Resumen de la Clase Anterior

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Resumen de la Clase Anterior

• Dimensionalidad Numero de variables
  independientes de un espacio
• Coherencia Objetivo general de la física como un
  programa de búsqueda de coherencia (de
  correlación, de causalidad, de interacción)
• Espacios unidimensionales El tiempo y la línea
  espacial.
• Medida en espacios unidimensionales
• Conteo de eventos periódicos (numero de
  oscilaciones, grano).
• Probabilidad de extinción (exponenciales)
• Concatenación de medidas (escaleo)
• Medidas Relativas y Medidas absolutas (el
  interferómetro)
• Reglas lineales (grano constante) o logarítmicas.

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Programa de la Clase de Hoy

• Dimensionalidad Otras propiedades fundamentales
  de un espacio METRICA y CARDINALIDAD
• Coherencia Funciones, como objetos que
  relacionan variables aparentemente
  independientes.
• Espacios unidimensionales Relación entre el
  tiempo y el espacio. Movimiento. El tiempo como
  referencia.
• Medida en espacios unidimensionales
• Conteo de eventos periódicos (numero de
  oscilaciones, grano) y probabilidad de extinción
  (exponenciales)
• Exponenciales y oscilaciones como formas
  canónicos del movimiento. Convergencia y
  equilibrio.

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PLAN DE RUTA

• Funciones y Cardinalidad El numero de elementos,
  una primera relación establecida por una función
  entre dos conjuntos.
• Funciones y Dimensionalidad Aspectos generales
  de funciones del tiempo en el espacio (R -gt R2) y
  del espacio en un escalar (por ejemplo la
  temperatura)
• Formas canónicas del movimiento Oscilaciones,
  exponenciales y puntos fijos. La fauna de
  soluciones ordenadas, estacionarias y no
  divergentes.
• Espacios métricos Como asignar una medida a una
  variedad de espacios relevantes. Cuantificar la
  similitud o diferencia de medidas experimentales
  en una funcion de distancia. Neuronas, genes,
  imágenes, caras y terremotos.

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Funciones y Cardinalidad

• Una función relaciona elementos entre dos
  conjuntos (A y B)
• La función es inyectiva si dos elementos de A no
  van a parar a un mismo elemento de B (A) (B)
  (A puede inyectarse en B)
• La función es sobreyectiva si su imagen (todos
  los elementos que son función de alguien)
  corresponde a (A) (B) (A puede llenar B)
• La función es biyectiva si es inyectiva y
  sobreyectiva. Es decir si existe un mapeo uno a
  uno (A) (B) (A es equivalente a B)
• UNA PRIMER MEDIDA DE COHERENCIA ENTRE DOS
  ESPACIOS DETERMINADA POR UNA FUNCION ES LA DE
  CARDINALIDAD

Sobreyectiva, no inyectiva
Inyectiva, no sobreyectiva
No sobreyectiva no inyectiva
Biyectiva
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Cardinalidad en Conjuntos Infinitos
En análisis y en la gran parte de este curso
trabajaremos con conjuntos continuos (y no
discretos como en el ejemplo anterior) e
infinitos. Algunos espacios infinitos
relevantes (de dimensión 1) son
La Recta Real
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
Los Naturales
1
2
3
4
5
6
7
8
8
8
1
2
3
4
5
6
7
0
1


Discreto, No acotado
Continuo No Acotado
Continuo Acotado
Continuo Acotado Sin Bordes
6
Son todos los infinitos igual de grandes?
I. Los racionales NO SON MAS que los naturales
Q NxN
7
Son todos los infinitos igual de grandes?
Tal vez simplemente los infinitos son todos
infinitos y, por lo tanto, igual de grandes. Sin
embargo, hay menos naturales que puntos en la
recta?
r1 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 0 . 4 1
3 2 0 4 3 ... r3 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 0
. 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 0 . 0 1 0 5 1 3
5 ...

• DEMOSTRACION DE CANTOR
• Suponemos que el intervalo 0,1 es infinito
  numerable.
• Podríamos elaborar una secuencia (suryectiva) de
  los números, ( r1, r2, r3, ... )
• Los reales entre 0 y 1 pueden ser representados
  escribiendo sus decimales.

8
Son todos los infinitos igual de grandes?
I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son
mas que los naturales)
r1 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 0 . 4 1
3 2 0 4 3 ... r3 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 0
. 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 0 . 0 1 0 5 1 3
5 ...

• DEMOSTRACION DE CANTOR
• Dada CUALQUIER función r, podemos construir un
  numero N(r) que no esté en la imagen de R,
  eligiendo para cada decimal un valor distinto al
  de la diagonal.
• Por ejemplo el numero 0,7256389
• Siendo la Diagonal 0,5140235

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PLAN DE RUTA

• Funciones y Cardinalidad El numero de elementos,
  una primera relación establecida por una función
  entre dos conjuntos.
• Funciones y Dimensionalidad Aspectos generales
  de funciones del tiempo en el espacio (R -gt R2) y
  del espacio en un escalar (por ejemplo la
  temperatura)
• Formas canónicas del movimiento Oscilaciones,
  exponenciales y puntos fijos. La fauna de
  soluciones ordenadas, estacionarias y no
  divergentes.
• Espacios métricos Como asignar una medida a una
  variedad de espacios relevantes. Cuantificar la
  similitud o diferencia de medidas experimentales
  en una funcion de distancia. Neuronas, genes,
  imágenes, caras y terremotos.

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Funciones y Dimensionalidad

• Formalmente la Cardinalidad de R y RN (ngt1) es la
  misma y por lo tanto puede definirse una
  biyección entre ellas.
• En la practica, las funciones de Rm en Rn suelen
  presentar cierta característica (por la
  conservación de la dimensionalidad) según si m lt
  n, m n o m gt n.

Curvas que llenan el plano (Peano, Hilbert)
Funciones de R en R2 UN MARCO CONCEPTUAL UTIL
PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE
INMERSION.
f t
x( t) , y(t)
A cada tiempo corresponde un punto en el plano.
El conjunto de estos puntos (la imagen de la
función, o trayectoria) define una curva que
corresponde a la inmersión de t (que puede
pertenecer a I1 o a R1) en el plano.
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Inmersión del tiempo en el espacio Trayectorias
Notar que en la trayectoria (inmersión) del
tiempo, se ha perdido la noción de temporalidad.
No esta descrito en que orden temporal se
recorrió esta trayectoria.
El ejemplo canónico de tiro oblicuo
Función de Movimiento
Tiempo (ms)
Espacio,R2, (mm)
0
1000
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Inmersión del tiempo en el espacio Trayectorias
Para resolver esto es necesario incorporar otra
dimension, ya que la funcion corresponde a puntos
en el espacio de t, x(t), y(t) es decir en
R3. La tercera dimension puede representarse en
una escala de color.
El ejemplo canónico de tiro oblicuo
Función de Movimiento
Tiempo (ms)
Espacio,R3, (t,mm,mm)
0
1000
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Inmersión del tiempo en el espacio Trayectorias
Una representacion equivalente pero menos
inteligible. Relevancia de encontrar buenas
representaciones
El ejemplo canónico de tiro oblicuo
Función de Movimiento
Tiempo (ms)
Espacio,R3, (t,mm,mm)
0
1000
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Funciones y Dimensionalidad (II)
Hemos visto hasta ahora
Funciones de R en R2 UN MARCO CONCEPTUAL UTIL
PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE
INMERSION (curvas en R3).
f t
x( t) , y(t)
Funciones de R2 en R DOS MARCO CONCEPTUALES
UTILES PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES SON MAPA
ESCALAR (temperatura, altura) representadas como
superficies en R3 y PROYECCIONES (ej angulo)
fx, y
T
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Mapas Escalares La anatomía de la función
abs(xy)
A lo largo de curvas
En coordenadas polares
Imagenes del mapa
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PLAN DE RUTA

• Funciones y Cardinalidad El numero de elementos,
  una primera relación establecida por una función
  entre dos conjuntos.
• Funciones y Dimensionalidad Aspectos generales
  de funciones del tiempo en el espacio (R -gt R2) y
  del espacio en un escalar (por ejemplo la
  temperatura)
• Formas canónicas del movimiento Oscilaciones,
  exponenciales y puntos fijos. La fauna de
  soluciones ordenadas, estacionarias y no
  divergentes.
• Espacios métricos Como asignar una medida a una
  variedad de espacios relevantes. Cuantificar la
  similitud o diferencia de medidas experimentales
  en una funcion de distancia. Neuronas, genes,
  imágenes, caras y terremotos.

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Inmersión del tiempo en el espacio Trayectoria
Acotada en Tiempo Infinito
En este ejemplo, la trayectoria es acotada porque
para algún tiempo la partícula toca el piso a
partir del cual cambia la física del problema En
este caso concreto la partícula se pega al piso.
En muchos problemas es de interés estudiar el
comportamiento para tiempos infinitos (tiempo no
acotado o por lo menos tiempos muy largos.
Una primer pregunta relevante es si la
trayectoria correspondiente a este tiempo
infinito es o no acotada. En el ejemplo del
pingüino, en ausencia de piso, la trayectoria
diverge (aunque en realidad, sin piso tampoco hay
gravedad) Existen trayectorias acotadas para
tiempos infinitos?
El ejemplo canónico de tiro oblicuo
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Inmersión del tiempo en el espacio Trayectoria
Acotada en Tiempo Infinito
Primer aproximación (equivocada) al problema
Monotonía. Si una función siempre crece o
decrece entonces la trayectoria diverge (es decir
no esta acotada)
Contraejemplo x(t)e-(t/150) Es estrictamente
decreciente pero siempre positiva.
Como se vería el grafico de esta función si se
grafica los x correspondientes a los tiempos de
1000 a 2000 segundos?
19
Inmersión del tiempo en el espacio Trayectoria
Acotada en Tiempo Infinito
Contraejemplo x(t)e-(t/150) Es estrictamente
decreciente pero siempre positiva.
Se ve EXACTAMENTE IGUAL. La función e-(t/150)
puede leerse como la concatenación de la
siguiente operación cada 150 segundos, divido
por e. Nótese la razón de su invarianza en el
tiempo.
20
Inmersión del tiempo en el espacio Trayectoria
Acotada en Tiempo Infinito
Segunda aproximación (correcta) al problema
Extremos. Si el movimiento de una partícula esta
dado por funciones x(t),y(t) la trayectoria
esta acotada si estas funciones tienen máximo y
mínimo (no infinito) es decir, si la función toma
valores acotados de manera independiente de los
valores de t.
Algunas funciones acotadas son Seno, Coseno,
Exponencial(-t), 1/(1t)
21
Posibles estados estacionarios oscilaciones y
puntos fijos
Oscilan (y entre una y otra cambia el periodo)
Convergen (y entre una y otra cambia el ritmo de
convergencia)
22
Convergencia a un punto fijo X e-(t/150),
e-(t/150)
Oscilaciones Xcos(t),sen(t)
Las representaciones mas informativas.
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Bases del Movimiento

• Los puntos fijos y las oscilaciones son dos
  ingredientes canónicos del movimiento.
• El estudio del movimiento (y muchos otros
  problemas dinámicos, es decir, que evolucionan en
  el tiempo) se descomponen en el estudio de
  estados transitorios y estados estacionarios.
• Los estados estacionarios como las oscilaciones
  o los puntos fijos- presentan cierta invarianza
  temporal. Oscilaciones y puntos fijos son además
  soluciones ordenadas y acotadas.
• El movimiento de una bola en un billar es un
  ejemplo de solución estacionaria no ordenada.
  La posición de una galaxia es una solución (tal
  vez) estacionaria, ordenada y (tal vez) no
  acotada
• En la practica, uno suele ver (medir) los estados
  estacionarios (o de equilibrio).

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PLAN DE RUTA

• Funciones y Cardinalidad El numero de elementos,
  una primera relación establecida por una función
  entre dos conjuntos.
• Funciones y Dimensionalidad Aspectos generales
  de funciones del tiempo en el espacio (R -gt R2) y
  del espacio en un escalar (por ejemplo la
  temperatura)
• Formas canónicas del movimiento Oscilaciones,
  exponenciales y puntos fijos. La fauna de
  soluciones ordenadas, estacionarias y no
  divergentes.
• Espacios métricos Como asignar una medida a una
  variedad de espacios relevantes. Cuantificar la
  similitud o diferencia de medidas experimentales
  en una funcion de distancia. Neuronas, genes,
  imágenes, caras y terremotos.

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Otras propiedades del espacio Métrica
El Plano
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
Los Naturales
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8
0
1
x

D abs(m-n)
Dist(x2,x1)
D abs(x2-x1)
Dabs(?1 ?2)
D(a,a)0 D(a,b) gt 0 (a distinto de b) D(a,b)
D(b,a) D(a,c) lt D(a,b) D(b,c)
D es cualquier función que satisface
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Dada la métrica, existen vecindades
El Plano
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
Los Naturales
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8
0
1
x

Dist(3,3) lt 2
Dist(0.5) lt 0.25
Dist(p) lt p/2
dist(5) lt 3
De lo abstracto a lo concreto. La métrica
determina exactamente la posibilidad de medir (de
establecer distancias y por ende similitudes y
diferencias) entre los elementos del espacio. Es
un problema importante de las ciencias naturales
(objeto de investigación moderna) establecer una
buena métrica para sus espacios.
27
Propiedades emergentes de la métrica 1)
Continuidad
El Plano
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
Los Naturales
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8
0
1
x

Dist(3,3) lt 0.5
Dist(0.5) lt 0.05
Dist(p) lt p/5
dist(5) lt 0.5
Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente
pequeña)
Mundos con vecinos arbitrariamente cerca ? SE
PUEDE HACER ANALISIS (Derivar Integrar )
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Propiedades emergentes de la métrica 2)
Existencia de Bordes
El Plano
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
Los Naturales
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8
0
1
x

Dist(x) lt 0.0001
Dist(0) lt 0.00
Dist(x) lt 0.0
dist(1) lt 0.00
Un punto que no tiene (dentro del conjunto,
ninguna vecindad, por pequenia que sea)
Todo punto contiene una vecindad
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Métricas en Espacios no Euclideos, funciones,
imágenes, genes y neuronas
En general, dadas dos observaciones, un problema
típico con el que uno se encuentra es decir si
son iguales, si pertenecen a una misma categoría,
si se parecen poco o mucho, si a su vez se
asemejan mas que a un tercera observación, cuanto
varia a medida que uno la repite muchas veces y
si uno manipula el sistema. En fin, uno quiere
establecer una DISTANCIA entre distintas
observaciones. Algunos ejemplos que veremos son
distancias en respuestas de neuronas (trenes de
espigas) y entre genes.
30
Distancia en el Espacio de Funciones
Distancia entre una función lineal y una
sinusoidal, marcada por el área gris. Una de las
distancias mas simples en el espacio de
funciones, dada por la suma de la distancia
euclidea en cada punto de la función.
31
Distancia en el Espacio de Funciones
Esta es la idea de cuadrados mínimos, y permite
ajustar una función a una serie de datos. La
función que mejor ajusta los datos (de una
familia de funciones) es la que resulta más
cercana a los datos originales.
32
Distancia en el Espacio de Funciones
Longitud promedio de los segmentos definen la
distancia a la curva
33
Distancia en el Espacio de Funciones
Longitud promedio de los segmentos definen la
distancia a la curva
34
Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del
trafico de proteínas en la célula)
P E R T I M
Medida analoga a la distancia entre funciones, la
suma del valor absoluto de la luminosidad de
todos los pixels. La importancia de poder
cuantificar para establecer modelos correctos.
PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado?
P E R T I M
Meyer et al (2005)
35
Un problema con la distancia euclidea en el
espacio de imágenes (y de caras)
El problema de una distancia dada por la suma de
la diferencia de luminosidad a través de todos
los pixels de la imagen es que distintos ángulos
de vista, o oclusiones dan imágenes muy distintas
correspondientes al mismo objeto.
Una descomposición mas inteligente del espacio de
caras una base de caras fundamentales o
auto-caras.
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La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos
numero necesito dar para decir de quien hablo?
Imagen Original
Detección de rasgos por comparación a un marco de
referencia
Descripción de una cara en el espacio de rasgos
(mucho mas eficiente que el espacio de pixels)
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Midiendo distancias entre respuestas neuronales

• Supongamos que queremos saber que codifica una
  neurona.
• Presentamos dos estímulos distintos y medimos la
  respuesta.
• Que medimos?
• Una posibilidad (la más utilizada) es contar
  espigas. Esto equivale a establecer una función f
  que mapea un tren de espigas en un numero. Luego
  podemos utilizar la distancia en los Naturales.
  Es decir la distancia (diferencia) entre una
  respuesta R1 y R2 está dada por D abs(N(R1)
  N(R2)) donde N es el numero de espigas de R.
• Todo la información que conlleva una neurona es
  el numero de espigas?
• Acaso importa el tiempo en el que ocurren estas
  espigas? Vuelta a la oreja del búho.

38
Midiendo distancias entre respuestas neuronales
Una distancia clásica Contar (y luego usar
distancia en los naturales)
39
Midiendo distancias entre respuestas neuronales
(del saltamontes)
Problema (del saltamontes y del investigador)
Como reconstruir el olor a partir de la
respuesta? En este caso, el conteo de espigas no
alcanza
Respuesta de una neurona (del saltamontes) a
distintos olores
Macleod, Backer, Laurent (1998)
40
Una buena métrica en el espacio de respuestas
neuronales
J Victor (2005)
Definir la distancia entre dos secuencias como el
numero de operaciones, inserciones, deleciones,
traslaciones, necesarias para pasar de una
secuencia a la otra.
41
Midiendo distancias entre respuestas neuronales
(del saltamontes)
Una metrica que tiene en cuenta la distancia
alcanza para separar cualquier para de olores
(tomando la distancia al centro de cada
distribucion)
Problema (del saltamontes y del investigador)
Como reconstruir el olor a partir de la
respuesta? En este caso, el conteo de espigas no
alcanza
Respuesta de una neurona (del saltamontes) a
distintos olores
Una manipulacion farmacologica (Picotoxina) que
perturba el orden temporal sin modificar la
respuesta total (baraja en el tiempo) hace que la
respuesta a los olores sea inclasifcable.
Macleod, Backer, Laurent (1998)
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Un problema parecido Similitud entre genes
La métrica de comparación punto a punto funciona
bien en este ejemplo, estas dos secuencias son
parecidas y su distancia es corta.
AGTAAGCTAGCAGCA.
AGTAAGCGGGCAGCA.
La métrica de comparación punto a punto NO
FUNCIONA BIEN en este ejemplo, Una traslacion
hace que punto a punto niguna base coincida y sin
embargo los genes se asemejan.
AGTAAGCTAGCAGCA.
XXXAGTAAGCTAGCA .
43
Métrica en el espacio de terremotos (y sus ecos)
Una pregunta importante en sismología es Dado un
gran terremoto, cual es la secuencia temporal de
terremotos (ecos, rebotes) que le siguen?
SOLUCION, LA SECUENCIA QUE MINIMIZA LA DISTANCIA
A TODAS LAS OBSERVACIONES
LOS DATOS
Schoenberg and Tranbarger.