TNS et Analyse Spectrale

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TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL ET ANALYSE
SPECTRALE Polytech'Nice-Sophia Thierry
PITARQUE Université de Nice - Sophia
Antipolis Departement Elec I3S pitarque_at_unice.fr D
urée du Cours 15h Cours disponible sur
http//www.esinsa.unice.fr/pitarque/esinsa4Docse
nligne.html
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TNS et Analyse Spectrale
I. Le DSP Introduction
II. La Transformée de Fourier Discrète

• III. La Transformée de Fourier Rapide
• IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires
• V. Méthodes Classiques d estimation de la
  DSP
• VI. Estimation spectrale paramétrique

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V. Méthodes Classiques d estimation de la
DSP
1) Utilisation des fenêtres temporelles en
analyse spectrale
- La TFD implique l utilisation implicite d une
fenêtre rectangulaire sur les données.
équivalent à
avec
- La fenêtre temporelle w(k) va donc influencer
le spectre du signal y(k) - On étudie donc le
module de la réponse en fréquence de la fenêtre,
tracée en dB , notamment son lobe principal et le
niveau et la décroissance des lobes secondaires
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Estimation de la DSP
a) Le corrélogramme simple
- La DSP , donc si on a un
bon estimateur de la fonction d autocorrélation,
en prenant la TF, on aura un bon estimateur de
la DSP - On a 2 estimateurs non biaisé et biaisé
de l autocorrélation, - On garde
l estimateur biaisé.
Le corrélogramme simple est défini comme la TF de
l autocorrélation
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

- Calcul du biais du corrélogramme simple
est un estimateur
biaisé. - Calcul de la variance du corrélogramme
simple - La variance du corrélogramme ne
dépend pas du nombre de points N. Cet estimateur
est inconsistant. IL NE SERT A RIEN D'AUGMENTER
LE NOMBRE DE POINTS pour mieux estimer la DSP
A constante de proportionnalité
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

b) Le périodogramme simple
- La DSP - si on supprime l opérateur
espérance E et qu on le remplace par l 
estimateur de la fonction d autocorrélation,
sur les N données disponibles et qu on
développe, on obtient un nouvel estimateur ,
directement à partir des données. - On définit le
périodogramme simple
- est un estimateur biaisé de la DSP - La
variance est proportionnelle à la DSP, donc le
périodogramme est un estimateur inconsistant de
la DSP - Le corrélogramme simple et le
périodogramme simple sont égaux en théorie.
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

c) Le périodogramme moyenné
- L idée est de réduire la variance des
estimateurs précédents par moyennage sur des
estimateurs indépendants. - On divise les N
données en L sections successives de M
observations chacune. on calcule M périodogrammes
simples qu on moyenne pour obtenir le
périodogramme moyenné
- est un estimateur biaisé de la DSP (plus M
est petit, plus le biais est important) - La
variance est proportionnelle à la DSP, mais
diminue quand L augmente. - Il faudra trouver un
compromis biais-variance
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

d) Le corrélogramme lissé
- On réduit la variance des estimateurs spectraux
par lissage en fréquence, ce qui revient à
multiplier par une fenêtre temporelle. - On prend
l estimateur de l autocorrélation qu on
multiplie par une fenêtre de longueur 2M- 1 avec
M lt N. - On définit le corrélogramme lissé
- w(k) doit être paire pour que l estimateur de
la DSP soit réel et positif. -L énergie de la
fenêtre doit être égale à 1
- est un estimateur biaisé de la DSP (plus M
est petit, plus le biais est important) - On
peut définir également le périodogramme lissé
(fenêtre w(k) d énergie 1)
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

e) Le périodogramme de Welch
- On combine les périodogrammes moyenné et
lissé. - On divise les N données en L sections
successives de M observations chacune multipliée
par une fenêtre w(k). - On calcule M
périodogrammes lissés qu on moyenne pour obtenir
le périodogramme modifié dit de Welch
-C est un facteur de normalisation dû à la
fenêtre w(k) - En pratique on utilisera la FFT et
M sera une puissance de 2. - La variance
diminue quand L augmente mais la résolution
fréquentielle diminue aussi. - On autorise un
recouvrement (overlap) des sections pour
améliorer la résolution fréquentielle. - la
fonction psd (ou spectrum) de matlab utilise par
défaut M256, un overlap de 50 et une fenêtre
w(k) de Hanning.
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité N2048A11A21A30.01f10.
1f20.11f30.3k0N-1 xA1cos(2pif1k)
A2cos(2pif2k)A3cos(2pif3k)
xx1.randn(1,N)
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité Estimateur 1 le corrélogramme
simple Tracé de la DSP du signal x(k)
R2xcorr(x,'unbiased')Pfft(R2)
f0(length(P)-1)/2/length(P)plot(f,abs(P(1len
gth(f))))
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité Estimateur 2 le périodogramme
simple Tracé de la DSP du signal x(k)
NFFTNNOVER0,WINDboxcar(NFFT)PSPECTRUM(x,NFF
T,NOVER,WIND) f0length(P)-1/NFFTplot(f,P(
,1))
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité Estimateur 3 le périodogramme
moyenné Tracé de la DSP du signal x(k)
NFFT128NOVER0WINDboxcar(NFFT)PSPECTRUM(x,NF
FT,NOVER,WIND) f0length(P)-1/NFFTplot(f,P(
,1))
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité Estimateur 4 le périodogramme
lissé avec une fenêtre de hanning Tracé de la
DSP du signal x(k) NFFTNNOVER0WINDhanning(N
FFT)PSPECTRUM(x,NFFT,NOVER,WIND)
f0length(P)-1/NFFTplot(f,P(,1))
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité Estimateur 5 le périodogramme
de Welch lissé et moyenné Tracé de la DSP du
signal x(k) NFFT512NOVER0WINDhanning(NFFT)
PSPECTRUM(x,NFFT,NOVER,WIND)
f0length(P)-1/NFFTplot(f,P(,1))
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V. Méthodes Classiques d estimation de la DSP

Ex Comparaison des différents estimateurs sur
un signal bruité Estimateur 5 le périodogramme
de Welch lissé et moyenné avec overlap Tracé de
la DSP du signal x(k) NFFT1024NOVER7NFFT/8W
INDhanning(NFFT)PSPECTRUM(x,NFFT,NOVER,WIND)
f0length(P)-1/NFFTplot(f,P(,1))