4' Fonones: Vibraciones Cristalinas

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4. Fonones Vibraciones Cristalinas

• Bibliografía Kittel, cap. 4.

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VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS
Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio
lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad, ?
densidad del medio Solucion de la forma, ondas
viajeras
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Desplazamiento Atómico en una red

• Las posiciones de los átomos en una red de
  Bravais están dadas por
• Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por
  celda y supondremos un sistema de coordenadas
  ortogonal.
• Por conveniencia, ni(hi,ki,li) denota al átomo
  I-ésimo que tiene posición R.
• El desplazamiento del átomo i se puede escribir
  como

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Desplazamiento Atómico

• Cuando onda plana se propaga por el cristal, los
  planos atómicos se mueven en fase paralelos o
  transversales a la dirección de propagación.
• Problema se vuelva 1D para cada k (vector de
  onda) hay 3 modos de vibración
• 1 de polarización longitudinal
• 2 de polarizaciones transversales

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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos

• La energía del cristal cambia si los átomos son
  desplazados res
• pecto de sus posiciones de equilibrio
• El cambio de energía puede escribirse en función
  de la posición de todos los átomos
  EE(R1,R2,R3,... RN)
• El orden más bajo de los desplazamientos es
  cuadrático ley de Hooke (límite armónico).
• (No hay términos lineales si se expande en torno
  a las posiciones de equilibrio.)

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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos

• La expresión general para la fuerza sobre el
  átomo s es
• De la expresión armónica se puede expresar la
  fuerza como
• Cs constantes de fuerza - razón entre la fuerza
  sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j
  (es generalización de la constante de fuerza de
  un resorte).

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Cadena Lineal monoatomica

• Consideremos una línea de átomos.
• Entonces, la fuerza sobre atomo s es
• Considerando sólo las interacciones con primeros
  vecinos mas cercanos

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Oscilaciones de una Cadena Lineal

• Ley de Newton (ecuación de movimiento)
• Dependencia temporal
• luego aparece una ecuación de diferencias en los
  desplazamientos

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Oscilaciones de una Cadena Lineal

• Solucion de la forma

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Oscilaciones de una Cadena Lineal

• Una forma más conveniente es
• Finalmente

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Oscilaciones de una Cadena Lineal

• La solución para cada oscilador con vector de
  onda k y frecuencia
• Relación de ?k en función de k se llama relación
  de dispersión.

Aproximación en el continuo kltlt1/a (i.e. ?gtgta)
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Primera Zona de Brillouin
k

• La solución de ?k sobre el espacio recíproco es
  periódica.
• Toda la información está en la primera zona de
  Brillouin.
• La pendiente de ?k es 0 en los bordes de la ZB G
  ??/a
• El resto se repite con periodicidad 2?/a, i.e. ?k
  ?kG !
• (G es cualquier vector de la red recíproca G
  n(2?/a)

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Primera Zona de Brillouin
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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco
Punto B, onda propagandose derecha Punto A, onda
propagandose izquierda

• El movimiento atómico con el vector de onda k es
  idéntico al de kG.
• Todas las vibraciones independientes se pueden
  describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin
  (1ZB)

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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco

• La 1ZB es el rango físicamente significativo para
  las ondas elásticas.
• El cuociente de desplazamiento de 2 planos
  sucesivos es
• El rango (-?,?) para la fase ka cubre todos los
  valores independientes

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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco

• La onda us u exp(iksa-i?t) es una onda plana.
• La velocidad del paquete de ondas (velocidad de
  grupo) es vkd?k/dk
• (i.e. es la pendiente de ?k vs. k)
• Significado físico de vk velocidad de transporte
  de energía en el medio

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Significado de vk0 en frontera dezona de
Brillouin

• d?k/dk 0 en el límite de la ZB.
• Toda onda (vibraciones u otras ondas) son
  difractadas si k está en el borde de la ZB.
• Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de
  rayos x cuando se cumple la condición de Bragg
  (kmax??/a ), la onda estacionaria no puede
  desplazarse por la red sino que a través de
  sucesivas reflexiones y se establece una onda
  estacionaria.
• Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad
  de grupo Vs 0.

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Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco

• Este es un resultado general válido para todos
  los cristales en todas las dimensiones.
• Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones.
  Los átomos no están en su posición de mínima
  energía mientras vibran.
• Las excitaciones se denominan con un vector de
  onda k y son funciones periódicas de k en el
  espacio recíproco.
• Todas las excitaciones se cuentan si los k
  considerados están dentro de la 1a zona de
  Brillouin (ZB).
• Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a
  aquellas dentro de ella y no son excitaciones
  independientes.

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límite de longitud de onda largo

• kaltlt1 ?
• cos(ka) ? 1 - 1/2(ka)2
• Resultado ? es directamente proporcional al
  vector de onda, i.e. velocidad del sonido es
  independiente de la frecuencia en el límite de
  longitudes de onda largas ? vk (mecánica del
  continuo).

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Dispersión en Cu
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Red Biatómica 1D
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Red Biatómica 1D
M
m
C
C
C
un
un1
vn

• Resultado
• Ecuación se puede resolver para ?2, pero es más
  simple examinar casos límite
• ka ltlt 1 cos(ka) ? 1 - ½ (ka)2 ...
• ka ?? (borde 1ZB)
• Para ka ltlt 1

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Red Biatómica 1D
Para ka ltlt 1
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Red Biatómica 1D
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(No Transcript)
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RELACION DISPERSION PARA REDES 3D
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Dispersión en KBr
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VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS
Modelo cuantizado de las vibraciones de red hay
un conjunto de 3N oscilaciones lineales
independientes( modos) con energia E(n(w)1/2)
hw El numero medio de fonones en el modo con
frecuencia w es
Frecuencia de Debye wD la mas grande frecuencia
de vibracion en el cristal asumiendo la relacion
de dispersion w v k. Temperatura de Debye
Q hwD/kB
Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde
orden 1013 Hz, frecuencias opticas tipicas
1014 Hz, temperature Debye diamante -3000 K, Cu
-320K, Pb -90K
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DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES
Neutrones pueden ser dispersados del cristal
cuando absorben o Emiten un fonon
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ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES IONICOS
Luz transmitida en el rango de infrarojo, w 1014
Hz (l40-100mm) Es absorvida por cristales
ionicos con modo optico de fonones
Transmitancia a traves pelicula delgada de NaCl
(0.17mm)
Iones de Cl y Na se mueven en direcciones
opuestas