Circuitos Elctricos I

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III. Conjuntos

• Conjuntos y subconjuntos
• Operaciones y leyes de la teoría de conjuntos
• Conteo y diagramas de Venn
• Inducción matemática

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Módulo 3
1. Conjuntos y subconjuntos Conjunto Colección
bien definida de objetos llamados elementos que
se dice son miembros del conjunto. Debe definirse
un Universo U. Si A x, 1 x 5,
entoncespara U Z A 1, 2, 3, 4, 5para U
R A 1, 5para U Z pares A 2, 4
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Módulo 3
Conjuntos finitos. U Z Conjuntos
infinitos Cardinalidad Número de elementos en
un conjunto
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Módulo 3
Si C, D son conjuntos del universo U, se dice que
C es un subconjunto de D y se escribesi todo
elemento de C es un elemento de D. Si además, D
contiene un elemento que no está en C, entonces C
es un subconjunto propio de D y se denota Para
estos conjuntos C y D del universo U,
sientoncesy
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Módulo 3
Para todos los subconjunto C y D de U,
si Entonces sipero no es verdad que si
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En las primeras versiones de ANSI-FORTRAN no
habia distinción entre letrasmayúsculas y
minúsculas, y una variable consistía de una letra
seguida por a lo más cinco caracteres (letras o
dígitos). Si U es el universo de todos los
nombres de variables, entonces cuál es U si
tenemos 26 letras?
Y si una variable entera debe iniciar con alguna
de las letras I, J, K, L, M, N donde A es el
conjunto de todas las variables enteras cuánto
vale A ?
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Módulo 3
Para un universo dado U, se dice que los
conjuntos C y D (tomados de U) son iguales, y lo
denotamos C D, cuando
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Módulo 3
Seana) Si entonces b) Si entonces c)
Si entonces d) Si entonces
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Módulo 3
El conjunto vacío o conjunto nulo, es el único
conjunto que no contiene elementos y es denotado
por ó Para cualquier universo U,
sea Entonces entonces
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Módulo 3
Si A es un conjunto del universo U, el conjunto
potencia de A, P(A), es la colección de todos los
subconjuntos de A. Para cualquier conjunto
finito A con A n 0, A tiene 2n
subconjuntos, entonces P(A) 2n.
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Módulo 3
Conjuntos de números
Enteros Naturales Enteros positivos Racionales Rac
ionales positivos Racionales diferentes de
cero Reales Reales positivos Reales diferentes de
cero Complejos Complejos diferentes de cero
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Módulo 3
2. Operaciones y leyes de la teoría de
conjuntos. La adición y multiplicación de enteros
positivos son operaciones binarias cerradas en
Z. La división no está cerrada para Z. La
negación es una operación unaria. Para
definimos Unión Intersección Diferencia
simétrica Todas son operaciones binarias en P(U)
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Módulo 3
Sean . Los conjuntos S y T son llamados
disjuntos ó mutuamente disjuntos cuando Si
entonces S y T son disjuntos si y solo
si Para un conjunto , el complemento de A,
denotado U A ó A,está dado por Para el
complemento relativo de A en B, denotado B A,
está denotado por Para cualquier universo U y
cualquier conjunto las siguientes
declaraciones son equivalentes
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Leyes de la teoría de conjuntos.
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Módulo 3
Leyes de la teoría de conjuntos. Sea S una
declaración relacionada con la igualdad de dos
expresiones de conjuntos. Cada una de dichas
expresiones puede involucrar una o más
ocurrencias de los conjuntos (tales como A, A, B,
E, etc.), una o más ocurrencias de Ø y U, y solo
a los símbolos de operación de conjuntos n y U.
El dual de S, denotado Sd se obtiene a partir de
S reemplazando cada ocurrencia de Ø y U en S por
U y Ø respectivamente y cada ocurrencia de n y U
por U y n respectivamente. Principio de
dualidad. Sea S que denota un teorema relacionado
con la igualdad de expresiones de conjuntos
(involucrando las operaciones n y U). Entonces
Sd, el dual de S, es también un teorema.
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Módulo 3
Representación en diagramas de Venn. Tablas de
membresía Simplificación
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Módulo 3
Sea I un conjunto no vacio y U el universo. Para
cadasea . Entonces I se denomina
conjunto índice y cada es llamado un
índice. Bajo estas condiciones Si I es Z
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Módulo 3
Generalización a las leyes de De Morgan. Sea I un
conjunto índice donde cada Si entonces
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Módulo 3
3. Conteo y diagramas de Venn Tenemos una clase
con 50 estudiantes, 30 estudian C, 25 estudian
Java, 10 estudian ambos lenguajes. Cuántos
estudian algún lenguaje?
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Módulo 3
Una compuerta AND puede presentar los siguientes
defectos D1 La entrada I1 se atasca en 0 D2 La
entrada I2 se atasca en 0 D3 La salida O se
atasca en 1 De una muestra de 100 compuertas
tenemos que A, B y C son subconjuntos con los
defectos D1, D2 y D3 respectivamente
donde Cuántas compuertas tiene al menos un
defecto?
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Módulo 3
Un estudiante acude a los videojuegos cada día
después de la escuela y juega uno de los
siguientes juegos Laser Man, Millipede ó Space
Conquerors De cuántas maneras puede jugar una
vez cada día de modo que juegue cada juego al
menos una vez durante los cinco dias de la semana?
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Módulo 3
4. Inducción matemática Técnica empleada para
demostrar la validez de teoremas o proposiciones
de la forma donde U Z. La demostración
consiste en dos pasos Paso base Se muestra que
la proposición P(1) es verdadera. Paso de
inducción Se muestra que la implicación P(k) ?
P(k1) es verdadera para todo entero positivo
k. P(k) es la hipótesis de inducción. Expresada
como regla de inferencia tenemos
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Módulo 3
Nota En una demostración con inducción
matemática no se supone que P(k) es verdadera
para todos los enteros positivos. Sólo se muestra
que si se supone que P(k) es verdadera, entonces
P(k1) es también verdadera. Por lo tanto, una
demostración por inducción no es un caso de
razonamiento circular.
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• Demuestra que la suma de los n primeros enteros
  positivos impares es n2.
• Demuestra para todo entero positivo n la
  desigualdad n lt 2n.
• Demuestra que n3-n es divisible por tres siempre
  que n sea entero positivo.
• Demuestra que 1222232n 2n1-1.
• Demuestra la siguiente fórmula
• Los números armónicos se definen comoDemostrar
  para todo entero no negativo n que

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• Demuestra que si S es un conjunto finito con n
  elementos, tiene 2n subconjuntos.
• Demuestra que si n es un entero positivo 1 2
  3 ... n n(n1)/2.
• Demuestra que 2n lt n!, si n 4.
• Demuestra que para A1, A2, , An subconjuntos
  del universo U y n 2.

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Módulo 3
Inducción fuerte. La demostración consiste
también de dos pasos Paso base Se muestra que
la proposición P(1) es verdadera. Paso de
inducción Se muestra que P(1)P(2)
P(k) ? P(k1) es verdadera para todo entero
positivo k.
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Módulo 3
La propiedad del buen orden. La validez de la
inducción matemática se basa enel siguiente
axioma fundamental sobre el conjunto de los
enteros. Todo conjunto de enteros no negativos
tiene un elemento mínimo. A menudo esta
propiedad se utiliza directamente sobre las
demostraciones.
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Módulo 3
Descenso infinito. Este método se emplea para
demostrar que dad una función proposicional P(n),
P(k) es falsa para todos los enteros positivos
k. Si P(k) es verdadera para al menos un entero
k, la propiedad del buen orden garantiza que hay
un mínimo entero positivo s tal que P(s) es
verdadera. El método consiste en encontrar que
un entero positivo s, tal que s lt s para el que
P(s) es verdadera. Sigue que P(n) debe ser falsa
para todo entero positivo. Este método se suele
emplear para demostrar que ciertas ecuaciones no
tienen soluciones enteras.