Espacios de dimensi

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Espacios de dimensión infinita

• El espacio de Hilbert
• Espacios de Funciones
• Espacios L2
• Bases de espacios L2
• Bases ortogonales
• Series de Fourier
• Aproximación de Funciones
• Polinomios de Legendre

Curso Propedéutico de Matemáticas DEPFIE M. C.
José Juan Rincón Pasaye
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El Espacio de Hilbert

• El espacio R? contiene las sucesiones de números
  reales de la forma x1,x2,x3,..., por ejemplo
• 0, 3, 6, 9, 12, 15,... (sucesión aritmética)
• 1, ½, ¼, 1/8, ... (Sucesión geométrica)
• 1, ½, 1/3, ¼, ... (Sucesión armónica)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8,... (Sucesión de Fibonacci)
• 0, sen(1), sen(2), sen(3),....
• Etc..

Este espacio es demasiado grande y con pocas
propiedades interesantes, ya que la norma de sus
vectores puede ser infinita.
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El Espacio de Hilbert

• Si nos restringimos a considerar solamente
  sucesiones de longitud finita o norma
  euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial
  llamado Espacio de Hilbert o espacio l2.
• Así, un vector x1,x2,x3,... está en el espacio
  de Hilbert si x2x12x22x32,... Es un
  número finito.

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El Espacio de Hilbert

• Ejemplo Averiguar si la sucesión geométrica de
  razón q q0,q1,q2,q3,..., pertenece al espacio
  de Hilbert
• Solución Sea S 1q2q4q6...q2n
• Es fácil ver que q2S S-1q2n2, despejando S
• Tomando el límite cuando n ?? , la suma es finita
  si y sólo si qlt1.

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El Espacio de Hilbert

• Tarea Averiguar si la sucesión siguiente
  p,?2p,?3p,?4p,... pertenece al espacio de
  Hilbert. Para ello,
• Sea S p22p23p2...np2. Encontrar una
  expresión compacta para S.
• Tomar el límite de S cuando n ??.
• Concluir para diferentes casos de p.

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El Espacio de Hilbert

• El espacio de Hilbert es de interés especial
  porque en él está bien definido el producto
  interno (no se hace infinito).
• Así, para dos vectores arbitrarios x
  x1,x2,x3,..., y y1,y2,y3,... en este
  espacio
• ltx,ygt x1y1x2y2x3y3... lt?

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El Espacio de Hilbert

• De hecho, al igual que en todo espacio vectorial,
  se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy
• ltx,ygt ? x y
• Y como x, y tienen norma finita, ltx,ygt será
  finito.

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El Espacio de Hilbert

• Ejemplo qué significa la desigualdad de
  Schwartz para vectores en R3?
• Solución. Sean dos vectores arbitrarios en R3,
  xx1,x2,x3, y y1,y2,y3, la desigualdad de
  Schwartz garantiza que
• x1y1x2y2x3y32 ? (x12x22x32)(y12y22y32)
• Por ejemplo, sean x1 2 3, y 4 5 6, la
  desigualdad da 1024 ? (14)(77)1078

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El Espacio de Hilbert

• Tarea
• Usando la desigualdad de Schwartz en Rn,
  demostrar que para cualesqiera n números
  x1,x2,...,xn, se cumple que
• x1x2...xn2 ? n (x12x22...xn2)
• Dar un ejemplo en R3.
• 2) Demostrar que la desigualdad de Schwartz se
  convierte en igualdad cuando los vectores son
  Linealmente Dependientes en Rn. Dar un ejemplo en
  R3.

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Espacios de Funciones

• Los vectores en el espacio R? se pueden pensar
  como funciones evaluadas en valores discretos de
  una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica
• 1, 1/2, 1/4, 1/8,...
• es la función f(x)(1/2)x, valuada en
  x0,1,2,3,...
• En forma similar, la sucesión aritmética
• 2, 4, 6, 8, 10,...
• Se expresa como la función f(x) 2x2 valuada en
  x0,1,2,3,...

y qué pasa si x toma valores continuos?
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Espacios de Funciones

• Si x toma valores continuos en el intervalo de
  números reales a,b los vectores se transforman
  en funciones de valor real en ese intervalo.
• Sin embargo, este conjunto de funciones es
  demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son
  de interés, especialmente los de funciones de
  norma finita.

Pero y ... Como se define la norma de una
función?
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Espacios de Funciones

• La manera natural de redefinir el producto
  interno para funciones, es transformando la
  sumatoria en una integral, así, para las
  funciones f, g definidas en el intervalo a,b
• De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

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Espacios de Funciones

• Ejemplo Para las funciones f(x) sen(x),
  g(x)cos(x), definidas en el intervalo 0,2?
• Producto interno 0, es decir, son
  funciones ortogonales.
• Normas ??
• ??
• Normalización las siguientes funciones son
  ortonormales

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Espacios de Funciones

• Ejemplo
• Cuál es el ángulo q entre las funciones del
  ejemplo anterior? , es decir, q90
• cuál es la proyección ortogonal de la función
  h(x) sin(xq) sobre sin(x)?
• cos(q) sin(x)
• Lo cual era de esperarse, porqué?

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Espacios de Funciones

• Tarea
• Cuál es el ángulo de la función h(x)cos(xq),
  respecto a f(x)sin(x)?
• Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f?
• y sobre g(x)cos(x)?
• Cuál es la norma de h(x)?

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Espacios L2

• Las Normas lp definidas para vectores en R? se
  transforman en las normas Lp que se definen para
  una función f(x) en el intervalo a,bcomo sigue
• Así, las funciones de norma L2 finita conforman
  el conjunto de funciones de cuadrado integrable o
  Espacio L2.

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Espacios L2

• Ejemplo Para que valores de r la siguiente
  función está en L2 considerando el intervalo
  0,1?
• f(x) xr
• Solución como
• Entonces la función xr pertenece a L2 si y sólo
  si
• r gt -1/2

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Espacios L2

• La siguiente gráfica representa la función
  f(x)xr para diferentes valores de r

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Bases de Espacios L2

• Si tuvieramos una base para un espacio de
  funciones podríamos expresar cualquier función
  como una Combinación Lineal (serie) de funciones
  de la base.
• Algunas bases comúnmente utilizadas son
• 1,x,x2,x3,... ? Series de Taylor
• 1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...?Series de Fourier
• 1,senxcosx,sen2xcos2x,...?Series de Hartley

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Bases Ortogonales

• Dada una base f1,f2,f3,... de L2 es posible
  obtener la serie correspondiente de una función
  arbitraria f calculando los coeficientes
  c1,c2,... de dicha serie
• f c1f1c2f2c3f3...
• Esto en general es complicado, pero si la base es
  ortogonal el problema se vuelve simple.
• De hecho, el planteamiento es válido para
  cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes
  calculados no son más que las coordenadas del
  vector f en la base dada.

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Bases Ortogonales

• Sea por ejemplo b1,b2,b3,...bn una base de Rn,
  y sea xx1,x2,x3,...,xn un vector arbitrario en
  Rn, entonces
• x c1b1c2b2c3b3...cnbn
• Si la base no es ortogonal, esto conduce a un
  sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
• Pero si la base es ortogonal, tomando el producto
  interno con b1 tenemos
• ltx,b1gt c1ltb1,b1gtc2ltb1,b2gt...cnltb1,bngt
• De donde

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Bases Ortogonales

• En forma similar
• Y si la base es ortonormal las expresiones se
  reducen a

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Bases Ortogonales

• Ejemplo En R2, sea la base
• Verificar que es una base ortonormal
• Encontrar las coordenadas del vector arbitrario
  xx1,x2 en esta base.
• Solución
• En efecto, ltb1,b1gtltb2,b2gt1 y ltb1,b2gt0.
• c1 ltx,b1gt (x1-x2)/?2
• c2 ltx,b2gt (x1x2)/?2

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Bases Ortogonales

• Tarea
• En R2, proponer una base ortonormal diferente a
  la del ejemplo anterior y encontrar las
  coordenadas del vector arbitrario xx1,x2 en
  dicha base.
• Sea b1,b2,...bn una base no ortogonal de Rn, y
  sea xx1,x2,...,xn un vector arbitrario en Rn,
  usar el producto interno para expresar la matriz
  A del sistema Acx, donde x es el vector
  arbitrario y c es el vector de las coordenadas
  c1,c2,...,cn de x la base dada

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Series de Fourier

• Al igual que en cualquier espacio vectorial, en
  L2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de
  las coordenadas de un vector arbitrario.
• Una base ortogonal en el intervalo 0,2p para L2
  es la siguiente
• 1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...
• Ya que

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Series de Fourier

• Así, una función arbitraria f(x) definida en el
  intervalo 0,2p, se puede expresar en ese
  intervalo como Combinación Lineal (Serie de
  Fourier) de las funciones de la base anterior,
  como
• f(x)a0a1cos(x)a2cos(2x)a3cos(3x)...
• b1sen(x)b2sen(2x)b3sen(3x)...
• Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,..
  .
• Son las coordenadas de la función f(x) en la base
  dada y se calculan como ya se dijo, es decir

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Series de Fourier

• Para k0,1,2,3,4,...
• La serie obtenida para f(x) será válida solamente
  en el intervalo 0,2p si f(x) está en L2.
• Si queremos generalizar la serie de Fourier para
  cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las
  condiciones de Dirichlet

28
Series de Fourier

• Ejemplo Encontrar la serie de Fourier para la
  siguiente función

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Series de Fourier

• Solución Calculamos los coeficientes ak
• en forma similar para los coeficientes bk
• Por lo cual, la serie de fourier queda

30
Series de Fourier

• En la siguiente figura se muestran la primera y
  la quinta componentes de la serie

31
Series de Fourier

• El Fenómeno de Gibbs

32
Series de Fourier

• El Fenómeno de Gibbs

33
Series de Fourier

• El Fenómeno de Gibbs

34
Series de Fourier

• El Fenómeno de Gibbs

35
Series de Fourier

• Tarea 1) Obtener la serie de Fourier para la
  siguiente función
• 2) Hacer un programa en Matlab para ilustrar el
  fenómeno de Gibbs para la función del inciso
  anterior

36
Series de Fourier

• Funciones Pares e Impares
• Una función par es una función simétrica respecto
  al eje vertical, es decir, f(x) es par si
• f(x) f(-x)

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Series de Fourier

• En forma similar, una función f(x) se dice
  función impar si es simétrica respecto al origen,
  es decir, si cumple lo siguiente
• -f(x) f(-x)

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Series de Fourier

• Ejemplo Las siguientes funciones son pares o
  impares? f(x) x1/x, g(x)1/(x21), h(x)i(x2)
  donde i es una función arbitraria.
• Solución
• Como f(-x) -x - 1/x -f(x), f es función
  impar.
• Como g(-x)1/((-x)21)1/(x21)g(x), g es
  función par.
• Como h(-x) i((-x)2) i(x), h es función par.

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Series de Fourier

• Tarea Las siguientes funciones son pares o
  impares? f(x)x3-1/x, g(x)x2/(x21),
  h(x)i(x21) donde i es una función arbitraria.
  Verificar en cada caso con la gráfica de la
  función en el intervalo -1,1, en el caso de la
  función i proponerla arbitrariamente para
  graficar.

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Series de Fourier

• Como la función sen(kx) es una función impar para
  todo k?0 y la función cos(kx) es una función par
  para todo k, es de esperar que
• Si f(x) es par, su serie de Fourier no contendrá
  términos seno, por lo tanto bk0 para todo k
• Si f(x) es impar, su serie de Fourier no
  contendrá términos coseno, por lo tanto ak0
  para todo k

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Aproximación de Funciones

• En ocasiones se busca expresar una función f(x)
  en términos de otra función, o funciones más
  sencillas, esto es especialmente útil para
  simplificar cálculos o modelar comportamientos en
  forma aproximada.
• En este caso es posible simplemente truncar una
  serie a partir de algún término, o bien, obtener
  la aproximación mediante proyección ortogonal.

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Aproximación de Funciones

• Sea una función f que se desea aproximar como la
  C. L. finita siguiente
• f c1g1c2g2...cngn
• Donde g1,g2,...,gn son n funciones arbitrarias,
  mediante las cuales se desea expresar f.
• Tomando el producto interno con cada función g,
  obtenemos
• ltf,g1gt c1ltg1,g1gtc2ltg2,g1gt...cnltgn,g1gt
• ltf,g2gt c1ltg1,g2gtc2ltg2,g2gt...cnltgn,g2gt
• . . .
• ltf,gngt c1ltg1,gngtc2ltg2,gngt...cnltgn,gngt

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Aproximación de Funciones

• Lo cual puede ser expresado en forma matricial
  como

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Aproximación de Funciones

• Ejemplo cómo aproximar la función f(x) ?x
  mediante una recta que pasa por el origen en el
  intervalo 0,1?
• Solución sea g(x)x, buscamos la aproximación
  f(x)cg(x), donde cltf,ggt/ltg,ggt, es decir

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Aproximación de Funciones

• Ejemplo cómo aproximar la función f(x) ?x
  mediante una recta que no pasa por el origen en
  el intervalo 0,1?
• Solución sea g1(x)1, g2(x)x, buscamos la
  aproximación f(x)c1g1(x)c2g2(x), resolvemos el
  sistema de ecuaciones
• Es decir,
• De donde c14/15 c24/5

46
Aproximación de Funciones

• Con lo cual, la recta obtenida es f(x)0.26666
  0.8x

47
Aproximación de Funciones

• Tarea Obtener el polinomio de grado 2 que
  aproxima a f(x) ?x en el intervalo 0,1 y
  dibujar las dos gráficas juntas

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Polinomios de Legendre

• Si continuamos incrementando el grado del
  polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a
  plantear un sistema cuya matriz es la siguiente
• La cual para n regularmente grande es una matriz
  mal condicionada.

49
Polinomios de Legendre

• Por ello, los polinomios 1, x, x2, x3,...,xn no
  resultan muy prácticos para aproximar funciones,
  de hecho, no son ortogonales en el intervalo
  0,1
• Existe una gran variedad de familias de
  polinomios ortogonales en algún intervalo dado.
  Por ejemplo, los polinomios de Legendre son
  ortogonales en el intervalo -1,1
• Otras familias de polinomios ortogonales son los
  polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.

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Polinomios de Legendre

• Los siguientes son los primeros 6 polinomios de
  Legendre

51
Polinomios de Legendre

• Tarea Verificar la ortogonalidad de los primeros
  cuatro polinomios de Legendre. Verificar también
  si son ortonormales.

52
Polinomios de Legendre

• Ejemplo Expresar la función h(x)cos(p/2x)
  mediante un polinomio de grado 2, usando los
  polinomios de Legendre.
• Solución obtendremos los coeficientes de la
  aproximación cos(p/2x)?c0P0(x)c1P1(x)C2P2(x)

53
Polinomios de Legendre

• Con lo cual, la aproximación obtenida es
• cos(p/2x) ? f(x) 2/p 10/p3 P2(x)

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Polinomios de Legendre

• Tarea
• Hallar una aproximación para la función
  h(x)sen(p/2x) en el intervalo -1,1, usando un
  polinomio de grado 2, usando polinomios de
  Legendre.
• Graficar juntas la función h(x) y el polinomio
  obtenido.