Principios de Inteligencia Artificial

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Principios de Inteligencia Artificial
Búsqueda heurística

• Universidad Antonio de Nebrija
• Ramiro Lago
• Curso 2004-5

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Indice del capítulo

• Introducción al concepto de heurística
• Algoritmos con el método de la escalada
• Algoritmo A
• Funciones heurísticas
• Algoritmo IDA
• Otros métodos

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Introducción al concepto de heurística

• El concepto básico de heurística aquel
  conocimiento que nos permite reducir el espacio
  de búsqueda

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Heurística

• La característica más importante de una
  heurística es la reducción del espacio de
  búsqueda. No todas las heurísticas te garantizan
  llegar a la mejor solución, pero si te deben
  permitir podar el espacio de búsqueda de tal
  forma que llegas a una solución buena.
• Las reglas heurísticas son reglas empíricas que
  se han desarrollado a partir de la experiencia en
  la resolución de problemas. Por ejemplo
• Si has pinchado una rueda, entonces afloja
  ligeramente las tuercas de la rueda antes de
  levantar el coche con el gato.
• En ajedrez, si tienes que mover el caballo
  procura mantenerlo alejado de los bordes.
• Para ir de W a K usa el camino más corto, salvo
  que sea hora punta.
• Las heurísticas acortan el camino hacia la meta
  de diversas formas
• Pueden ser funciones que estimen para cada nodo
  los costes de llegar a la meta, y así poder
  ordenar los nodos para explorar primero los más
  prometedores.
• Una heurística puede también ordenar los
  operadores, con la finalidad aplicar primero los
  más prometedores. Esto es lo que ocurre con
  MYCIN, donde las metarreglas de control
  heurístico seleccionan los módulos de reglas que
  hay que evaluar.
• Los expertos generan más y mejores heurísticas
  que los novatos. Las heurísticas no son sólo
  importantes en los problemas de búsqueda
  algorítmica. Además es importante para una parte
  de la IA conocida como Ingeniería del
  Conocimiento (KE), algunos de los sistemas que
  realiza esta disciplina se denominan Sistemas
  Expertos, ya que tratan de simular la capacidad
  de decisión de expertos humanos. En estos
  sistemas una de las tareas más importantes de los
  ingenieros es llegar a formalizar las heurísticas
  de los expertos.

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Funciones heurísticas

• Hay varias formas de incorporar el conocimiento
  heurístico de un dominio a un determinado
  proceso de búsqueda, una de las más utilizadas es
  la realizada mediante las llamadas Funciones
  heurísticas o funciones de evaluación de estados
  (nodos)
• Una función heurística es una cuantificación (o
  evaluación) de un estado de un sistema , que nos
  permite determinar su deseabilidad respecto a
  un objetivo determinado
• El propósito de dicha función es guiar el proceso
  de búsqueda en la dirección más prometedora,
  sugiriendo cual escoger cuando se presentan
  varias opciones
• La eficiencia de la búsqueda mejora notablemente
  si existe una forma de ordenar las selecciones de
  modo que las más prometedoras se exploren
  primero. Los métodos que sacan provecho de tales
  mediciones se conocen como métodos informados
  heurísticamente.
• Los nodos más prometedores pueden ser
• Crecientes por ejemplo en un sistema de búsqueda
  de inversiones se selecciona aquellas que
  maximizan el beneficio.
• Decrecientes por ejemplo, en un sistema de
  diseño de rutas se seleccionan las que sean menos
  costosas.

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Algoritmos con el método de la escalada

• Un método sencillo, que nos permite solucionar
  problemas de búsqueda en los que tengamos una
  función heurística sin mesetas o máximos locales

7
Técnica de la escalada

• El método consiste en un bucle que constantemente
  se desplaza en dirección de un valor ascendente
  (nodos más prometedores). Para decidir en que
  dirección debe moverse se necesita una función
  de evaluación de los nodos , por ejemplo por
  medio de una función que estime la proximidad de
  un estado a una meta
• La técnica de escalada es un procedimiento de
  búsqueda en profundidad, pero ahora dispondremos
  de una función que ayude a decidir en qué
  dirección nos moveremos en el espacio de búsqueda
• La escalada se utiliza frecuentemente cuando se
  dispone de una buena función para evaluar los
  estados intermedios, y es necesario asimismo un
  objetivo hacia el que moverse, si no existe este
  estado a priori no debe utilizarse este método

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Algoritmo de escalada simple

• Se queda con el primer sucesor que es mejor
• El algoritmo
• Evaluar el estado inicial, lo denominaremos M. Si
  es estado objetivo, entonces devolverlo y
  terminar, si no, convertirlo en estado actual
• Repetir hasta que se encuentre solución o hasta
  que no se pueda seguir (no hay operadores nuevos
  que aplicar)
• A. Seleccionar un nuevo operador que no se haya
  aplicado al estado actual y aplicarlo para
  generar un sucesor al estado actual, lo llamamos
  nuevo estado
• B. Evaluar nuevo estado
• Si el nuevo estado es estado objetivo, devolverlo
  y terminar
• Si no es estado objetivo, pero es mejor que el
  estado actual, entonces convertirlo en estado
  actual
• Si no es mejor que el actual, seguir el bucle (2)
• El algoritmo no guarda el árbol de búsqueda
  recorrido (la traza).
• La comparación es muy local sólo se compara la
  bondad del estado actual con sus sucesores
  inmediatos y se queda con el primero que es mejor
  que el estado actual.

9
Un ejemplo

• Veamos que este algoritmo de escalada es
  demasiado inflexible, sólo se queda con el primer
  sucesor que es mejor que el nodo actual
• El valor de la función de evaluación aparece
  asociado al nodo
• La meta es el nodo H (nodo de mayor puntuación
  según la función de evaluación)

Estado actual Estado nuevo Mejor A B B B D D E
l algoritmo termina, ya que D no tiene sucesores.
D es bueno, pero no el mejor global
(meta). El algoritmo debió tomar C, pero el
primero que era mejor es B.
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Algoritmo de escalada por la máxima pendiente

• El algoritmo
• Evaluar el estado inicial. Si es estado objetivo,
  entonces devolverlo y terminar, si no,
  convertirlo en estado actual
• Repetir hasta que se encuentre solución o hasta
  que una iteración completa no produzca un cambio
  en el estado actual
• A. Aplicar cada operador al estado actual y
  conseguir sucesores E1, ... En.
• B. Evaluar E1 .... En. Si alguno es objetivo,
  devolverlo y terminar Si no es así, seleccionar
  el mejor (Em)
• C. Si Em es mejor que el estado actual, hacer que
  Em sea el estado actual. Volver a (A)
• Frente a la escalada simple, considera todos los
  posibles estados nuevos (no el primero que es
  mejor)

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Un ejemplo que funciona

• Queremos ir del Sur al Norte (de A hasta J) de
  modo que en cada cruce nos aproximemos más. Los
  cruces se representan en la siguiente figura por
  los nodos.
• La función heurística puede basarse en la medida
  de distancia espacial a la meta. A cada nodo
  asociamos su distancia.
• Los operadores son Ir al siguiente del Norte,
  Ir al siguiente del Este e Ir al siguiente del
  Oeste. Observar que aunque existiese un operador
  Ir al siguiente hacia el Sur el algoritmo
  evitaría el nuevo nodo, ya que siempre sería peor
  (más distante).

Estado actual Sucesores Mejor A B,C B B D D D
C,E,H H H I I I J J Meta
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Un ejemplo que no funciona

• Hemos modificado el ejemplo anterior. Por qué se
  queda parado en D?

Estado actual Sucesores Mejor A B,C B B D D D
C,E C D El estado actual vuelve e ser D, ya
que ninguno de sus sucesores es mejor que él
J
0
I
H
2
1
G
3
4
3
C
D
E
4
5
4
B
A

• El estado D es un mínimo local, no el mínimo
  absoluto (la meta)

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Inconvenientes de los métodos de escalada

• El proceso de búsqueda puede no encontrar una
  solución cuando se encuentra con
• Máximo/mínimo local un estado que es mejor que
  todos sus vecinos, pero no es mejor que otros
  estados de otros lugares. Puesto que todos los
  estados vecinos son peores el proceso se queda
  paralizado
• Meseta los estados vecinos tienen el mismo
  valor. El proceso, basado en comparación local,
  no discrimina la mejor dirección
• El origen de estos problemas es que el método de
  la escalada se basa en comparaciones locales, no
  explora exhaustivamente todas las consecuencias.
  Frente a otros métodos menos locales, tiene la
  ventaja de provocar una explosión combinatoria
  menor
• Soluciones parciales
• Almacenar la traza para poder ir hacia atrás,
  hasta un estado prometedor (o tan bueno como el
  que hemos dejado)
• Dar un gran salto para seguir la búsqueda. Útil
  en el caso de mesetas

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Un ejemplo de los inconvenientes del método de
escalada

• Considerar el problema de ordenar los bloques
• Supongamos la siguiente función heurística
  añadir un punto por cada bloque que este sobre el
  bloque que debe estar, restar un punto en caso
  contrario
• Disponemos de dos operadores
• Coger bloque y situarlo sobre otro Encima (x,
  y)
• Coger un bloque y situarlo sobre la mesa
  SobreMesa(x)
• Al usar esta función el estado inicial tiene un
  valor de 4, y el final 8. Sólo es posible
  realizar un movimiento a partir del estado
  inicial (SobreMesa (A)), este movimiento, produce
  un estado de valor 6 y el algoritmo de escalada
  acepta este movimiento.
• En el nuevo estado aparecen tres movimientos
  posibles que dan lugar a tres estados de valor 4
  (a,b,c). El proceso se detiene ya que las tres
  opciones son peores que el estado inicial (6)

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Cambiamos de método o cambiamos de función?

• El problema de los bloques nos muestra que el
  método se ha quedado atascado en un máximo local
  (el segundo estado). Podemos
• Cambiar de método. Escoger una técnica que no sea
  tan local
• Cambiar de función heurística. Por ejemplo por
  cada bloque que se sitúe en una estructura
  correcta( es decir , tenga debajo la estructura
  objetivo) añadir tantos puntos como bloques tenga
  debajo. En caso contrario restar un valor
  equivalente
• Esta nueva función hace que el estado inicial
  tenga un valor de 28, el final 28. Con el
  segundo estado tenemos un valor de 21.
  Solucionamos el problema con esta función?

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El algoritmo A

• Veremos uno de los más conocidos algoritmos de la
  historia de la IA. Si la función heurística
  cumple ciertas condiciones, el algoritmo
  encuentra la mejor solución al problema (el
  camino óptimo)

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Funciones de coste

• Para muchas aplicaciones es interesante definir
  una función que sea la suma de dos componentes
  que llamamos g y h
• La función g representa el coste para ir desde el
  inicio hasta el estado actual la h es una
  estimación del coste adicional necesario para
  llegar a la solución
• La función suma f g h representa pues el
  coste de un camino completo desde el nodo inicial
  a la solución.
• Dicho de forma más precisa
• Dados dos nodos cualesquiera ni , nj , la función
  C(ni , nj) determina el coste mínimo de un camino
  entre ambos nodos
• El costo de un camino mínimo entre un nodo n y
  una meta t , es por tanto h(n) C(n, t)
• h es una estimación del coste para llegar a la
  meta y depende del conocimiento del dominio del
  problema
• El costo de un camino mínimo entre el nodo
  inicial i y un nodo n se denomina g(n) C(i,
  n)
• El valor de g no es una estimación, sino la suma
  de costes de aplicación de las reglas a través de
  la ruta

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Búsqueda del mejor primero

• Los métodos anteriores no tienen vuelta atrás,
  esto es, una vez escogido un estado como actual
  no se puede recorrer el camino hacia atrás a fin
  de deshacerlo (irrevocables)
• La búsqueda. en profundidad tiene la ventaja de
  permitir encontrar soluciones sin tener que
  expandirse por todas las ramas, y la búsqueda en
  anchura presenta la ventaja de no quedar atrapada
  en callejones sin salida
• Introducimos un nuevo modelo de búsqueda que
  intenta combinar ambas ventajas, llamado búsqueda
  del primero mejor (best-first search), cuya
  estrategia básica es como sigue
• En cada paso se selecciona el nodo más prometedor
  (como en el caso de la escalada)
• Se expande este nodo, si alguno de los generados
  es una solución se termina, si no es así los
  nuevos nodos obtenidos se añaden a la lista de
  nodos generados (lista ABIERTOS).
• De nuevo se selecciona el más prometedor y el
  proceso continúa.
• Es más flexible que el método de la escalada si
  en una rama no se encuentra solución, se explora
  alguna rama de las antes ignoradas que sea más
  prometedora esto es posible porque los nodos
  generados (pero no explorados o desarrollados) se
  han almacenado previamente (lista ABIERTA). Las
  ramas no prometedoras no se olvidan, su último
  nodo sin explorar se ha almacenado a fin de poder
  volver si fuera conveniente.
• Algunos autores la denominan búsqueda avara o
  voraz.
• Un ejemplo clásico de este tipo de búsqueda es el
  algoritmo A.

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El algoritmo A en árboles

• Definimos dos listas de nodos
• ABIERTOS nodos generados, pero todavía no
  explorados (no se han desarrollado sus
  sucesores).
• CERRADOS nodos generados y explorados (se han
  generado sus sucesores).
• Versión aplicable a árboles. En un árbol no es
  necesario comprobar si el nuevo nodo (sucesor)
  está en ABIERTOS o CERRADOS. Pasos
• Colocar en ABIERTOS el nodo inicial i. Hacer
  g(i)0 Calcular h(i) Hacer f(i) g(i) h(i)
• Crear CERRADOS como lista vacía
• Si ABIERTOS está vacía salir con fracaso. Si no,
  continuar
• Eliminar el primer nodo de ABIERTOS y colocarlo
  en CERRADOS. Llamarlo nodo n
• Si n es meta salir con éxito
• Si no, desarrollar el nodo n generando sus
  sucesores que no sean antecedentes de n
• Por cada sucesor generado, hacer
• Colocar a cada sucesor un puntero (direccionador)
  a n
• Calcular g(suc) g(n) k(n, suc)
• Calcular f(suc) g(suc) h(suc)
• Colocar el sucesor en ABIERTOS
• Reordenar la lista ABIERTOS de acuerdo al valor
  de f
• Ir al punto 3
• En caso de ÉXITO el camino desde i hasta n,
  obtenido a través de los punteros, es la solución
  de coste mínimo, cuyo costo es g(n)

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Aplicando A a un árbol

• En el siguiente ejemplo se muestran los nodos con
  su h(x), es decir, la estimación de coste de
  desarrollarlo hasta la meta. g(x) será 1 por cada
  nivel recorrido.
• ABIERTOS CERRADOS SUCESORES
• A(06) A B(13), C(15), D(14)
• B(13), D(14) , C(15) A, B G(24), H(25)
• D(14) , C(15) G(24), H(25) A, B,
  D E(22), F(23)
• E(22), F(23), C(15) G(24), H(25) A, B,
  D, E I(31), J(30)
• J(30), I(31), F(23), C(15) G(24), H(25)

• El nodo J es la meta, gracias a los punteros
  construimos la ruta solución A? D ? E ? J.
• El eje del método es que ordenamos ABIERTOS de
  acuerdo a f(n).

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Ejemplo de A en árbol depredador

• Supongamos un depredador (D) ciego, pero con buen
  olfato y tacto. Puesto que es ciego no puede
  anticipar o percibir el obstáculo (O). Aunque el
  obstáculo no le impide oler de forma precisa a su
  presa (P).
• Para simplificar el problema a nuestro depredador
  sólo le podremos aplicar tres operadores Ir al
  Norte, Ir al Este e Ir al Sur (el orden de
  las agujas del reloj)
• Tenemos una forma sencilla de calcular g(n) y
  h(n) cada casilla en la matriz del terreno es
  una unidad.
• Para reordenar los elementos de ABIERTA (paso 8)
  si hay igualdad en f(n), ponemos primero los
  nodos más cercanos a la meta, es decir, de menor
  h(n).
• Notación los nodos se etiquetan con la posición
  (X,Y), pudiendo señalar a continuación los
  valores g(n) y h(n), de la forma (X,Y) g(n)h(n)

ABIERTA CERRADA SUCESORES 1 (1,2)03 (1
,2) (1,1) 14 (2,2) 12 (1,3)
14 2 (2,2) 12 (1,1) 14 (1,3)
14 (1,2)(2,2) (2,1) 23 (2,3)
23 3 (2,1) 23 (2,3) 23 (1,1) 14 (1,3)
14 (1,2)(2,2)(2,1) (3,1) 32
() 4 (3,1) 32 (2,3) 23 (1,1) 14 (1,3)
14 (1,2)(2,2)(2,1)(3,1) (4,1) 41
() 5 (4,1) 41 (2,3) 23 (1,1) 14 (1,3)
14 (1,2)(2,2)(2,1)(3,1)(4,1) (4,2)
50 6 (4,2) 50 (2,3) 23 (1,1) 14 (1,3)
14 El primer nodo de ABIERTA es META () No
aplicamos operador SUR a (2,1), ya que obtenemos
(2,2), que es antecesor () Idem La solución se
construye a partir de los punteros a los
antecesores (1,2)(2,2)(2,1)(3,1)(4,1)(4,2) C
olores del gráfico con Rojo la ruta solución
con Verde los nodos que quedan en ABIERTA.
22
A en un grafo

• Si hay ciclos, tenemos que ampliar el paso 7 por
  cada sucesor que ya está en ABIERTOS o en
  CERRADOS, es decir, el sucesor es una segunda
  instancia de un nodo que ya hemos generado
• Llamamos VIEJO al nodo que está en ABIERTOS o
  CERRADOS. Cuál es mejor camino? sucesor o
  VIEJO?. Compararemos el coste (g) de las dos
  instancias
• SI SUC ESTA EN ABIERTOS (ha sido generado, pero
  no explorado o desarrollado)
• Si g(VIEJO) gt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de SUC (el mejor camino) y los
  ponemos en VIEJO
• Colocamos a VIEJO un puntero (paterno) a n (el
  padre de SUC)
• Calculamos de nuevo g(VIEJO) Hacer g(viejo)
  g(suc) y recalcular f(VIEJO)
• Si g(VIEJO) lt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de VIEJO (que ya está en ABIERTOS)
  dejamos VIEJO en ABIERTOS y no incluimos SUC
• SI SUC ESTA EN CERRADOS (ha sido generado y
  explorado, es decir, hemos generado sucesores)
• Si g(VIEJO) gt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de SUC (el mejor camino) y los
  ponemos en VIEJO
• Colocamos a VIEJO un puntero (paterno) a n (el
  padre de SUC)
• Calculamos de nuevo g(VIEJO) Hacer g(viejo)
  g(suc) y recalcular f(VIEJO)
• Hemos encontrado un mejor camino al nodo (SUC y
  VIEJO son el mismo nodo), por tanto debemos
  propagar la mejora a los sucesores de VIEJO, ya
  que deseamos que el árbol de exploración conserve
  el camino menos costoso. Hacer una búsqueda en
  amplitud tomando como nodo inicial a viejo, y
  descender por cada rama recalculando g(n) y f(n)
  hasta encontrar un nodo sin sucesor, o que se
  encuentre en AB, o que ya tenga un camino igual
  o mejor que el recién encontrado.
• Si g(VIEJO) lt g(SUC), entonces nos quedamos con
  los valores de VIEJO (el mejor camino) no
  hacemos nada (no se incluye SUC en ABIERTOS)

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Aplicando A a un grafo

• Supongamos el siguiente grafo (tiene ciclos)
• ABIERTOS es C,B, ya que f(C)4 Y f(B)5
• CERRADOS es A,D, SUC es B, VIEJO es B
• g(VIEJO) gt g(SUC). Por tanto nos interesa el
  camino de SUC
• Colocamos a VIEJO (B) un puntero (paterno) a n
  (el padre de SUC, que es D)
• Recalculamos VIEJO g(B) 2, por tanto f(B)
  21
• Seguimos en el punto 8 reordenamos ABIERTOS y
  resulta que es B,C, ya que f(B) 3 y f(C)4

A
(4)
(1)
(1)
B
C
D
(1)
(1)
(3)
(1)
(2)
B
F
(1)
(6)
24
Ejemplo del depredador en un grafo

• Se lo hemos puesto bastante más difícil al
  depredador, hemos aumentado los obstáculos.
  Comerá? Hemos añadido el operador Ir al Oeste.

ABIERTOS CERRADOS SUCESORES 1 (1,2)03
(1,2) (1,1) 14 (2,2) 12 (1,3)
14 2 (2,2) 12 (1,1) 14 (1,3) 14 (1,2)
(2,2) (2,1) 23 3 (2,1) 23 (1,1) 14
(1,3) 14 (1,2) (2,2)(2,1) Nota (1) 4 (1,1)
14 (1,3) 14 (1,2) (2,2)(2,1)(1,1) Nota
(2) 5 (1,3) 14 (1,2) (2,2)(2,1)(1,1)
(1,4) 25 (1,3) 6 (1,4) 25 (1,2)
(2,2)(2,1)(1,1) (2,4) 34 (1,3)
(1,4) 7 (2,4) 34 (1,2) (2,2)(2,1)(1,1)
(3,4) 43 (1,3) (1,4) (2,4) 8 .... Cómo
puede construir el camino correcto a la meta?
Sencillo, recordemos que cada nodo apunta a su
antecesor (1,2) ? (1,3) ? (1,4) ? (2,4) ? ....
? (4,2) Meta (1) No aplicamos operador Sur a
(2,1), ya que me da (2,2), que es antecesor.
Además la aplicación de Oeste nos devuelve
(1,1)34 pero ya tenemos (1,1) en ABIERTOS, que
es mejor. Por tanto no se incluye (1,1) en
sucesores. (2) No aplicamos operador Este a
(1,1), ya que me da (2,1), que es antecesor.
Además la aplicación de Sur nos devuelve
(1,2)43 pero ya tenemos (1,2) en CERRADOS, que
es mejor. Por tanto no se incluye (1,2) en
sucesores.
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Consideraciones a A

• Hemos podido observar que A resulta muy costoso
  en dos aspectos
• Cálculo hay que estar ordenando continuamente el
  vector de nodos generados pero todavía no
  explorados (ABIERTA).
• Almacenamiento el peor inconveniente es que su
  consumo de memoria crece exponencialmente con la
  profundidad del grafo. Esto hace que A no sea
  una buena técnica para problemas grandes. Si p es
  la profundidad del árbol y B es el número medio
  de descendientes, entonces
• El vector ABIERTA (el número de hojas del árbol)
  tiene B p elementos. Por ejemplo en el problema
  del 8-puzzle hay 22 pasos para llegar a la
  solución y el número medio de sucesores es 3. Por
  tanto, tiene 322 estados.
• El vector CERRADA (nodos interiores) contiene el
  siguiente número de elementos B 0 B 1 ...
  B p-1.
• Si sólo es relevante obtener el objetivo (sea
  cual sea su coste), entonces g es 0.
• Si h es 0, entonces g controla la búsqueda. En
  este caso, si g tiene el mismo valor (normalmente
  1), entonces estamos ante una búsqueda en anchura
  (no informada).

26
Funciones heurísticas

• Veremos que las funciones heurísticas pueden
  tener una serie de características (monotonía,
  admisibilidad y creciente). En función de sus
  características harán que nuestros algoritmos
  puedan ser óptimos y completos.
• Además tenemos que conseguir algún criterio para
  diseñar y seleccionar las funciones heurísticas
  de un algoritmo.

27
Heurísticas monotonía y crecimiento

• Sea C(n,m) el coste entre n y m y d(n,m) la
  distancia mínima (la línea recta de los
  ejemplos).
• Una heurística es monótona o consistente cuando
  para todo nodo n y cada sucesor m de n, el coste
  estimado por h de alcanzar el objetivo desde n no
  es mayor que C(n, m) y la suma de h(n)
• h(n) ? C(n, m) h(m), ?n,m
• Por tanto
• h(n) ? d(n, m) ? C(n, m) h(m), ?n,m
• Esto es una forma de la regla general de la
  desigualdad triangular, que especifica que un
  lado de un triángulo no puede ser mayor que la
  suma de los otros dos.
• Un ejemplo de heurística no monótona es la que
  vemos a continuación, donde
• 4 h(c) gt C(c,b) h(b) 1 1
• De lo dicho se deduce que para todo h que es
  monótona, su f es creciente. Demostración
• g(m) g(n) C(n,m)
• f(m) g(m) h(m) g(n) C(n,m) h(m) ? g(n)
  h(n) f(n)

28
Heurísticas admisibilidad

• Una función heurística h se dice que es admisible
  si
• h(n) ? h(n), ?n
• en donde h(n)mínima distancia real desde n
  hasta el objetivo
• Las heurísticas admisibles son optimistas
  siempre dan valores menores o iguales a los
  costes reales. Un ejemplo es usar como h entre
  dos puntos la línea recta, ya que cualquier h que
  escojamos no puede sobreestimar a la línea recta.
• Lo esencial en este procedimiento de búsqueda es
  dar con una función h(n) que no sobreestime el
  coste de alcanzar la meta (h es minorante de h
  , la distancia mínima real).
• Si h es monótona, entonces h es admisible. Lo
  contrario no es cierto, como muestra el ejemplo,
  donde h es admisible pero no monótona para h(c).
• A es óptimo y completo si h es admisible.

29
Existen diversas heurísticas admisibles

• En el problema del 8-puzzle hay más de una
  heurística admisible (y monótona)
• h1(n) número de fichas fuera de orden.
• H1(n0) 8
• h2(n) suma de distancias de Manhattan, o sea el
  número de cuadrados que apartan a una ficha de su
  posición según la meta. Tener en cuenta que sólo
  se admiten movimientos horizontales y verticales
• H1(n0) 2332420218

30
Determinar la calidad de la heurística b

• En numerosas ocasiones nos encontraremos con más
  de una heurística admisible. En tales situaciones
  requerimos de algún criterio para seleccionar las
  mejores heurísticas, es decir, aquellas que
  generan menos nodos.
• Una forma de evaluar la calidad de una heurística
  es el b factor de ramificación eficaz. Partimos
  de
• N número total de nodos generados
• d profundidad de la solución
• b es el factor de ramificación eficaz que tendrá
  un árbol con profundidad d y N1 nodos. Así
• N 1 b (b)2 ... (b)d ((b)d1 1)
  / (b-1)
• Esta ecuación no se resuelve por métodos
  algebraicos, sino con cálculo numérico. Por
  ejemplo, si una aplicación de A tiene d5 y N52
  nodos, entonces b1,92.
• Una heurística bien diseñada debe tener una b
  cercana a uno, es decir, si h ? h, entonces b ?
  1.

31
Determinar la calidad de la heurística
heurísticas dominantes

• Antes vimos que el 8-puzzle tenía dos heurísticas
  admisibles (h1 y h2). Con la finalidad de
  observar las diferencias de seleccionar una
  función u otra se pueden comparar los resultados
  de aplicar A al 8-puzzle con las diferentes
  funciones (Russell y Norvig 2004, p. 121)
• Para d24
• Coste de búsqueda A(h1) 39.135 y A(h2)
  1.641
• Factor de ramificación eficaz A(h1) 1,48 y
  A(h2) 1,26
• Diremos que h2 está más informada que h1 si para
  cualquier nodo n, h2(n) ? h1(n) y ambos son
  admisibles. Los valores de h2 son mayores que h1.
• Entonces diremos que h2 domina a h1. Por tanto,
  la dominación implica que h2 expande menos nodos
  que h1.
• También se dice que h2 es una heurística mejor
  informada que a h1. Otro ejemplo
• Para mapas se puede utilizar la distancia
  euclideana h(n) raíz cuadrada de los cuadrados
  de las distancias o max(distancia_x,
  distancia_y).
• Es fácil comprobar que la primera está mejor
  informada y genera menos nodos (Escolano et al.
  2003, p.26)
• Recomendaciones
• Buscar heurísticas con valores mayores, siempre
  que no sobreestimen h.
• Buscar heurísticas con valores mayores siempre
  que el tiempo de cálculo que exigen no sea grande.

32
El algoritmo IDA

• El algoritmo A puede llegar a ser muy costoso en
  cuanto a espacio de almacenamiento. Vamos a ver
  una variante interesante de esta algoritmo IDA
  o Iterative Deepening A, que solventa este
  problema.

33
Introducción a IDA (I)

• Hemos podido observar que A resulta muy costoso
  en dos aspectos
• Cálculo hay que estar ordenando continuamente el
  vector de nodos generados pero todavía no
  explorados (ABIERTA).
• Almacenamiento el peor inconveniente es que su
  consumo de memoria crece exponencialmente con la
  profundidad del grafo. Si p es la profundidad del
  árbol y B es el número medio de descendientes,
  entonces
• El vector ABIERTA (el número de hojas del árbol)
  tiene B p elementos.
• El vector CERRADA (nodos interiores) contiene el
  siguiente número de elementos B 0 B 1 ...
  B p-1.
• Por ejemplo, este consumo de espacio hace que A
  sea muy costoso en juegos de estrategia donde hay
  que usar planificación de rutas en mapas grandes.

34
Introducción a IDA (II)

• El algoritmo de descenso iterativo (Iterative
  Deepening A) nos asegura que el coste de
  almacenamiento crece linealmente con la
  profundidad de la búsqueda.
• Ideas esenciales del algoritmo
• Definimos un coste inicial o coste de corte
  (Corte), que para el primer nodo es f(n0) g(n0)
  h(n0) 0 h(n0) h(n0). Si h(n) es
  admisible nos aseguramos que en todo momento el
  coste de corte es menor o igual al coste mínimo,
  Corte ? Cóptimo. Por tanto el algoritmo de modo
  iterativo va haciendo crecer Corte hasta llegar a
  Cóptimo.
• En cada iteración el algoritmo desencadena una
  búsqueda en profundidad de forma recursiva, que
  terminará cuando encuentra un nodo n cuyo coste
  coste sea mayor que el coste de corte,
  Corteltf(n), o que sea el nodo solución.
• Para entender el algoritmo conviene comprender
  como comienza. Cuando se hayan generado todos los
  sucesores de n0, la búsqueda en profundidad
  recursiva encuentra la solución o devuelve el
  mínimo de los costes de las ramas desarrolladas,
  este mínimo (que es mayor que Corte) se convierte
  en el nuevo valor de Corte. Comenzará una nueva
  búsqueda en profundidad con el valor de Corte
  incrementado.

35
Algoritmo IDA

• Algoritmo IDA
• Corte ? f(n0)
• Repetir
• (Corte, Sol) ? BP( Corte, n0 )
• SI Sol ? 0 Devolver (Sol)
• SI Corte 8 Devolver (Fallo)
• Función BP( Corte, n )
• fsig ? 8
• SI Corte lt f(n) Devolver ( f(n), 0 )
• SI n meta Devolver ( Corte, n )
• Para cada s ? SUCESORES( n ) Hacer
• ( fnueva, Sol ) ? BP( Corte, s )
• SI Sol ? 0 Devolver (Corte, Sol)
• fsig ? min( fsig, fnueva )
• Devolver ( fsig, 0 )

Inicio de la búsqueda en profundidad (BP).
Devuelve el nuevo valor de Corte incrementado (si
no ha encontrado la solución)
Si el coste del nodo es mayor que Corte,
regresamos devolviendo f(n)
Puesto que el nodo actual no es la solución ni
tampoco es más costoso que Corte, entonces
tomamos los sucesores (s) para seguir buscando en
profundidad
Obtenemos el menor coste (fsig) de los sucesores
36
Un ejemplo de IDA salir de la habitación (I)

• Supongamos que un robot (R) quiere salir de una
  habitación en completa oscuridad. Entre su
  posición y la puerta (P) se encuentra un muro.
  Los operadores son ir al Este, ir al Sureste
  e Ir al Sur. Dos notas
• Evidentemente, el orden en el que se aplican los
  operadores es importante. Aunque en este ejemplo
  no sea el caso, conviene tener heurísticas sobre
  dicho orden.
• Operadores como Ir al Oeste no son aplicados.
  Si lo fuese, el f(n) sería mayor que Corte, con
  lo que terminaría la búsqueda en profundidad. Si
  estuviéramos en un laberinto, debería ser
  aplicado.
• La aplicación de cualquier operador tiene un
  coste de uno.
• h(n) es la distancia aérea hasta la puerta, por
  tanto h(n0) 2.

37
Un ejemplo de IDA salir de la habitación (II)

• En la primera iteración Corte 2. Llama a la
  función BP (Búsqueda en Profundidad) con
  argumentos Corte2 y n0(1,1). En la función BP
  se desarrollan los dos sucesores de (1,1).

Algoritmo IDA 1ª Iteración con Corte2
Devuelve fsig 3, el mínimo f(n) de los
sucesores de (1,1)
BP ( 2, (1,1) )
Devuelve f(n)3
Devuelve f(n)3
BP ( 2, (2,1) ) 2 Corte lt f(2,1) 12
3 Devolver (3,0)
BP ( 2, (1,2) ) 2 Corte lt f(1,2) 12
3 Devolver (3,0)

• Los sucesores de (1,1) superan el corte de coste.
  Por tanto cada sucesor devuelve su coste, su
  f(n).
• (1,1) devuelve fsig, el mínimo f(n) de los
  sucesores, que es 3.

38
Un ejemplo de IDA salir de la habitación (III)

• En la segunda iteración Corte 3. Llama a la
  función BP (Búsqueda en Profundidad) con
  argumentos Corte3 y n0(1,1). En la función BP
  se desarrollan los dos sucesores de (1,1).

Algoritmo IDA 1ª Iteración con Corte3
BP ( 3, (1,1) )
Devuelve f(n)4
BP ( 3, (2,1) )
BP ( 3, (1,2) )
No genera (1,3) porque antes llega a la meta (3,3)
BP ( 3, (3,1) ) 3 Corte lt f(3,1) 22
4 Devolver (4,0)
BP ( 3, (2,3) )
BP ( 3, (3,3) ) Es la meta. Devuelve (3, (3,3))

• Con la rama de (2,1) llega a un fallo y devuelve
  un fsig 4.
• Con la rama de (1,2) llega a la meta.

39
Notas finales a IDA

• El algoritmo va realizando búsquedas en
  profundidad que terminan o rebotan cuando
  supera el coste de corte. Entonces el Corte se
  incrementa y se vuelve a realizar la búsqueda en
  profundidad hasta que encuentra la meta.
• IDA es notablemente más económico que A en
  problemas sencillos, pero en problemas más
  difíciles, como ocurre con el ejemplo de la
  habitación, tiene un rendimiento similar a A.
• Para probar esta economía del algoritmo se puede
  probar con el ejemplo de la habitación, quitando
  los obstáculos.

40
Otros métodos

• Reducción del problema (problem reduction)
• Verificación de restricciones (constraint
  satisfaction)
• Análisis de medios y fines (means-ends analysis)

41
Reducción del problema

• Otra heurística que depende del conocimiento del
  problema es la estrategia de divide y vencerás
  el problema se descompone en subproblemas
• Veremos que una buena representación son los
  grafos Y-O
• Hasta ahora los grafos eran del tipo O, en los
  que existe un camino simple para llegar a una
  meta.
• La descomposición o reducción en subproblemas
  genera arcos Y es un tipo de arco en el que
  todos sus sucesores deben resolverse para que el
  arco apunte a una solución
• Supongamos el siguiente ejemplo alguien se
  plantea como objetivo construir una aplicación.
  Tiene dos opciones
• A. Subcontratarla (externalizarla)
• B. Comprar un paquete y personalizarlo
• C. Desarrollo propio, que se subdivide en (C.1)
  planificación, (C.2) análisis/diseño y (C.3)
  programación/pruebas

Objetivo conseguir aplicación de contabilidad
Subcontratar el desarrollo
Comprar paquete
Desarrollo propio
C.1
C.2
C.3
42
Verificación de restricciones

• El estado meta es aquel que satisface un conjunto
  dado de restricciones
• Los problemas de planificación y agendas son
  típicos en este sentido, ya que el diseño de la
  solución debe realizarse dentro de unos límites
  de tiempo, coste y recursos humanos o materiales
• Los estados se definen mediante un conjunto de
  variables(Vi), cada variable tiene un dominio
  (Di) que es el conjunto de posibles valores de la
  variable. Puede ser continuo (por ejemplo, un
  valor entre 0,1) o discreto. La prueba de que
  se ha llegado a la meta es que el estado
  satisface todas las restricciones (este requisito
  se puede ablandar en función del problema)

43
Análisis de medios y fines

• Se centra en las diferencias entre el estado
  actual y el estado objetivo. El sistema trata de
  encontrar uno o varios operadores que reduzcan la
  diferencia.
• Si el operador no puede utilizarse para este
  estado, entonces se crea un subproblema
  consistente en buscar el estado al que se puede
  aplicar, es decir, se buscan estados que cumplan
  las precondiciones del operador
• El proceso puede continuar recursívamente
• Los operadores son reglas que contienen
• Precondiciones (en el antecedente de la regla)
• Cambios o resultados
• Existe una tabla de diferencias, que ordena las
  reglas de acuerdo con su capacidad para reducir
  la diferencia

44
Un ejemplo de análisis (I)

• Imaginemos un robot, que debe mover un escritorio
  de una habitación a otra, con dos objetos encima
  de él. Los objetos también deben trasladarse de
  habitación.
• Operadores
• EMPUJAR(obj, lug)
• Precondiciones en(robot,,obj) grande(obj)
  despejado(obj) brazo_vacio
• Resultado en(obj, lug) en(robot, lug)
• LLEVAR(obj, lug)
• Precondiciones en(robot,obj) pequeño(obj)
• Resultado en(obj, lug) en(robot, lug)
• ANDAR(lug) (no hay precondición)
• Resultado en(robot,lug)
• COGER(obj)
• Precondición en(robot,obj)
• Resultado sostiene(obj)
• DEJAR(obj)
• Precondición sostiene(obj)
• Resultado sostiene(obj)

45
Un ejemplo de análisis (II)

• Tabla de diferencias
• Es importante que las diferencias importantes se
  reduzcan antes que las menos importantes

• Existen al principio dos reglas que podamos
  utilizar para aminorar la diferencia
• LLEVAR una de las precondiciones no tiene un
  operador que pueda satisfacerla
• EMPUJAR para aplicarla es necesario hacer
• En(robot,escritorio)
• Despejado(escritorio)
• qué operadores nos ayudan a cumplir las
  precondiciones?
• Inconvenientes
• Al tratar de aminorar una diferencia se puede
  aumentar otra
• En problemas complejos las tablas de diferencia
  son muy costosas. Resultan necesarias técnicas de
  planificación