Mthode diffrentielle

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Méthode différentielle
Principe, historique, recherches actuelles

• Mercredi 8 mars 2006

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Principe

• Réduction des équations de Maxwell à un système
  différentiel du premier ordre

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principe

• Intégration du système différentiel à travers la
  zone modulée
• Raccordement aux limites
• Connaissance du champ
• dans les zones homogènes
• dans la zone modulée

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Comment obtenir un système différentiel ordinaire
à partir des équations de Maxwell?

• E/H(x,y,z) Comment calculer les dérivées
  partielles suivant x et z?
• Le champ est invariant suivant z la dérivée ?/?z
  est nulle
• Le champ est pseudo-périodique ? développement
  en séries de Fourier ? fonction exponentielle
  suivant x sa dérivée est très simple

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Développement du champ en séries de Fourier
Il reste à exprimer Dn(y) en fonction de En(y)
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Factorisation de la relation de constitution,ou
 comment calculer les composantes de Fourier
dun produit de fonctions à partir des
composantes de Fourier des fonctions? 

• Relation de constitution
• Dans une base complète, règle de Laurent

• Mais la base est tronquée
• La convergence du calcul dépend de la continuité
  de E
• converge seulement si E est continu (c.à.d en TE)

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Système différentiel

• 6x(2N1) équations à 6x(2N1) inconnues
• On isole les d/dy, on élimine les composantes
  Hy,n et Ey,n et on obtient

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Méthodes dintégration

• Si M dépend de y, lintégration est numérique
  (Runge-Kutta, Adams Moulton)
• Si M est invariant suivant y, intégration suivant
  la méthode des valeurs et des vecteurs propres de
  M

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Raccordement aux limites
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Raccordement aux limites
inconnues
Données initiales

• Et cest fini!!
• Mais des problèmes numériques surgissent lors de
  lintégration

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Algorithme S

• Si la hauteur dintégration est grande
  relativement à la longueur donde, linversion
  numérique de la matrice T22 entraîne des
  problèmes numériques.
• Pour palier ce problème, on utilise lalgorithme
  S introduit en 1994 dans la théorie des réseaux.
• Linversion unique de T22 est remplacée par de
  multiples inversions au cours de lintégration

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Réseaux de compression du laser Petawatt

• Réseaux blazés gravés sur un empilement
  diélectriqueimportance du profil sur le seuil
  dendommagement laser

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Historique. Années 70Naissance dune méthode

• Développement à partir du milieu des années 60
• En 1973, modélisation des réseaux diélectriques
  peu profonds en TE et TM
• Réseaux métalliques résultats fiables en TE
  mais faible convergence en TM
• Réseaux profonds problèmes dans les 2
  polarisations

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Historique. Années 80Des solutions sont
apportées, mais des difficultés persistent

• Problèmes dintégrations numériques
  Développement (1981-1982) de la méthode RCW pour
  une intégration à partir des valeurs et des
  vecteurs propres de la matrice M (uniquement si M
  ne dépend pas de la variable dintégration)
• Extension de la méthode aux autres profils
• Staircase approximation incorrecte!!!
• Transformation non conforme du profil du réseau
  en un plan (1982) bien adaptée aux réseaux
  sinusoïdaux
• Mais toujours pas de solution pour les réseaux
  profonds et pour la polarisation TM
• Le doute sinstaure en 1987, Depine et Simon
  mettent en cause la validité de la formulation de
  la méthode en polarisation TM, à tort

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Historique-Années 90tout saccélère

• 1994Introduction de lalgorithme S dans la
  théorie des réseaux
• Permet la modélisation des réseaux profonds,
• mais persistance des problèmes en TM
• 1996 Découverte empirique dune formulation
  convergente de la méthode RCW en TM.
• 1996 Règles de factorisation convergentes dans
  une base de Fourier tronquée

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Règles de factorisation

• Si E(x) est continu
• Cas de la polarisation TE
• Vecteur colonne contenant les composantes de
  Fourier de D(x)
• Matrice de Toeplitz des composantes de Fourier
  de e(x)
• Si D(x) est continu
• Cas de la polarisation TM dans les réseaux
  lamellaires
• Il sagit de la formulation empirique présentée
  en 1996
• Si les 3 fonctions sont simultanément
  discontinues
• pas de règles de factorisation convergente
• Et cest le cas de la polarisation TM dans un
  profil arbitraire !!!!
• La méthode différentielle est-elle condamnée à ne
  jamais converger en TM?

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Fast Fourier FactorizationRésout les problèmes
de convergence en TM pour un profil arbitraire
Fe(x) est une fonction continue!!
Jusquen 1996
A partir de 2000

• 2000-2001 Formulation dune méthode
  différentielle convergente en TM la FFF (Fast
  Fourier Factorization)

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Pourquoi tant dannées pour énoncer une
formulation convergente de la méthode?

• 2 problèmes indépendants
• Erreurs numériques lors de lintégration,
• Factorisation non convergente,
• mais qui se renforçaient mutuellement
• Plus on augmentait le nombre de coefficients de
  Fourier, plus les termes en exp(ibny)
  explosaient rapidement.

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Derniers travaux de léquipe

• 2004 extension de la méthode FFF aux coordonnées
  cylindriques

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Derniers travaux de léquipe

• 2004 généralisation des règles de factorisation
  à dautres types de bases de fonctions
• 2005 Formulation dune méthode différentielle en
  coordonnées cylindriques. Le champ est développé
  sur une base Fourier-Bessel

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Derniers travaux de léquipe
Exemple de résultats sur un disque cylindrique
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Travaux effectués dans le laboratoire depuis

• 2005 Méthode différentielle en coordonnées
  sphériques
• Développement du champ sur une base dharmoniques
  sphériques
• Extension aux milieux anisotropes
• A venir écriture du code numérique