RJE

1
RJEŠAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI

• Metoda bisekcije, iteracije, tangente, sekante,
  regula falsi

2
Problem?

• Zadana je jednadžba f(x)0
• Prvo moramo odrediti interval u kojem se nalazi
  nul tocka funkcije
• Ako se nul tocka nalazi u a,b, onda vrijedi
  f(a)f(b)lt0
• Što ako je funkcija prekidna?

3
Kako odrediti interval?

1. Tablicno
2. Graficki

Zadatak Odredite intervale u kojima se nalaze
rješenja jednadžbe
4
Metoda polovljenja intevala ili metoda bisekcije
Funkcije f(x) je definirana na intevalu a,b,
gdje bez smanjenja opcenitosti uzmimo da ja altb,
i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi
barem jedna nultocka
Onda je gotovo! A ako to ne vrijedi nego
5
Pogreška

• Na pocetku je zadana tocnost

U prvom koraku pogreška je jednaka U k-tom
koraku greška je Kriterij zaustavljanja
6
Zadatak
Metodom bisekcije rješite jednadžbu s tocnošcu
10-3
Moramo odrediti interval gdje se nultocka nalazi,
a zatim naci rješenje gdje pritom pazimo da se
zaustavimo kada zadovoljimo kriterij
zaustavljanja.
7
Koja je mana ove metode

• Mana ove metode je da je spora tj. postoje puno
  brže metode nalaženja rješenja jednadžbe odnosno
  postupci koji puno brže konvergiraju k rješenju

8
Zadatak

• Rješite sljedece jednadžbe

Uz kriterij zaustavljanja 10-5
Uz kriterij zaustavljanja 10-3
9
METODA ITERACIJE
Funkcije f(x) je definirana na intevalu a,b,
gdje bez smanjenja opcenitosti uzmimo da ja altb,
i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi
barem jedna nultocka. Zadana je funckija
f(x)0. Prvo dodamo lijevo i desno x, pa
imamo xf(x)x Zatim lijevu stranu zamijenimo s
novom funcijom
10
Naziva se metoda iteracije jer se uvrštavanjem
nekog rješenja sve više približavamo pravom
rješenju. Taj postupak ponavljamo odreden broj
puta dok ne zadovoljimo kriterij zaustavljanja.
rješenje
11
ZADATAK

• Riješite jednadžbu ako znamo da se njezino
  rješenje nalazi na intervalu 3,5
• Uz uvjet

12
DZ

• Riješite jednadžbu
• Uz uvjet

13

• Što se dogada s ovom metodom ako pokušamo
  riješiti sljedecu jednadžbu
• Zašto?

14
Newtonova metoda(metoda tangente)

• Uvjeti
• Funkcija je konveksna ili konkavna

15

• Ponovimo isti postupak više puta

16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18
(No Transcript)
19
Kako izracunati novu približnu vrijednost nul
tocke(aproksimaciju)
20
Pogreška i kriterij zaustavljanja

• Na pocetku je zadana tocnost

21
Zadatak

• Izracunajte rješenja jednadžbe
• x-sinx-0.250
• s tocnošcu 10-4

22
METODA SEKANTE

• Uvjeti
• Funkcija je konveksna ili konkavna
• Zadane su prva dva cvora

23
Kako izracunati novu približnu vrijednost nul
tocke(aproksimaciju)
24
Pogreška i kriterij zaustavljanja

• Na pocetku je zadana tocnost

25

• Izracunajte rješenja jednadžbe
• s tocnošcu 10-4

26
REGULA FALSI

• Uvjeti

Ono što ne mora biti zadovoljeno je uvjet
konveksnosti odnosno konkavnosti
27
Zašto ne mora biti zadovoljen uvjet konveksnosti
odnosno konkavnosti

• Jer se metoda prilagodava situaciji, ali na koji
  nacin pomocu granica glavnog intervala izracuna
  novu tocku

28
A zatim cini provjeru
Ovim postupkom se napravi korekcija pocetnog
intervala
29
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Ima isti kriterij zaustavljanja kao i metoda
sekante.
30
Zadatak

• Riješite jednadžbu
• x lnx-ln100
• uz tocnost 10-4

31
KOMBINIRANE METODE

• Možemo kombinirati navedene metode
• Sekanta i bisekcija
• Regula falsi i bisekcija
• Tangenta i sekanta