V CONGRESO DE INVESTIGACIN OPERATIVA

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V CONGRESO DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

• MODELOS DE LOCALIZACIÓN
• María Alvarez R.
• Dra. en Ciencias

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Contenido

• Introducción
• Clasificación de los modelos de localización
• Problemas de Localización para sistemas de
  emergencia
• Modelos Determinísticos de Localización con
  Restricciones de Cobertura
• Modelos Determinísticos de Localización con
  Restricciones de Cobertura Adicional
• Modelos Probabilísticos de Localización
• Modelos que utilizan teoría de colas
• Modelos que utilizan simulación

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- Introducción

• Weber en 1909
• Fijo un paradigma para localización basado en
  la minimización de los costos de transporte, esto
  influye en el desarrollo subsiguiente de la
  localización.

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Clasificación

• Por la naturaleza aleatoria del comportamiento de
  sus componentes determinísticos o
  probabilísticos.
• Por la necesidad de determinar la capacidad de
  almacenamiento capacitados o no capacitados.
• Por la influencia del tiempo en su comportamiento
  y en sus características estáticos o dinámicos.
• Por su localización en el espacio redes, espacio
  continuo, espacio discreto.

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• Por la necesidad de establecer límites en la
  distancia o tiempo de respuesta modelos de
  localización con restricciones de cobertura.
• Por la naturaleza del item almacenado en la
  facilidad localizaciones más cercanas o más
  alejadas (obnoxious facility problems).
• Por el servicio que ofrecen sector público o
  sector privado.
• Por el método de solución utilizado, simulación,
  teoría de colas, métodos de optimización y
  métodos heuristicos.

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• Considerando la distancia (métrica) utilizada
  Manhatan, rectangular, euclidiana o lp.
• Por el número de facilidades a ser localizadas
  conocido a priori o no.

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PROBLEMAS DE LOCALIZACIÓN CON COBERTURA
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• Una área de demanda es considerada cubierta si
  está menos de una distancia o tiempo crítico de
  por lo menos una de las facilidades existentes
  (servidores),
• independiente de que el servidor esté o no
  disponible cuando el servicio es solicitado.

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Notación
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Problema de Localización con Conjuntos de
Cobertura PLCC.
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PLCC

• Donde
• (1) busca minimizar el número de servidores
  necesarios para dar cobertura a todos los
  nodos de demanda.
• (2) permite localizar un servidor en un nodo
  dentro del estándar de respuesta establecido.
• (3) indica la condición de variable entera.

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PLCC Ventajas

• Los servidores pueden ser localizados en los
  propios nodos de demanda y cada nodo de demanda
  debe tener por lo menos un servidor localizado
  dentro de los estándares de respuesta.
• Todos los nodos generadores de demanda tienen
  igual importancia, independiente de la cantidad
  de demanda existente en cada uno de ellos.
• Toda la población será cubierta.

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PLCC Desventajas

• Cuanto menor el estándar de respuesta
  establecido, mayor será el número de servidores a
  localizar.
• También es posible que una solución localice un
  servidor en un nodo distante con una demanda
  pequeña, lo que no podrá ser justificado en un
  análisis del tipo costo/beneficio.

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Problema De Los P-centros

• El número de facilidades a ser localizadas debe
  ser p para un número sucesivo de soluciones.
• Si en una de esas iteraciones el valor de p
  cambia para p1, el valor anterior del estándar
  de respuesta es la mínima distancia máxima que
  puede ser obtenida con p servidores.

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PLp-centros

• Si la mínima distancia máxima es menor o igual
  al estándar del atendimento en emergencias este
  modelo puede ser utilizado.
• Definimos

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(No Transcript)
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PLp-centros

• (4) minimiza la máxima distancia entre cualquier
  nodo de demanda y su servidor más cercano.
• (5) exactamente p servidores serán localizados.
• (6) cada demanda sea alocada a algún servidor.
• (7) asigna la demanda en los servidores ya
  localizados.
• (8) define la máxima distancia entre cualquier
  nodo de demanda i y el servidor mas cercano j.
• (9), (10) establecen el carácter binario de las
  variables

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Problema de localización de máxima Cobertura PLMC
20
PLMC

• Definimos

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PLMC

• (11) maximiza la población cubierta a menos del
  estándar de respuesta S.
• (12) establece que uno o más servidores j
  estarán localizados dentro del estándar de
  respuesta S, a partir del nodo de demanda i.
• (13) limita a p el número de servidores a
  localizar
• (14), (15) establecen el carácter binario de las
  variables.

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PLMC

• La importancia de cada nodo es considerada
  según la cantidad de demanda generada en él y en
  este caso los autores buscan encontrar un
  conjunto de p localizaciones que consiga
  maximizar la cantidad de demanda que recibirá
  cobertura.

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MODELOS DE LOCALIZACIÓN QUE UTILIZAN COBERTURA
ADICIONAL

• En los modelos presentados
• El número de facilidades a localizar puede ser
  muy grande, o
• Quedan demandas sin atención

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Modelo de múltiple cobertura 1 BACOP1

• Formulación

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BACOP1

• Donde

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BACOP1

• (16) permite calcular el mínimo número de
  servidores necesarios para que toda la
  población tenga cobertura (del modelo PLCC).
• (17) maximiza la población con segunda
  cobertura a menos de S.
• (18), (19) aseguran que para que una área de
  demanda j ? J posea doble cobertura es necesario
  que existan por lo menos dos servidores a menos
  de S de la misma.

27
Modelo de múltiple cobertura 2BACOP2

• Se define
• La formulación del Problema es

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(No Transcript)
29
BACOP2

• (20) maximiza la población que recibe una
  cobertura.
• (21) Maximiza la población con dos coberturas.
• (22), (23) trabajan en equipo para determinar que
  nodos reciben cobertura múltiple.

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BACOP2

• (24) establece el número de servidores a
  localizar considerando los recursos
  disponibles.
• (25) es una restricción de primera cobertura
  obligatoria.
• (26) establecen el carácter binario de las
  variables.

31
BACOP2
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MODELOS PROBABILÍSTICOS DE LOCALIZACIÓN CON
RESTRICCIONES DE COBERTURA

• Presentan características de aleatoriedad en
• en el tiempo de respuesta,
• en la solicitud de la demanda,
• en el ofrecimiento de los servicios,
• en la disponibilidad de los servidores.

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• Usan explícitamente distribuciones de
  probabilidad o funciones de densidad
  probabilística de algunas variables aleatorias,
  las cuales tienen gran impacto en la decisión de
  la localización de las facilidades.

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Problema Probabilístico De Localización Con
Conjuntos De Cobertura PPLCC

• Consideran la disponibilidad de los servidores,
  utilizando una única fracción de ocupación q para
  todos en el sistema.
• Establecen que la probabilidad de que por lo
  menos un servidor esté disponible para cada nodo
  de demanda debe ser mayor o igual a un valor a
  llamado de nivel de confiabilidad.

35
PPLCC.

• los servidores actúan independientemente uno de
  otro.
• Se define Tasa de ocupación del servidor

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PPLCC Formulación
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PPLCC

• (27) busca localizar el mayor número de
  servidores,
• (28) establece que la probabilidad de tener por
  lo menos un servidor disponible dentro de S
  cuando el nodo i necesite servicio es mayor o
  igual al nivel de confiabilidad a
• (29) establece la condición binaria de la
  variable .

38
PPLCC

• La restricción se pudo linealizar de esta manera
• a es el menor número entero mayor o igual que
  a

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Modelo de Localización de Máxima Cobertura
Esperada PLMCE

• Extensión del PLMC, maximiza el valor esperado
  de la cobertura en la función objetivo.

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PLMCE

• Es necesario que se determine la probabilidad de
  atención a la demanda para ciertas
  configuraciones de localización de las
  facilidades.
• Admite localizar más de una facilidad en un mismo
  nodo
• Muestra que no existen nodos dominados en la
  solución óptima (el nodo i domina al nodo h si
  el nodo i cubre cada nodo cubierto por el nodo h
  y por lo menos más otro nodo).

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PLMCE

• Se establece que una facilidad puede estar en un
  determinado momento
• 'Disponible', si el servidor puede responder al
  llamado (demanda) en ese momento.
• 'No disponible', si el servidor no puede
  responder al llamado (demanda) en ese momento.

42
PLMCE

• Sea prob la probabilidad de que un servidor este
  ''no disponible''.
• Se asume que prob es conocido e igual para todos
  los servidores y que la probabilidad de que el
  servidor i este disponible es independiente de la
  probabilidad de que el servidor j esté
  disponible, (i ?j).
• El número de servidores que estén disponibles en
  un momento cualquiera sigue una distribución
  Binomial.

43
PLMCE

• Sean los eventos
• Aj de los M servidores están disponibles
• Se define
• Bel nodo k es cubierto por un servidor
  disponible l m servidores le dan cobertura
• Cm servidores no están disponibles

44
PLMCE

• Entonces,
• Sea ahora

45
PLMCE

• Hk,m cobertura esperada en el nodo k
• y

46
PLMCE Formulación
47
PLMCE

• M es el número de instalaciones a localizar,
• N es el número de nodos en la red.

48
PLMCE

• (32) Maximiza la cobertura esperada sobre todos
  los nodos de demanda, dado un número
  especificado de servidores.
• (33) Establece que el nodo de demanda j puede ser
  cubierto máximo por p servidores
• (34) Establece que el número de servidores
  localizados puede ser máximo p
• (35) Definen el carácter entero del número de
  servidores localizados en cada nodo de la red.
• (36) Establecen el carácter binario de las
  variables de decisión.

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Problema de Localización de Máxima
Disponibilidad PLMD

• Localiza p unidades de serviço, de manera que
  cada punto de demanda tenga por lo menos un
  servidor disponíble dentro de un estándar de
  respuesta S, con confiabilidad ?

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PLMD

• PLMD I Considera la misma tasa de ocupación
  para todos los servidores
• PLMD II Considera tasas de ocupación diferentes
  para cada área de la região en estudio

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PLMDI. Tasa de ocupación

• Número de horas de servicio necesarias por día en
  el sistema/ Número de horas de serviço
  disponíbles por día no sistema.

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PLMDI

• Pruno o más servidores disponíbles a menos de S
  a
• 1- Prningun servidor disponíble a menos de
  S a

53
PLMDI
Aplicando log
Se tiene
Entonces
Cada área de demanda j precisa de b servidores
disponíbles a menos de S para tener cobertura
con confiabilidad a
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(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Sujeto a
55
PLMDI

• (1) Maximiza las llamadas atendidas con
  confiabilidad a,
• (2) Por lo menos b servidores deben estar
  localizados a menos de S del nodo de demanda j
  para ser cubierto con confiabilidad a,
• (3) Permite obtener los niveles de cobertura en
  el orden apropiado,
• (4) El número de servidores a ser localizados es
  p,
• (5)y (6). Establecen el carácter binario de las
  variables de decisión.

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MODELOS DE LOCALIZACIÓN CON TEORÍA DE COLAS
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Problema de Localização de Máxima Disponibilidade
Estendido (PLMDE)

• Análise
• Relaxação de hipótese
• Método de solução
• Heurística
• Desenvolvimento Computacional
• Análise de Resultados

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Análise do PLMDE

• El PLMDE es una extensión del PLMD I
• Considera el cálculo de as tasas
• de ocupación individualizadas por servidor
• mediante el uso do modelo Hipercubo

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PLMDE

• La ocupación del servidor es sensible a
• la localización del servidor
• la estratégia usada en la construcción de la
  lista de preferencias del servidor
• Ni siempre es verdad que la probabilidad de
  ocupación de los servidores sea igual para todos.

60
PLMDE

• Las solicitudes de servicio en Sistemas de
  Emergencia deben ser rapidamente atendidas
• es comun en la práctica la cooperación entre
  servidores
• esto descalifica la hipótesis de independencia de
  operación de los servidores

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Estas Hipótesis son relajadas con el uso del
modelo Hipercubo

• La restricción de cobertura es escrita como
• Definiendo

62
PLMDE
Sujeito a
63
Donde

• representa la cobertura total obtenida con la
  localización de los p servidores.
• condición de una confiabilidad igual a a para
  cada nodo de demanda j con p servidores a ser
  localizados.
• más de un servidor puede ser localizado en un
  único nodo.
• establecen el carácter binario de las variables
  de decisión.

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MODELOS DE LOCALIZACIÓN CON SIMULACIÓN