Conjuntos Numricos

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Universidad de Valparaíso

• Conjuntos Numéricos
• Marcela Guerra
• Rodrigo Silva

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Introducción

• La evolución de la humanidad trae por
  consecuencias la construcción de nuevos
  conocimientos como también la evolución de estos,
  entre ellos la evolución de los sistemas y
  conjuntos numéricos. El hombre comienza de los
  sistemas y conjuntos numéricos más básicos, y a
  medida que se presentan nuevos desafíos como
  también debido a necesidades se van creando
  nuevos sistemas y conjuntos.

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Un poco de Historia

• Las culturas y la relación con los números

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Un poco de Historia

• Todas la culturas de alguna manera han tenido
  relación con los números. Fue una necesidad del
  hombre prehistórico crear relaciones biunívocas
  para poder identificar cantidades de animales o
  saber por lo menos cuantas personas conformaban
  su grupo familiar. Aquí nos encontramos con los
  primeros indicios de representaciones ya sea a
  través de grupos de piedras o marcas en un trozo
  de madera.

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Un poco de Historia

• De esta manera comienzan a crearse primero los
  sistemas numéricos para ir dando forma a los
  conjuntos numéricos.

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Un poco de Historia

• Ya en las culturas mesopotámica y egipcia
  encontramos indicios de conjuntos numéricos que
  si bien no son reconocidos, nosotros podemos
  identificarlos. Los chinos dan un paso mas allá y
  tienen en su matemática la noción de número
  negativo. Y los indios insertan el cero.

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Definición de Conjunto Numérico

• Un conjunto numérico es aquel que los elementos
  que lo conforman cumplen con características
  matemáticas especificas.
• Los conjuntos numéricos se pueden representar
  tanto por extensión como por comprensión.

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Números Naturales

• Dicho en términos muy simples, los números
  naturales son los que sirven para contar.
• El conjunto de los números naturales tiene las
  siguientes propiedades
• Si se suma a un natural el número 1 el resultado
  es otro número natural.
• Por lo tanto el conjunto de los naturales es un
  conjunto infinito.
• Las propiedades enunciadas anteriormente
  constituyen el Axioma de Inducción Completa.
• El conjunto de los Números Naturales se denota
  por la letra N y se representa así
• N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

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Conjunto de los Números Enteros

• El conjunto de números enteros, es también
  infinito.
• Son parejas de números naturales (x, y), cuya
  resta x-y define un número entero.
• Por ejemplo la pareja (7,3) define el entero
  positivo 4 ya que 7-34. La pareja (2, 4) define
  el entero negativo -2 ya que 2 - 4 -2.
• Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de
  los números enteros y el de los números
  naturales ya que el conjunto de los naturales es
  el de los enteros positivos.
• Al conjunto de los enteros también pertenece el 0
  que está definido por todas aquellas parejas de
  naturales iguales (1,1) (56,56) etc.
• El conjunto de los Números Enteros se denota por
  la letra Z
• y se le representa así Z , -5, -4, -3, -2,
  -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,
• Observa que los números naturales son un
  subconjunto de los números enteros .

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El conjunto de Números Racionales

• El conjunto de números racionales está integrado
  por parejas de números enteros cuyos elementos se
  dividen entre sí.
• A este conjunto también pertenece el 0, que está
  definido por todas aquellas fracciones que tienen
  al 0 por numerador.
• Los racionales serán positivos o negativos según
  sea el signo de cada uno de los integrantes de
  las parejas que los definen.
• Así será que parejas de enteros de igual signo
  definirán un racional positivo y parejas de
  enteros de distinto signo definirán un racional
  negativo.
• No existen racionales cuyo denominador sea 0.
• El conjunto de los Números Racionales se
  representa por la letra Q y se representa así
• Qa/b, con a y b ? Z tal que b ? 0
• Los conjunto de los números enteros y naturales
  son subconjuntos de los números racionales

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Números Irracionales

• Los números irracionales son aquellos elementos
  de la recta real que no son expresables mediante
  números racionales usando las operaciones
  internas de este conjunto. Es decir, un número
  irracional no puede expresarse de la forma p/q
  siendo p y q enteros, es decir no es racional.
• Se representa con la letra

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Números Reales

• La unión del conjunto de los números racionales
  con el conjunto de los números irracionales,
  recibe el nombre de conjunto de los Números
  Reales y se denota con el símbolo R.

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Como tratar el tema de los conjuntos numéricos

• Obstáculos Epistemológicos de los conjuntos
  numéricos

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Modelos para la enseñanza de números enteros

• Es ventajoso hablar de los números negativos
  cuando hablamos de los enteros como los opuestos,
  (Bruno 1997).
• Cómo los introducimos?
• Generalmente en los textos

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Modelos para la enseñanza de números enteros

• La mejor justificación para los enteros que como
  docentes es darle una valoración moral
• POSITIVO ? Bueno, mejor o más
• NEGATIVO ? Malo, peor o menos

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• Qué modelos concretos utilizamos en la enseñanza
  de números enteros?
• En general superhabit y déficit, deudas
  haberes, juegos con puntaciones negativas y
  positivas, etc.
• MODELO DE NEUTRALIZACIÓN.
• MODELO DE DESPLAZAMIENTO.

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NEUTRALIZACIÓN

• 1 FICHA
• -1 FICHA
• neutralización

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• SUMA
• Conjunto neutro que se le
  
  adhieren fichas

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• Tengo 3, hay 6
  fichas (3 rojas y 3 negras)
  que hacen el neutro.
• Entonces lo que sobra lo sumo
• Son 3 rojas donde estas fichas representan lo
  bueno, por lo tanto es 3

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• Si agrego 2 negras al conjunto anterior?
• Forma aritmética (3) (-2) 1
• Según las fichas, estas indican que al buscar la
  neutralización, esas dos fichas negras que adherí
  se neutralizan con dos rojas. Sobrando una que,
  ESA ficha indica el resultado.

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• RESTA
• Conjunto al cual le quiero
  quitar fichas

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• Como le quito 2 fichas negras ENTONCE le agrego 2
  fichas pero del otro color.
• Sin contar las fichas que se neutralizan quedamos
  con 4 fichas rojas, es decir 4.
• 6 (-2) 4

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• PRODUCTO
• (-3) x (2) ? QUITO 3 veces 2 fichas positivas.

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• Al quitar las fichas rojas, contamos la que no
  han sido neutralizadas.
• 6 fichas negras ? (-6)
• Entonces (-3)(2) (-6)

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Desplazamiento

• Supongamos que en este camino el recorrido de la
  ficha será hacia la derecha.

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• DESPLAZAMIENTO
• a casillas ? recorrerá a casillas en sentido
  positivo.
• -a casillas ? recorrerá a casillas en sentido
  negativo.
• En este caso avanzó (6)

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• Cada desplazamiento tiene un opuesto, es decir
  este devolverá la ficha al punto inicial.
• opuesto
• 6 -6

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• SUMA
• Es una composición de desplazamientos aplicada a
  la ficha en la posición inicial. La suma la nueva
  posición de esta.
• INICIO 1º
  DESPLAZAMIENTO
• Avanzo 2 espacios hacia opuesto al recorrido de
  la ficha es decir,
• 1º desplazamiento ? (-2)

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• 2º DESPLAZAMIENTO
• 
  De la posición inicial de la ficha
  avanzo 3 en el sentido del
  recorrido, es decir
• 2º desplazamiento ? (3)
• La ficha quedo en la posición (1)
• La suma entonces será el 1º desplazamiento MÁS el
  2º desplazamiento.
• (-2) (3) (1)

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• RESTA
• Es la composición de los desplazamientos PERO
  será lo inverso, por ejemplo
• (-2) (3) ? Avanzaré 2 veces en sentido
  contrario al recorrido, luego avanzare lo OPUESTO
  a avanzar 3 en sentido del recorrido es decir,

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• 1º DESPLAZAMIENTO Avanzo 2 espacios en sentido
  contrario recorrido.
• 2º DESPLAZAMIENTO La operación resta indicara
  que avanzare lo opuesto a (3) es decir,
  
• opuesto
• 3 -3

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• Entonces,
• (-2) (3) 5 En sentido contrario al recorrido.
• Por lo tanto,
• (-2) (3) (-5)

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• PRODUCTO
• Será la composición de desplazamientos PERO de la
  siguiente manera
• Por ejemplo
• (-3) x (2) ?
• Esto indica que
• La ficha debe moverse 3 veces en sentido
  contrario al recorrido, 2 posiciones

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• Moveremos la ficha 1 vez en sentido contrario al
  recorrido, 2 posiciones
• RECORDAR QUE SON 3 VECES
• Moveremos por 2ª vez, 2 posiciones

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• Moveremos por 3ª vez y ultima en sentido
  contrario al recorrido de la ficha, 2 posiciones.
• La última posición de la ficha fue en 6 pero en
  sentido contrario al recorrido, entonces
• (-3) x (2) (-6)

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SITUACIONES DIDACTICAS

• Para superar los obstáculos relacionados con la
  didáctica de los números decimales.

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El Rompecabezas
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• Los estudiantes deben construir un modelo mayor
  según la siguiente regla
• El segmento que mide 4 cm. debe ser de 7 cm. en
  su reproducción.
• Cada grupo de 4 o 5 estudiantes recibe un
  rompecabezas. Cada integrante deberá construir al
  menos una pieza, o un grupo de dos construirá dos
  piezas.
• Los estudiantes son separados.
• El docente fija una representación grande del
  rompecabezas en la pizarra.
• Al inicio lo más natural es suponer que hay que
  agregar 3 cm. a todas las dimensiones,

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• PERO al hacer esto, las reproducciones no serán
  compatibles con el modelo original.
• El docente intervendrá únicamente para motivar a
  los estudiantes A BUSCAR ESTRATEGIAS para lograr
  la proporción correcta.
• Por ejemplo si 4 ? 7 entonces 8 ? ?
• Qué debemos hacer?
• 4 ? 7
• 1 ? 1,75.
• Encontrando la imagen de 1 podemos encontrar
  todas las imágenes, entonces
• 8 ? 14

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• Encontrar, en la misma situación, la imagen de
  una longitud fraccionaria. El estudiante puede
  verificar su predicción para fracciones simples
  mediante el uso de rompecabezas construidos. Pero
  la predicción correcta entra en conflicto con un
  obstáculo epistemológico la naturaleza del
  modelo aditivo.
• Brousseau menciona que al inicio la situación se
  presenta a los estudiantes de forma inocente,
  familiar y sin misterios, pero que de pronto se
  dan cuenta de que los intentos de solución no
  funcionan.
• Así empieza el proceso científico ellos tienen
  que buscar la causa. Cuando el obstáculo es
  vencido, aparece la solución y todos se sienten
  ganadores, sin la necesidad de la conducción del
  docente. El mérito de abandonar una idea
  encontrada falsa es mayor que la de encontrar
  directamente la idea verdadera.

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• Cuando el obstáculo es vencido, aparece la
  solución y todos se sienten ganadores, sin la
  necesidad de la conducción del docente.
• El mérito de abandonar una idea encontrada falsa
  es mayor que la de encontrar directamente la idea
  verdadera.

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EL PANTÓGRAFO
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EL PANTÓGRAFO

• Es un paralelogramo articulado utilizado para
  construir figuras homotéticas a una figura dada.
• Dependiendo de la escala de marcas, ellos pueden
  producir ciertas transformaciones homotéticas
  decimales como 1,5 2 2,5 3 4.
• En la primera sesión los alumnos aprenden a
  utilizar el aparato, estirando y comprimiendo
  dibujos. Comparten observaciones propias con el
  resto

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SITUACION DIDACTIAEl pantógrafo

• 1.- El docente
• - Muestra el pantógrafo a sus estudiantes.
• - Enseña como utilizarlo.
• - Presenta los distintos cálculos que son
  posibles de realizar cálculo de imágenes, modelo
  de estiramiento, y los reproduce mediante
  ejercicios.
• 2.- Cada estudiante utiliza su pantógrafo y sigue
  una guía con preguntas.
• 3.- El docente utiliza dos fases

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Fases

• Fase de acción El docente informa a los
  estudiantes que tendrán un minuto para escoger
  una longitud entre 1cm y 15cm, y cada estudiante
  (o pareja) tendrá que predecir la correspondiente
  longitud transformada por el pantógrafo. El
  aparato será utilizado para verificar si la
  predicción era exacta o no.
• Fase de validación Los grupos compiten entre sí.
  A cada grupo se le pregunta si el pantógrafo de
  otro grupo funciona correctamente o no (el
  problema es que algunos pantógrafos son falsos,
  pero el grupo que lo tiene lo oculta para que el
  otro grupo no lo vea), basándose únicamente en la
  información de las mediciones dada por el grupo.

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• Si algún grupo piensa que los resultados son
  falsos entonces el grupo del pantógrafo debe
  luchar para defender sus resultados correctos. Es
  decir cada grupo debe defender sus conclusiones e
  intentaran refutar los otros.
• Brousseau reporta que por lo general los
  estudiantes se convencen de que si el pantógrafo
  proporciona el estiramiento en una misma
  proporción, para cualquier segmento en todas las
  posiciones entonces la transformación es lineal
  debido a que la imagen de la suma es la suma de
  las imágenes.

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• Se les pide calcular de algunas longitudes.
• PASOS
• 1º Procedimiento de los alumnos
• Resolución del problema.

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(No Transcript)
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• 2º Por proporcionalidad directa esto es lo que
  hicieron los alumnos sin cálculos entre medio.

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• 4 12
  12 x 1.5 18
• 1
  18/4 4,5
• Entonces
• 2,5
  2,5 x 4 11,25

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• 3º Componen las dos transformaciones
• 2.5 7.5
  11.25
• x1.5 x3

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• 4º Usan la proporcionalidad directa
• 2.5 11,25
• 1 4,5
  
• 2 9
• x4.5

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• Brousseau propone distintos niveles de
  conocimiento respecto a la transformación de
  decimales y compresión de esta
• Nivel 1 Revela el reemplazo de la acción de una
  sucesión de transformaciones semejantes por una
  única (Paso 2).
• Nivel 2 El estudiante afirma tengo el
  pantógrafo a tal que puedo calcular las imágen
  con una única transformación b calculada de
  una situación particular. (Paso 3).
• Nivel 3 El estudiante dice Debo de ser capaz
  de reemplazar la acción de dos o más pantógrafos
  por la acción de un único, que puede ser
  calculado multiplicando.

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• Nivel 5 Parecido al anterior pero utilizando
  formulación especializada como tome una fracción
  de , un porcentaje .
• Nivel 6 El estudiante concluye que
• Para estirar
  multiplique
• Para comprimir divida
  

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Conjunto de los Números Complejos C

• A toda expresión en la forma a bi donde a y b
  son números reales e i es la unidad
  imaginariav(-1) recibe el nombre de Número
  Complejo. Se designan a los números complejos con
  la letra Z  asíZ a bi (a, b? R)Se llama
  PARTE REAL a la primera componente "a" y se
  indica de esta forma Re(z) aY a la segunda
  parte de la componente "b" se llamará PARTE
  IMAGINARIA. Im(z) b