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METHODE DE GAUSS FACTORISATION LU
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I La méthode de Gauss I-1 Présentation de la
méthode
On la reporte dans les équations 2 à n
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Formules de passage de A(1), b(1) à A(2), b(2)
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A partir du système A(2) xb(2), on peut procéder
de façon similaire à partir de la 2ème équation
et linconnue x2 .
En éliminant successivement x1,x2xn-1, on
construit ainsi une suite de systèmes équivalents
A(k)xb(k) k1 à n
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Formules de passage de A(k), b(k) à A(k1),
b(k1)
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(No Transcript)
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Si lélimination est possible jusquau bout,
lalgorithme aboutit à une matrice A(n)
triangulaire supérieure.
notations UA(n) db(n)
Le système final Uxd est équivalent au système
initial Axb.
Il se résout facilement par remontée
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Remarque pour k1 à n-1 A(k1)M(k)A(k)
b(k1)M(k)b(k)
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det(M(k))1 car M(k) est triangulaire supérieure
avec des 1 sur la diagonale.
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Sinon le processus délimination doit être
modifié.
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La phase délimination peut donc toujours être
menée jusquà la fin.
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De plus si A est inversible, alors A(k) est
inversible et on ne rencontre jamais le 2ème cas
dans la phase délimination.
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I-2 Programmation de la méthode a)cas sans
permutation de lignes avec A régulière
Réservations mémoire
Durant la phase d élimination, les calculs se
font uniquement dans les tableaux A et b (les
valeurs initiales de A et b sont écrasées!)
La phase de remontée s effectue à partir des
valeurs finales contenues dans A et b.
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(No Transcript)
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Simulation sur un exemple où n3
k1
r8/24
1
1
0
r12/26
k2
r-12/1-12
8
8
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(No Transcript)
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b)cas avec permutation de lignes
Pas de permutation physique à lintérieur des
tableaux contenant A et b!
Mise à jour de la numérotation à chaque
permutation à laide dun tableau supplémentaire
Point (n).
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I-3 coûts de calcul
Estimation des coûts de calcul ou de la
complexité dun algorithme Estimation du nombre
dopérations élémentaires additions,
multiplications, divisions.
Lunité de mesure de la puissance dun
calculateur est donné en Megaflops (Mflops) où 1
Mflops106 opérations en virgule flottante par
seconde.
Cette mesure nest quindicative car la vitesse
de calcul peut varier en fonction de lalgorithme
utilisé et de la taille du problème traité.
Les plus gros calculateurs au monde ont des
puissances supérieurs à 106 Mflops 1 Teraflops
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• Institut du Développement et des Ressources en
  Informatique Scientifique (IDRIS)

• IBM SP Power4 ZAHIR  
• 124 processeurs 6,55 Tflops 3136 Goctets

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Le coût de résolution dun système linéaire est
donnée en fonction de sa dimension n, ce qui
permet des comparaisons defficacité entre
différentes méthodes.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Illustration numérique montrant limportance du
choix dune méthode de résolution
Le calcul du déterminant par une méthode de
développement par ligne conduit à un coût de
résolution supérieur à (n1)!
inférieur à 1/100 seconde par Gauss
de lordre de 10185 l age de lUnivers par
méthode de Cramer
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I-4 Un résultat théorique admis
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Conséquences Sur une matrice s.d.p.
lélimination de Gauss peut se faire sans
permutation de lignes et les éléments diagonaux
de la matrice U obtenue sont strictement positifs.
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II Factorisation LU II-1 Intérêt d une
factorisation LU
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Pour résoudre Axbk connaissant sa factorisation
LU, on résout successivement 2 systèmes
 triangulaires 
Lybk (descente)
puis Uxy (remontée)
On verra dans la suite que le coût de la
factorisation est égal au coût de lélimination
de Gauss.
On obtient alors le tableau des coûts
asymptotiques suivant
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(No Transcript)
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I-2 Conditions d existence et d unicité dune
factorisation LU
Proposition 1(unicité) On suppose que A est
régulière et admet une factorisation LU.
Alors U est régulière et la factorisation est
unique
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b) Unicité?
Supposons AL1U1L2U2
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Proposition 2 On suppose que lélimination de
Gauss est faisable sans permutation de lignes sur
un système de matrice A supposée régulière. Alors
A possède une factorisation LU avec U régulière.
Démonstration on introduit les matrices L(k)
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On vérifie que L(k) M(k)-1
A(k1)M(k)A(k)
On pose L L(1)L(2).L(n-1) produit de triang.
inf. à diag. unité
On pose UA(n) triang. sup. régulière car A
régulière
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Théorème 2 A matrice (n,n) possède une
factorisation LU avec U régulière si et seulement
si ses sous-matrices principales Ak k1 à n sont
régulières.
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Démonstration
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b) Supposons ALU avec U régulière
Or A11 est une sous-matrice principale A(k).
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I-3 Programmation de la factorisation LU
aucun calcul pour effectuer le produit de
matrices L(k)!
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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k1
r8/24
1
1
4
r12/26
6
k2
r-12/1-12
-12
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III Matrices à structure particulière III-1
Matrice symétrique
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Démonstration (par récurrence)
a(1)A symétrique par hypothèse
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Proposition 4 Soit A une matrice (n,n) régulière
et symétrique. Si elle possède une factorisation
ALU alors UDLt où D est une matrice diagonale .
On a donc ALDLt. et diiuii i1 à n.
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On pose L1LD et U1D-1U
soit ALDLt
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Remarque dans le cas où A est s.d.p.
ALDLt avec diigt0 i1 à n
doù ALD1/2D1/2Lt
avec BLD1/2, on obtient ABBt
dite factorisation de Cholesky
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III-2 Matrice à structure bande
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H matrice (n,n) I matrice identité (n,n)
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Proposition 4 Soit A(n,n) une matrice de
structure bande avec une demi-largeur de bande m.
Si la phase d élimination de Gauss seffectue
sans permutation de lignes, alors toutes les
matrices a(k), k1 à n ont une structure bande
avec une demi-largeur de bande inférieure ou
égale à m. De plus m2 éléments changent de
valeurs à l étape k dans la matrice a(k).
a nest pas modifié si b ou c nul.
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(No Transcript)
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Léconomie de calculs se fait aussi dans la
remontée car U est à structure bande.
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Pour minimiser les coûts de calcul dans les
méthodes de résolution par Gauss ou factorisation
LU, on a donc intérêt à avoir la plus petite
largeur de bande possible.
Pour les matrices différences finies, cela
revient à bien choisir lordre de numérotation
des nuds de la grille.
Au chapitre suivant, nous présenterons des
méthodes itératives de résolution dont le coût
pour ces matrices est indépendant de lordre de
numérotation.
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