Lemme de pompage

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Lemme de pompage

• Si L est régulier alors il existe une longueur de
  pompage p 1 telle que pour tout w?L, il existe
  x,y,z ? ? tels que w xyz et
• xy p
• y gt 0
• Pour tout i 0 on a xyiz ? L.

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• Exercice montrez que le langage L ak bncn
  n,k ? N ? k 2 nest pas régulier.
• Solution
• Supposons que L est régulier. Il satisfait donc
  le lemme de pompage pour une certaine longueur de
  pompage p.
• Soit w aabpcp. Comme on a w p, alors w peut
  être pompé. Il existe donc w xyz avec xy p
  et y gt 0 et xyiz ? L pour tout i 0.

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• Il y a trois cas à considérer.
• y ne contient que des a. Dans ce cas, on a xy0z
  est soit abpcp soit bpcp qui ne sont pas des
  éléments de L.
• y ne contient que des b. Dans ce cas on a xy2z
  est de la forme aabp y cp qui nest pas dans
  L
• y contient des a et des b. Dans ce cas xy2z
  contient au moins un b suivi dun a et nest pas
  dans le langage.
• Dans les trois cas on arrive à une contradiction
  donc L nest pas régulier.

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Plus difficile montrez grâce au lemme de pompage
que le langageL anbm n,m ? N ? n ? m Nest
pas régulier.

• Solution
• Supposons que L est régulier et que sa longueur
  de pompage est p. On veut obtenir une
  contradiction en trouvant un mot de L de longueur
  au moins p qui ne pourra être pompé.
• Prenons w ap bpp!
• Ce mot est dans L donc il peut être découpé w
  xyz avec
• xy p
• y gt 0
• Pour tout i 0, on a xyiz ? L

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Plus difficile montrez grâce au lemme de pompage
que le langageL anbm n,m ? N ? n ? m Nest
pas régulier.

• Comme 0 lt y p, le mot y consiste dun bloc de
  i a avec 0 lt i p.
• Comme i p, i est un diviseur de p!, donc il
  existe un k tel que ik p!.
• Le mot xyk1z doit faire partie de L, mais ce mot
  contient k nouvelles copies de y et donc contient
  p ik p! copies de a.
• Donc xyk1z app! bpp!. Ce mot nest pas dans
  L.
• Contradiction! L nest pas régulier.

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Montrez que le langage L anbm n,m ? N ? n ?
m nest pas régulier.

• Preuve par contradiction.
• Supposons que L est régulier.
• Le complément Lc de L est régulier.
• On sait aussi que le langage K (a ? b) est
  régulier.
• Lc ? K est régulier.
• Or Lc ? K anbn n ? N nest pas régulier.
• Contradiction.

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• Montrez que les langages suivants sont réguliers.
• Lensemble des mots de a,b qui commencent et
  finissent par la même lettre.
• Lensemble des entiers écrits en représentation
  binaire qui sont divisibles par 3.
• Lensemble des mots de a,b où chaque lettre
  qui apparaît apparaît au moins deux fois.

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• Solutions
• Lautomate doit se  souvenir  de la première
  lettre lue et doit la comparer à la dernière.
  Lautomate déterministe a besoin de 5 états.
• Quel sont les propriétés dun nombre écrit en
  binaire qui est divisible par 3? Si on part de la
  droite vers la gauche alors chaque bit lu modifie
  le résidu modulo 3 par 1 ou -1 dépendant de sa
  position. On peut réaliser un automate pour le
  renversé du langage avec 6 états.
• Lautomate doit détecter les lettres qui
  apparaissent et pour chacune delle compter leurs
  occurrences jusquà deux. Lautomate nécessite 9
  états correspondant aux comptes possibles de ces
  lettres.

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• Montrez que les langages suivants sont réguliers
  en les décrivant par une expression régulière.
• Lensemble des mots de a,b qui commencent et
  finissent par la même lettre.
• Les mots de longueur impaire.
• Lensemble des mots de a,b où chaque lettre
  qui apparaît apparaît au moins deux fois.

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• Solutions
• (((a ? ((a ? b) ? a)) ? (b ? ((a ? b) ? b))) ?
  a) ? b)
• (((a ? b) ? (a ? b)) ? (a ? b))

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(No Transcript)
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• Supposons que lon définit des automates
  non-déterministes avec plusieurs états initiaux.
  On considère alors que lautomate accepte w ssi
  il existe un chemin à partir dun des états
  initiaux étiqueté w qui mène à un état final.
• Montrez que ces automates ne reconnaissent que
  des langages réguliers.

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• Deux solutions possibles.
• Soit M (S,?, ?, I, F) un automate
  non-déterministe à états initiaux multiples I ?
  S.
• Nous pouvons modifier cet automate en un automate
  non-déterministe usuel.
• M (S?i,?, ?, i, F)
• Avec ? ? ? (i,a,p) (i,a,p) ? ? ? i ? I
• Cet automate na quun état initial et accepte
  les mêmes séquences que M.

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• Deuxième possibilité
• On utilise la construction pour transformer un
  automate non-déterministe en un automate
  déterministe équivalent. Létat initial sera
  cette fois létat correspondant au sous-ensemble
  I.