Intersecciones y Ordenamiento Espacial

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Intersecciones y Ordenamiento Espacial

• 2009

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1ra Parte Intersecciones
I
np
nq
t
3
Distancia de Punto a Recta y Plano
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Intersección de Segmentos
2e/2i en el plano 3e/2i en el espacio
(1??)P0?P1 (1??)Q0?Q1 ? a , ß

• ?P, ?Q, n ?P ? ?Q. Si n?0,0,0 ? b)
• P (P0n) n/n2, Q (Q0n) n/n2. Si
  d(P,Q)P-Q0 ? c)
• a (Q0-P0)??Q?n/ n2, ß (P0-Q0)??P?n/ n2. Si
  a,ß ? 0,12 ? d)
• I P0 a ?P

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Intersección de Segmento y Triángulo
(1??)P0?P1 (1????)Q0?Q1?Q2 3e/3i en el
espacio ? a , ß , ? matriz singular ?
paralelismo o coincidencia a , ß , ? ? 0,1 ?
intersección propia
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Intersección de triángulos
A) a , ß , ? , d ? 3e/4i ? d(a,ß,?) ecuación afín
de la recta (complicado) B) np,nq,t np?nq I
intersección de las proyecciones
(mejor) C) 1) np,nq,t np?nq 2) I
µ np ? nq (I?P0 )np 0 ? µ
npnp ? npnq P0np (I?Q0)nq 0
? µ npnq ? nqnq Q0nq 3) Test de
Intersección Propia Interceptar
(I?t) con todas las aristas ((1-?)Pi?Pj)
((1-?)Qi?Qj) ? ? 0, 1) (dos en cada
triángulo) Ordenar los ? de las
intersecciones
? µ, ? ? I
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Plano y Tetraedro
D) Level-Set (un plano vs. muchos
segmentos/triángulos/tetraedros) Plano P0,n o
P0,P1,P2 n (P1P0)x(P2P0) (no hace falta
normalizar) Para cada punto Qi del tetraedro (o
de todos los objetos a cortar) di ndi
(QiP0)n Qin P0n (P0n cte.) Las
coordenadas baricéntricas interpolan cualquier
valor asociado a los puntos. Para cada arista
d 0 se interpola entre los asociados a los
extremos (solo si y ) I Qi (QjQi)
(djdi)/dj
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Intersección de Rayos y Esferas
La misma figura muestra tres casos, que usan t o
n a) Circunferencia y recta (P0,t) en el mismo
plano. b) Esfera y recta (P0,t) en el espacio,
vemos el plano que forman la recta y el centro.
c) Esfera y plano (P0,n) en el espacio, vemos el
plano de canto.
1) Recta C- P0((C-P0)t) t Plano C-
P0(C-P0)?((C-P0)n) n 2)
(C--C)2 lt r2 ? r2 r2?(C--C)2 3)
Recta I C- r t Plano Circunferencia
C-,r en el plano
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2da Parte Optimización
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Ej. Detección de Colisiones
11
Línea Separadora y Envoltorios
Axis-Aligned Bounding-Box
Object-Oriented Bounding-Box
Bounding Sphere
Convex-Hull
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Ordenamiento Espacial
?pocospocos ltlt todostodos
13
Ej Rendering Ordenado con BSP Tree
14
Ej Nearest-Neighbour en k-d Tree
15
Diagrama de Voronoï
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Diagrama de Voronoï
17
Triangulación Delaunay
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Centro de Circunferencia o Esfera
P1
C
P2
r
P0
r2 (C?Pi)2 C2 ? 2 CPi Pi2 Con origen en
P0 r2 (C?P0)2 C2 C2 C2 ? 2 CPi Pi2
? 2 CPi Pi2 (i ? 1,2 o i ? 1,2,3
en 3D)
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Búsqueda Lineal
1
?0 lt 0
0 lt ?0 lt 1
?0 gt 1
1
0
2
0
2
20
Contraejemplo Interpolación Krigging
21
Ejemplo Interpolación en Triangulación
22
Ej Free-Form Deformation