Guerino Mazzola

1
Les multiperspectives du lemme de Yoneda pour
comprendre la musique
Guerino Mazzola U ETH Zürich guerino_at_mazzola.ch
www.encyclospace.org
2

• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux

3

• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux

4
Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie
C F C ? Ens A gt F(A)
A adresse f ?A_at_Fpoint de F à valeurdans A
A_at_F
avec des applications de transition u_at_F B_at_F
? A_at_F pour u A ? B ayant ces propriétés
1A_at_F 1A_at_F v A ? B, u B ? C uv A ?
C (uv)_at_F v_at_F u_at_F
préfaisceaux foncteurs contravariants
5
Morphismes de préfaisceaux sont les
transformations naturelles h F ? G Propriétés
Pour toute adresse A, on a une application
densembles A_at_h A_at_F ? A_at_G de sorte quon ait
le diagramme commutatif suivant pour tout
morphisme u A ? B dans C
C_at_ catégorie des préfaisceaux sur C
6
Exemple Préfaisceaux représentables. Pour un
objet X de C, on définit _at_X C ? Ens A_at_X
Hom(A,X) hX(A) Cette application X gt _at_X
définit le foncteur de Yoneda _at_ C ? C_at_ g X ?
Y A_at_g A_at_X ? A_at_Y u gt gu _at_ Hom(X,Y) ?
Hom(_at_X,_at_Y)
7
Lemme de Yoneda Le functeur _at_ C C_at_ est
pleinement fidèle _at_ Hom(X,Y)
Hom(_at_X,_at_Y) En particulier, X Y si et
seuelement si _at_X _at_Y
8
Esquisse de la preuve. Le lemme découle dun
énoncé plus général Pour tout objet X de C et
pour tout préfaisceau F de C_at_, on a une bijection
a X_at_F Hom(_at_X, F) Pour tout f ÎX_at_F et tout
morphisme gA X de C, on pose a(f)(g)
g_at_F(f) Son inverse est b Hom(_at_X, F) X_at_F
ayant pour la transformation naturelle q _at_X F
la valeur b(q) X_at_q(IdX) Finalement, prendre
F _at_Y, doù lemme de Yoneda.
9
(No Transcript)
10
(No Transcript)
11

• C Mod
• Modules A,B,... objets (adresses)
• morphismes (di)affines g A B g
  Tb f
• fA B (di)linéaire
• Tb B B x gt bx
• g(x) Tb f(x) bf(x)
• A_at_B TB Lin(A,B)
• A 0
• 0_at_B TB Lin(0,B) ª B

Les point zéro-adressés sont les points
usuels (ensemblistes)!
12
Ens produits cartésiens X ? Y réunions disjointes
X È Y ensembles puissance XY charactéristiques c
X gt 2 pas dalgèbre
C_at_ est un topos!
Mod sommes directes AB possède de
lalgèbre pas densembles puissance pas de
charactéristiques
_at_
13

• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux

14
12 ª 0_at_12
15
A_at_B TB Lin(A,B) A 11, B 12 (R
) série S Î 11_at_12 T12 Lin(11, 12)
ª 1212
16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18

• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux

19
do 0? (p) 3p7
20
On a un modèle de lharmonie de Hugo
Riemanntons auto-adressés
z Î12_at_12
21
Modèle de lharmonie de Riemann (Noll 1995)
Trans(Dt,Tc) lt f?12_at_12 f Dt Tc gt
22
12 ? 3 ?4 z gt (z mod 3, -z mod
4) 4.u3.v lt (u,v)
23
(No Transcript)
24
Dichotomie consonance-dissonance
12 K? D disjoint, K D 6 K 0, 3,
4, 7, 8, 9, D 1, 2, 5, 6, 10, 11
Ke 12 e.0, 3, 4, 7, 8, 9 intervalles
consonants
De 12 e.1, 2, 5, 6, 10, 11 intervalles
dissonants
25
a e.b
Ke 12 e.0,3,4,7,8,9 consonances
De 12 e.1,2,5,6,10,11 dissonances
26
12
12
? Dt, Tc
? 0 _at_ 12
intervalles unisson
tons constants
intervalles constants
ext. scalaires
?
27
Ke, De
Trans(Dt,Tc)
Trans(Ke,Ke)
28
Birkhäuser 20021368 pages, hardcover incl.
CD-ROM ISBN 3-7643-5731-2 English
29
A_at_B TB.Lin(A,B) A R R_at_B TB.Lin(R,B) ª B2
30
(No Transcript)
31
Ruban harmonique de la gamme majeure C(3)