círculo horizontal, con el cual se
determinaban el acimut y altura del Sol (antiguo
reloj de sol babilonio). Con el tiempo, pasó a
llamarse gnomon sólo a la varilla o estilo que
produce la sombra en los relojes de sol y a la
escuadra de los carpinteros (que eran piezas
similares)
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del Rectángulo Áureo
Nos preguntamos ahora qué forma produce el
crecimiento homotético del rectángulo áureo. De
la figura Se desprende que se trata de un
CUADRADO.
F
12
El Germen o la Semilla
Y ya que F2 F 1 Tenemos que F2 F 1
F F F 1
F

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y el GNOMON
F
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El Juego de la Homotecia
F
15
recreando Germen y Gnomon
F
16
En un Espectáculo Mágico
F
17
que no tiene principio ni final.
F
18
Es el Juego de la Homotecia
F
19
aspirando a ser CONTINUA.
En la ESPIRAL DE ALBERTO DURERO
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GEOMÉTRICA y aritmética?
Existe alguna Progresión Geométrica que sea
Aritmética? Sea 1, r, r2, r3, r4, r5, r6,
r7. (razón r) Exijamos que también sea
Progresión Aritmética. Es decir, r-1 r2-r
(razón d) ? r 1 (d0) ?
CONSTANTE Existe alguna Progresión Geométrica
que participe de la Esencia Aritmética?
Exijamos, por lo menos, que sea Sumativa de
Dos Tiempos. Es decir, 1r r2, que hará
hereditario que cada término sea suma de los
dos anteriores. Un poco de álgebra nos
conduce a
F
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SÓLO UNA, que se realiza
Todas la Progresiones Sumativas de dos tiempos
convergen hacia una geométrica de razón F Sea
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. una
progresión sumativa de dos tiempos (Tipo
Fibonacci) Puen bien, termina convirtiéndose
siempre en una aproximación muy buena de una
sucesión geometrica de razón F. En efecto,
an/an-1 ? F
de forma NATURAL bajo condiciones muy generales.
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Dicho de OTRA FORMA
Este Rectángulo Fibonacci CONVERGE RÁPIDAMENTE
A éste otro EL RECTÁGULO ÁUREO
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o de OTRA MÁS.
Esta Espiral Fibonacci CONVERGE RÁPIDAMENTE
A ésta otra LA ESPIRAL DE DURERO. Que difiere
muy poco de la ESPIRAL ÁUREA (en verde), quien sí
realiza el ideal de LA HOMOTECIA CONTINUA
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El baile prosigue armonioso
mediatriz
F
108º
con un segundo paso 108º
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hasta el Triángulo Isósceles Sublime
a
Y su PROPIEDAD CARACTERÍSTICA los ángulos están
en proporción 122
2a
2a
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Con su crecimiento homotético
Nos preguntamos ahora qué forma produce el
crecimiento homotético de este Triangulo
Isósceles Sublime. De la figura Se
desprende Que se trata de otro TRIÁNGULO
ISÓSCELES.
a
a
2a
2a
3a
a
a
a
2a
2a
27
Germen y Gnomon
a
a
a
2a
2a
3a
a
a
2a
2a
3a
a
28
vuelven a recrear la Spira Miriabilis
o casi!, tarareando
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Eadem Mutata Resurgo
MUTANTE Y PERMANENTE VUELVO A RESURGIR SIENDO LA
MISMA
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La AUTOSEMEJANZA
x 1/F2
1/F
1/F2
x 1/F
1/F
1/F
1
1
Serie geométrica de triángulos semejantes (todos
sublimes)
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y la IRRACIONALIDAD.
1/F3
1/F2
1/F2
1/F
1/F
1
1
1 1/?2 1/?3 1/?4 1/?5 1/?6
32
Yendo otro poquito más allá
?
con el Tercer Paso ?
33
Hasta el Triángulo Rectángulo Áureo
ó Triángulo de Kepler
El Único Triángulo Rectángulo que tiene sus lados
en Progresión Geométrica
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Con Regla y Compás
y el TEOREMA DE LA ALTURA, construimos , y
1
35
descubrimos su GNOMON
Otro Triángulo Rectángulo SEMEJANTE
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Un crecimiento homotético mágico
1
F
F
1/F
F
1
F2
(1 F)2 F4 F2 F3 F2 (1 F)
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que desvela la IRRACIONALIDAD
1
1
1/?2
1/?3
F
1/F
38
La Gran Pirámide de Guiza
Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le
habían enseñado que las proporciones establecidas
en la Gran Pirámide eran tales que
El cuadrado de la altura de la pirámide es igual
al área de cada una de las caras triangulares.
Es decir ( 1 )
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo POM
Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y
dividiendo por se tiene
Tenemos la ecuación del numero Áureo
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y su Trazado Director
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Otro pasito palante
144º
y la Cuarta Posición 144º
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Hasta el Triángulo Sublime Mayor
El Número de su Forma
Mod F-1 f
Y su PROPIEDAD CARACTERÍSTICA los ángulos están
en proporción 113
1
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Su GNOMON un viejo conocido.
El Triángulo Sublime Menor
a
2a
F
a
3a
a
2a
1
43
La Clave está en el 5!
.5 .5 5.5 F
1
44
Uno, Dos Triángulos Mayores
3a
a
a
a
a
3a
1
45
y otro Triángulo Sublime Menor
3a
a
a
a
2a
a
2a
3a
a
1
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La Pentalfa, Pentáculo o Pentagrama
F
1/F2
47
Las Copas Sagradas
a
a
2a
2a
a
a
3a
xF
3a
3a
a
a
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LA DANZA DE MÁGICA DE F
F2
F
1
1/F
1/F2
F4
F3
GIRO de 108º y EXPANSIÓN F
49
nos desvela su SECRETO
GIRO de 180º y CONTRACCIÓN F
Quede esto así, escenificado para ti.