LECCIN 18

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LECCIÓN 18

• Ecuaciones de balance.
• Balances de masa y de carga.
• Balance de energía.

Joseph Louis de Lagrange (1736-1813)
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Medio continuo I

• Región del espacio con una distribución continua
  de materia, también se conoce como campo
  material o campo clásico.
• Sus valores se dan por unidad de volumen
• La materia de un campo clásico puede estar en
  reposo o en movimiento. Sus propiedades están
  distribuidas, se mueven y se dan por unidad de
  masa.
• La conexión entre ellas es la densidad.

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Medio continuo II

• Las variables son la posición y el tiempo.
• Todas las funciones dependen de ellas.
• La primera función es la densidad local de
  materia .
• Toda magnitud extensiva de la materia, sea A,
  define una variable de campo por su valor
  específico

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Medio continuo III

• Dada una superficie, S, el flujo de una
  magnitud, A, a su través es la cantidad de A que
  pasa S en la unidad de tiempo y de superficie

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Medio continuo IV

• Si no se da la superficie, en cada punto se toma
  una superficie genérica e infinitesimal que se
  expresa por su vector.

En ese caso, se define el vector densidad de
flujo de la magnitud A como
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Medio continuo V

• Se llama producción de una magnitud extensiva a
  la cantidad creada o perdida de esa magnitud por
  unidad de volumen y de tiempo
• El elemento creador se llama manantial y su
  producción es positiva.
• El elemento destructor es el sumidero y su
  producción es negativa.

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Ecuación de balance

• Expresión cuantitativa del recuento de una
  magnitud extensiva en un sistema abierto.
• El cambio temporal de A en el interior del
  sistema es igual a las pérdidas o ganancias por
  sus fronteras más las generaciones o extinciones
  que se producen en su seno, es decir, la suma del
  flujo y de la producción.

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Ecuación de conservación

• Una ecuación de balance se transforma en una
  ecuación de conservación cuando la magnitud
  recontada no puede crearse ni destruirse.
• Las magnitudes estrictamente conservativas poseen
  siempre una producción nula
• Lu ecuación de conservación es

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Balance en un medio continuo

• Se estudia un sistema muy extenso en comparación
  con la capacidad descriptiva.
• Se crea un elemento genérico para realizar el
  balance. Ese elemento puede quedar determinado
  por su masa o por su volumen.
• El observador se mueve con el elemento de masa o
  permanece en reposo junto con el volumen de
  observación.
• Se usan las dos descripciones siguientes

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Descripción material o de Lagrange

• Se elige un elemento de masa como sistema
  genérico. El observador y su sistema de
  referencia permanecen fijos en el centro de
  masas. Todos se mueven solidariamente.
• Respecto a ese observador, la masa permanece
  quieta y cualquiera de sus propiedades, A, sólo
  depende del tiempo
• Como un barquero llevado por la corriente.

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Descripción espacial o de Euler

• Elige como sistema genérico un volumen fijo en el
  espacio, junto con el observador y su sistema de
  referencia. La materia atraviesa en su movimiento
  ese volumen.
• Respecto a ese observador la masa y sus
  propiedades dependen tanto de la posición como
  del tiempo
• Es el caso de un observador contemplando la
  corriente desde su orilla.

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Cambio de descripción

• Al derivar una función de función

La velocidad media es y el gradiente de A
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Balance local o espacial I
Para Euler ,el volumen de observación no depende
del tiempo, por tanto la variación temporal de
la propiedad vale
Aplicando las definiciones del flujo
total de a y de su producción a la ecuación
de balance
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Balance local o espacial II
En la ecuación el signo negativo deriva de la
diferencia de signos entre el vector superficie y
la ganancia de la variable.
Aplicando el teorema de la divergencia de
Gauss queda
15
Balance local o espacial III
La integral anterior debe cumplirse para
cualquier volumen, debido a ello se llega a la
ecuación de balance local
donde es la densidad de manantiales y de
sumideros. Para una magnitud conservativa
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Balance local de masa
Para A m, la variable de campo es a 1. La
densidad de flujo es la masa que atraviesa dS con
velocidad media v en el tiempo dt
Como la masa se conserva, la ecuación de
conservación o ecuación de continuidad es
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Balance material de masa
Ya se usó la ecuación de transformación Si se
considera A como la masa, a 1, y aplicando el
valor de la derivada local
se obtiene la ecuación de conservación material
de la masa
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Balance material o sustancial I
Paso del balance local al material
Se conocen las derivadas del 2º miembro
Se llega a la ecuación de balance buscada
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Balance material o sustancial II
La ecuación material de balance o ecuación
sustancial de balance resulta ser
La densidad de flujo tiene los significados 1.
Densidad de flujo total 2. Densidad de flujo de
conducción o que se produce sin movimiento
de masa 3. Densidad de flujo de convección o
debido al movimiento de masa
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Balance de carga eléctrica
La carga eléctrica está ligada a la masa. La
variable de campo es la carga por unidad de masa,
que se representa por e. Son balances
La conducción eléctrica en los sólidos es
debida al gas electrónico que se mueve como un
fluido y su masa se conserva ,
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Balance de energía interna I
Si se considera un sistema en reposo, sus cambios
energéticos sólo son debidos a la energía
interna, cuyo balance sustancial es La
densidad de flujo se obtiene del primer principio
mediante
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Balance de energía interna II
Si el sistema no intercambia trabajo por lo que
la densidad de flujo de energía interna se reduce
a la densidad de flujo de calor
Sin ningún efecto mecánico, la energía interna
se conserva, su producción se anula y sus
balances son
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LECCIÓN 18
FIN