Variables estad

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Variables estadísticas bidimensionales

• Se trata de variables que surgen cuando se
  estudian dos características asociadas a la
  observación de un fenómeno.

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Variables estadísticas bidimensionales

• Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y
  el peso, medido en kg. de un grupo de 10
  personas, podemos obtener los siguientes valores

Talla (cms) 160 165 168 170 171 175 175 180 180 182
Peso (kgs) 55 58 58 61 67 62 66 74 79 83
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• Podemos llamar X a la talla e Y al peso con lo
  que se obtendría la variable bidimensional (X, Y)
  que toma 10 valores, que son las 10 parejas de
  valores de la tabla anterior (160,55), (165,58),
  etc.

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Variables estadísticas bidimensionales

• En algunos casos el número de "parejas" de
  valores (x,y) es grande y además muchos de ellos
  aparecen repetidos en este caso se utiliza una
  "Tabla de doble entrada" como la que se muestra a
  continuación en el ejemplo 2
• En la primera fila se colocan los valores de una
  de las características o variable que componen la
  variable bidimensional y en la primera columna
  los de la otra.

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Variables estadísticas bidimensionales

• Ejemplo 2.- Se representa por X el número de
  hijos de 100 familias y por Y el número de hijas

de hijas (Y) 0 1 2 3
de hijos (x) ----------- ---- ---- ---- ---
0 ----------- 10 15 15 3
1 ----------- 10 12 7 2
2 ----------- 8 4 3 1
3 ----------- 3 2 1 0
4 ----------- 2 1 1 0
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Variables estadísticas bidimensionales

• La lectura de esta tabla es sencilla. Por
  ejemplo habría 7 familias que tendrían 1 hijo y
  2 hijas y ninguna familia tendría 3 hijos y 3
  hijas.

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Representación gráfica

• Diagramas de dispersión o nubes de puntos

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Variables Estadisticas Bidimencionales

• Covarianza
• Correlacion

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Diagramas de dispersión o nubes de puntos

• La representación gráfica de este tipo de
  variables es en realidad semejante a la
  respresentación de puntos en el plano, usando
  unos ejes de coordenadas. Cada pareja de valores
  da lugar a un punto en el plano y el conjunto de
  puntos que se obtiene se denomina "diagrama de
  dispersión o nube de puntos".

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Diagramas de dispersión o nubes de puntos

• En el ejemplo 1 anterior en el que se estudiaba
  la talla y el peso de 10 personas se obtendría el
  siguiente diagrama de dispersión (En el eje X se
  representa la talla en cm. y en el eje Y el peso
  en kg.)

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Diagramas de dispersión o nubes de puntos

• Se puede ver en el primera figura que
  correspondía al diagrama de talla - peso que la
  serie de puntos presenta una tendencia
  "ascendente" . Se dice en este caso que existen
  entre las dos variables una "dependencia directa"
  .
• En caso en que la tendencia sea "descendente" se
  diría que estaríamos ante una " dependencia
  inversa "
• Naturalmente en caso en que no se pueda observar
  una tendencia clara estaríamos ante una
  dependencia muy débil que no se puede observar
  mediante la nube de puntos

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Diagramas de dispersión o nubes de puntos
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Covarianza y su interpretación
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Covarianza

• Sean (xi, yi ) pares de observaciones de dos
  caracteristicas X y Y, y sean sus
  respectivas medias. La covarianza entre entre las
  dos variables se define por

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Covarianza

• Donde xi e yi representan los pares de valores de
  la variable y el producto corresponde al
  producto de las medias aritméticas de las
  variables x e y respectivamente.

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• Pasos para calcular la covarianza de una serie de
  eventos
• Paso 1 Se calcula Sxiyi , esto es la
  sumatoria de los productos de las variablares
  x y y o sea
• (x1 y1) (x2 y2) ...
  (xn yn )
• Paso 2 se define n, que el numero de eventos o
  el numero de pares de cariables
• Paso 3 Se calcula , que es el producto
  de las medias de ambas variables
• Paso 4 Obtenidos todos los datos se sustituyen
  en la formula y se obtiene el resultado

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Calculemos la covarianza para el ejemplo primero
correspondiente a la variable talla - peso

• Paso 1
• La suma de todos los productos de los valores
  de x (talla) por los de y (peso) sería
• 160 55 165 58 168 58 170 61 171
  67 175 62 175 66 180 74 180 79
  182 83 114987
• Paso 2
• Definimos n como el numero de eventos en este
  caso es 10

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Paso 3 A este valor debemos restarle el
producto de las medias de ambas variables que
naturalmente sabes calcular Media de x (talla)
172.6
172.6 66.3 11443.38
Media de y (peso) 66.3 De acuerdo ala formula
tenemos que
Sxy (114987 / 10 ) 11443.38
Sxy 55.32 Hemos obtenido un
valor positivo para la covarianza que corresponde
a una dependencia directa como ya habíamos
intuido con la nube de puntos
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Regresion y Correlacion
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Recta de regresion

• Relacion entre dos variables
• Variable independiente x
• Variable dependiente y
• función lineal del tipo y ax b, su gráfica
  correspondería a una recta
• recta de regresión.

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se deduce que la recta de regresión debe pasar
por el punto correspondiente a las medias de
ambas variables y que debe tener por pendiente la
covarianza dividida por la varianza de la
variable x. Con ello la expresión de la recta de
regresión será
Esta es la llamada "Recta de regresión de y sobre
x". Si se deseara estudiar la dependencia de x
respecto a y sólo habría que cambiar en la
expresión de la recta x por y, obteniéndose la
recta regresión de x sobre y
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En la imagen siguiente se muestra la recta de
regresión de y (peso) sobre x (talla) del ejemplo
1 de este tema. En este caso se supone que
represente cómo depende el peso de una persona de
su talla
Si recordamos que entre la talla y el peso
decíamos que existía una dependencia directa, la
recta de regresión lo confirma ya que su
pendiente es positiva a medida que aumenta la
talla aumenta el peso. Por tanto
Dependencia directa - Pendiente de la recta
positiva - Función creciente
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Utilidad tiene la recta de regresión

• Mediante la recta de regresión podríamos obtener
  de manera aproximada el valor de la variable
  dependiente (y) de la que conociéramos la
  variable independiente (x), en una población
  semejante a aquella de la que se ha obtenido la
  muestra
• De manera más precisa, si conocemos la expresión
  de la recta de regresión, se pueden calcular
  valores para la variable y, conocidos los de x,
  como si se tratara de una función

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Ejemplo Si observamos la gráfica, podríamos
suponer por ejemplo que una persona de 185 cm
pesaría algo más de 80 kg
De acuerdo ala formula

• La recta de regresión de la variable y (talla)
  sobre x (peso) será la recta
• que pasa por el punto (172,6 66,3) (medias
  repectivas de (x,y))
• tiene de pendiente 55.32 / 50.71 1.0909
• Recta y 66.3 1.0909 ( x 172.6) que
  operando y simplificando queda
• y 1.0909x 121.9

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El valor del peso que suponíamos aproximado para
una talla de 185 cm sería Peso 1.0909 185
121.9 79.9 Este valor obtenido es algo menor
al esperado. Eso quiere decir que las
predicciones hechas con la recta de regresión no
son exactas. Mas adelante precisaremos la
"fiabilidad" de las mismas. Por tanto la recta
de regresión se puede utilizar para realizar
predicciones para la variable y a partir de
valores conocidos de la variable x.
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Coeficiente de correlacion
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• Una vez observado que en una variable
  bidimensional existe una cierta dependencia entre
  las dos características o variables que la forman
  (nube de puntos y covarianza), podemos precisar
  el grado de dicha dependencia.
• - Si los puntos de la nube estuvieran todos sobre
  la recta de regresión se diría que existe una
  dependencia funcional. De su estudio se encargan
  las funciones.
• - Si los puntos no están todos sobre la recta de
  regresión se dice que entre las variables hay una
  cierta correlación lineal. Este es el caso que
  nos ocupa. Para cuantificar el grado de dicha
  correlación se usa el

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Coeficiente de correlación de Pearson. Si le
llamamos r, su valor es Puede observarse
que el signo del coeficiente de correlación es el
mismo que el de la covarianza y puede deducirse
que el valor del mismo esta comprendico entre -1
y 1. Se pueden deducir las siguientes
conclusiones relativas al coeficiente de
correlación (r) - Su signo es el mismo de la
covarianza, luego si r es positivo la dependencia
es directa y si es negativo inversa. - Si r se
acerca a -1 o a 1, la dependencia es fuerte y
por tanto las predicciones que se realicen a
partir de la recta de regresión serán bastante
fiables. - Si r se acerca a 0 la dependencia es
débil y por tanto las predicciones que se
realicen a partir de la recta de regresión serán
poco fiables
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Ejemplo Calcularemos la correlacion para el
ejemplo de las tallas y los pesos
Sxy 55.32 Sx 50.71 Sy 752.81
r 55.32 / (50.71 752.81) r 0.0014
r se acerca a 0 la dependencia es débil y por
tanto las predicciones que se realicen a partir
de la recta de regresión serán poco fiables
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Ejercicios

• Covarianza
• Correlacion

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Ejercicio 1En el ejemplo 2 (hijos - hijas) se
puede comprobar que también la covarianza es
positiva. (Se deja como ejercicio la
comprobación). Téngase en cuenta que en este caso
la variable bidimensional toma "100 valores"

• Ejercicio 2De la siguiente tabla de las perdidas
  
• Esperadas. En rendimiento de soya por riego
• Inoportuno Obtenga
• La covarianza
• Tipo de dependencia
• correlacion

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Partimos de la escena siguiente, en la que se
pueden ver inicialmente la nube de puntos de la
variables bidimensional que toma los siguientes 6
pares de valores

• Ejercicio 3
• - A la vista de la nube de puntos qué tipo de
  dependencia se puede suponer?
• Calcular la covarianza y confirmar la afirmación
  anterior
• Calcular el valor de y si se sabe que x 15
• calcular la correlacion