Fundamentos de Inteligencia Artificial

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Fundamentos de Inteligencia Artificial
Lógica borrosa
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INDICE

• Introducción
• Lógica formal y teoría de conjuntos
• Conjuntos borrosos
• Operadores fundamentales de lógica borrosa
  t-normas y t-conormas
• Las teorías fundamentales de la lógica borrosa
• Construcción de funciones de pertenencia
• La lógica borrosa como una lógica de los valores
  lingüísticos
• Inferencia borrosa
• Bibliografía básica

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Introducción

• De forma sucinta veremos que es la lógica y
  algunas razones para estudiar la lógica borrosa o
  difusa

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Qué es la lógica?

• Tradicionalmente se ha considerado a la lógica
  como la ciencia del razonamiento correcto
• Este sentido de la lógica nació de la Grecia
  clásica, donde se observo que el estudio del
  razonamiento correcto era importante para el
  desarrollo del debate político, el proceso de
  justicia y la filosofía
• En un sentido más técnico y moderno se habla de
  la lógica como el estudio de los métodos de
  inferencia o demostración. La ciencia de las
  consecuencias válidas
• Por ello es una ciencia de las formas o esquemas
  lógicos
• Por ejemplo, los siguientes esquemas lógicos son
  el tipo de cosas que interesa a la lógica

P v Q P Por tanto, Q
P ? Q P Por tanto, Q
P ? Q Q Por tanto, P
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La lógica es un lenguaje formal

• Puesto que es un lenguaje formal, a la lógica le
  interesan los modelos o esquemas de inferencia
• A la lógica formal le interesa en primer lugar la
  validez de la inferencia, y no tanto la
  interpretación de los esquemas. Por ello
• Lo esencial es el esquema
• Y lo secundario es la interpretación

P v Q P Por tanto, Q
La bacteria es G-Positivo o la bacteria es
G-Negativo Es falso que la bacteria sea
G-Positivo Por tanto, es verdad que la bacteria
es G-Negativo
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Por qué la lógica borrosa?

• En la lógica clásica la valoración de los
  enunciados se hace en términos de verdad o
  falsedad
• Pedro es austriaco y Juan está casado
• Todos los científicos son investigadores, pero
  Juan no es investigador por tanto Juan no es
  científico
• Pero los enunciados que encontramos en múltiples
  contextos no son precisos, no son valorables en
  términos de verdadero o falso
• Una pérdida de aceite moderada supone una
  disminución del rendimiento del motor
• La infraestructura de soporte de la caldera es
  muy frágil
• Qué pretendemos con la lógica borrosa?
• Representar de forma rigurosa el significado de
  los enunciados imprecisos del lenguaje natural
• Tener reglas rigurosas que definan el paso de
  premisas imprecisas a conclusiones imprecisas
• Con que herramienta contamos? Con la lógica
  formal
• No es contradictorio tratar de forma rigurosa
  (al estilo de la lógica formal) lo que es
  eminentemente impreciso? Respuesta gallega es
  necesario tartamudear para analizar la tartamudez?

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Lógica formal y teoría de conjuntos

• Veremos qué es un álgebra de Boole y la
  equivalencia de un álgebra conjuntista con otra
  basada en funciones, funciones de verdad sobre
  0,1.
• Estableceremos la relación entre la lógica
  clásica de predicados y la teoría de conjuntos

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Elementos de un lenguaje formal (I)

• Letras esquemáticas por ejemplo,
  representaremos las proposiciones por letras P,
  Q, R, etc.
• Conectivas para combinar las letras esquemáticas
• Negación p permite construir una frase a partir
  de otra p del tipo no p, no es cierto que p, es
  falso que p
• Conjunción p v q representa a los elementos del
  lenguaje que permiten unir dos frases de la
  forma p y q, p pero q, p no obstante q, p sin
  embargo q
• Disyunción p Ú q uniones de la forma p ó q, al
  menos p ó q, como mínimo p ó q
• Condicional p q relación causa efecto, de la
  forma si p entonces q, q sólo si p, q necesario
  para p, p suficiente para q, p luego q
• Signos de puntuación para deshacer posibles
  ambigüedades, por ejemplo los paréntesis
• Reglas de formación reglas para definir lo que
  es una fórmula bien formada. Por ejemplo
• Si A y B son fórmulas correctas, también son
  fórmulas correctas
• A, B, A v B, A B, A ? B, A ?? B
• Reglas de transformación por ejemplo, p q ? p

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Elementos de un lenguaje formal (II)

• Por último un lenguaje debe basarse también en un
  pequeño número de principios o axiomas. Para
  Aristóteles eran autoevidentes o definiciones de
  términos
• Un ejemplo de principio es el de no
  contradicción no puede ser que algo y su
  contrario sean verdaderos
• El lenguaje admite interpretaciones en términos
  de verdad o falsedad (y nada más). El principio
  de tercio excluso precisamente nos indica que
  de una expresión sólo podemos afirmar su verdad o
  bien su falsedad (y nada más)
• Veremos más adelante por qué la lógica borrosa
  pone en cuestión estos principios

Es falso que P P
Es verdad que P v P
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Algebra de Boole

• Las álgebras de Boole son estructuras muy
  potentes tanto si la necesidad es la deducción de
  teoremas como el cálculo interpretado
• Vamos a definir lo que es un álgebra de Boole
  para el retículo (U, , , , 0, I), donde
• U conjunto donde se indica por P(U) el conjunto
  de sus partes o subconjuntos. Identificando cada
  subconjunto A de U por su función característica
  fA U ? 0,1, dada por
• 1, si x ? A
• fA(x)
• 0, si x ? A
• y operaciones binarias
• operación del complementario
• 0 e I cotas universales

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Propiedades del álgebra de Boole

• Idempotencia aa aa a
• Comutativa ab ba, ab ba
• Asociativa a(bc) (ab)c, a(bc) (ab)
  c
• Absorción a(ab) a(ab)
• Distributiva a(bc) (ab)(ac), a(bc)
  (ab)(ac)
• Acotación 0 a 0, 0 a a, I a a, I
  a I
• Existencia de complemento
• Tercio excluso aa0
• No contradicción aa1

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Importancia del álgebra de Boole

• A partir de un álgebra de Boole podemos deducir
• Las leyes de De Morgan (ab) ab, (ab)
  a b
• La ley de involución (a) a
• También a ab ab
• Con un álgebra de Boole aseguramos mayor
  facilidad y potencia de cálculo. Por ejemplo,
  para los modelos matemáticos usados en IA las
  propiedades conmutativa y asociativa son
  importantes
• A partir de los operadores , y se
  definen otras conectivas u operadores
• El condicional a b a ? b
• La disyunción exclusiva a w b (a ?? b) (a
  partir del doble condicional)

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Algebra de Boole conjuntos y funciones

• Si consideramos el retículo (P(U), ?, ? , , 0,
  U) donde
• Reunión A ? B x ? U, x?A ó x?B
• Intersección A ? B x ? U, x?A y x?B
• Complementario A x ? U, x?A
• Este retículo es un álgebra de Boole
• Como antes dijimos, hacemos corresponder a cada
  elemento A de P(U) su función característica fA
  U ? 0,1. De donde resulta que valen las
  siguientes ecuaciones
• fAB Max( fA, fB )
• fAB Min( fA, fB )
• fA 1 - fA
• Por tanto, el álgebra de Boole conjuntista es
  identificable con un álgebra de Boole funcional

(P(U), ?, ? , , 0, U)
(ffU?0,1, Max, Min , 1-j, 0, 1), donde j es
le función de identidad
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Lógica clásica de predicados y teoría de conjuntos

• Cantor (1845-1918) creó la teoría de conjuntos
• La lógica de predicados se puede interpretar como
  una teoría de conjuntos
• Existe un universo U al que pertenecen todos los
  individuos ? x, x ? U
• Cada predicado es un conjunto incluido en U P ?
  U
• Una afirmación del tipo Px tiene una
  interpretación en términos de verdad o falsedad.
  Ya que tenemos una función, fP(x), que puede
  determinar la verdad o falsedad de Px
• 1, si x ? P
• fP(x)
• 0, si x ? P
• Estamos, por tanto, ante una lógica de conjuntos
  estrictos un individuo pertenece o no a un
  conjunto. Ejemplo

U
P
Es verdad Pa fP(a) 1 Es verdad Pb fP(b)
1 Es falso Pb fP(b) 0
b
a
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Conectivas y teoría de conjuntos

• Negación P
• P P
• 1 0
• 0 1
• Conjunción Px Qx (intersección, ?)
• P Q PQ
• 1 1 1 (A)
• 0 1 0
• 1 0 0
• 0 0 0
• Disyunción Px v Qx (unión, ?)
• P Q PvQ
• 1 1 1 (A)
• 0 1 1 (B)
• 1 0 1 (C)
• 0 0 0

U
P
U
P
Q
(A)
U
P
Q
(A)
(B)
(C)
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Conjuntos borrosos

• Explicaremos el concepto de conjunto borroso.
  Veremos que para definir un conjunto borroso es
  necesario determinar su función de pertenencia
  (la función característica de la lógica clásica)

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Conjuntos borrosos relajamos el concepto de
pertenencia

• Con la lógica clásica la pertenencia del
  individuo a un conjunto viene definida por una
  función que nos da un valor de verdad en un
  universo binario de la verdad
• Dado un universo U y un P(U) como el conjunto de
  partes o subconjuntos de U
• Tenemos que fP U ? 0,1
• Con la lógica borrosa Zadeh 1965 la pertenencia
  a un conjunto viene dada por una función de
  pertenencia (?) sobre un universo continuo 0,1
• Dado un universo U y un P(U) como el conjunto de
  partes o subconjuntos de U
• Tenemos que ?P U ? 0,1

Cuando decimos Px, estemos diciendo que el objeto
x posee completamente la propiedad P
Cuando decimos Px, estemos diciendo que el objeto
x posee sólo en cierto grado la propiedad P
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Conjuntos borrosos verdad y negación

• Decimos que cada conjunto borroso tiene una
  función de pertenencia que determina el valor de
  la proposición Px
• ?x, x ? U, P ? U
• ?P U ? 0,1
• ?P(x) ?, donde x ?? P
• El grado de compatibilidad de x con P se puede
  interpretar como el grado de verdad de Px
  Trillas 1995
• A cada conjunto borroso P le podemos hacer
  corresponder un P (el complementario de P)
• Significado extensional de P ?x x ? U x ? P
• ?P(x) 1 - ?P(x)
• O bien ?P(x) ( 1 - ?P(x)2 )½

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Ejemplo

• Una metáfora el dibujo de un conjunto borroso se
  podría realizar como si fuera una nebulosa (más
  densa en el centro y más ligera o clara en los
  extremos)

Si el predicado P es Persona joven y W Ana,
Pepe. Además ?x, x ? W. Edad(x) ? U 10, 20,
30, 40, 50, 60, 70 Escogeremos como etiqueta del
predicado la variable língüística Joven.
Definimos extensionalmente la función de
pertenencia ?Joven( Edad(x)10 ) 1 ?Joven(
Edad(x)20 ) 1 ?Joven( Edad(x)30 )
0.8 ?Joven( Edad(x)40 ) 0.6 ?Joven( Edad(x)50
) 0.4 ?Joven( Edad(x)60 ) 0.2 ?Joven(
Edad(x)70 ) 0 También se puede representar
?Joven(Edad(x)) 10/1, 20/1, 30/0.8, 40/0.6,
50/0.4, 60/0.2, 70/0
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Función de pertenencia intensionalidad y
extensionalidad

• Retomando el ejemplo anterior del conjunto
  borroso Persona joven, podemos distinguir dos
  formas de definirlo
• Extensionalmente (el camino largo) señalamos
  todos los posibles valores de entrada (edades) y
  a cada uno le asignamos su ?Joven
  correspondiente
• ?x, x ? W (personas), Joven ? W, Edad(x) ? U
  10, 20, 30, 40, 50, 60, 70
• ?Joven(Edad(x)) 10/1, 20/1, 30/0.8, 40/0.6,
  50/0.4, 60/0.2, 70/0
• Intensionalmente definimos una función de
  pertenencia
• En que grado sería Pepe No joven, si su edad
  es de 60 años?

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Una lógica local

• En el ejemplo anterior una persona de 60 años era
  joven en un grado de 0.2. Cuál sería el
  ?Joven(60) si la esperanza y calidad de vida se
  alarga hasta los 200 años? Tendríamos que
  aumentar ?Joven(60) hasta un valor cercano al 0.8
• La representación de los predicados aproximados
  (y por tanto sus funciones de pertenencia) son
  dependientes del universo del discurso. Por ello,
  se habla de la lógica borrosa como de una lógica
  local
• Este condicionante nos empuja a hablar no tanto
  de conjuntos borrosos, como de subconjuntos cuya
  modelización es dependiente (relativa a) un
  universo elegido

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Ejemplo seleccionando la función de pertenencia

• Supongamos que tenemos el subconjunto P de
  Personas cercanas a los 40 años, donde ?x, x ?
  W, Edad(x) e, e ? U 10,70
• ?P(e) (1 0.45(0.45(e 45))2)-1
• Otra forma ?P(e) (1(e-45)2)-1

Qué función define de manera más adecuada al
subconjunto?
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Operadores fundamentales de lógica borrosa
t-normas y t-conormas

• Del mismo modo que en la lógica clásica tenemos
  la conjunción y la disyunción (intersección y
  reunión en teoría de conjuntos) necesitamos
  también operadores borrosos. A los operadores de
  conjunción los llamamos t-normas y a los de
  disyunción t-conormas.

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Conjunción y disyunción

• Al igual que ocurre en la lógica clásica,
  necesitamos operadores que nos permitan realizar
  la conjunción (intersección) o disyunción
  (reunión) de subconjuntos borrosos
• Disyunción por ejemplo, el área de RRHH necesita
  evaluar en que medida los candidatos para un
  puesto reúnen las cualidades de tener un buen
  expediente y ser comunicativos
• Conjunción por ejemplo, el área de control de
  calidad quiere calcular en que medida las piezas
  producidas son a un tiempo resistentes y
  flexibles

U
P
Q
(A)
Ejemplo Si el ?Resis(a) 0.9 y el
?Flexible(a)0.5, entonces cuál sería el ?Resis
? Flexible(a)?
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t-normas

• La conjunción borrosa entre dos subconjuntos
  borrosos A y B se expresa como una función
  T0,1x0,1 ? 0,1, que expresa el grado de
  pertenencia de x a AB
• El concepto de t-norma fue introducido por
  Schweizer (1983). Una conjunción borrosa es una
  t-norma si satisface las siguientes propiedades
• Asociativa T(x,T(y,z)) T(T(x,y), z)
• Conmutativa T(x,y) T(y,x)
• Monotonía T(x,y) T(x,y) si x x, y y
• Elemento neutro T(x,1) 0
• Además conviene que T sea continua
• En el caso de la teoría de Zadeh T(x,y)
  Min(x,y)
• Ejemplo decimos que una persona es digna de
  confianza si es a un tiempo sincera y cumplidora.
  Sabemos que el individuo c es sincero en grado
  ?Sincero(c) 0.9 y es cumplidor ?Cumplidor(c)
  0.4. Entonces, Cuál será el ?Sincero ?
  Cumplidor(c)?

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t-conormas

• Las t-conormas corresponden a las disyunciones de
  la lógica clásica
• Las deducimos usando las leyes de De Morgan
• p v q (p q)
• Si T es una t-norma, diremos que T es su
  t-conorma dual cuando cumple que T(x,y) 1-
  T(1-x,1-y)
• Las t-conormas cumplen las propiedades
• Asociativa T(x,T(y,z)) T(T(x,y), z)
• Conmutativa T(x,y) T(y,x)
• Monotonía T(x,y) T(x,y) si x x, y y
• Elemento absorvente (cota) T(x,1) 1
• Elemento neutro T(x,0) 0
• En el caso de Zadeh la t-conorma es T(x,y)
  Max(x,y)

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Las teorías fundamentales de la lógica borrosa

• Veremos las diferentes aportaciones teóricas a la
  lógica borrosa. En especial veremos que cada
  teoría especifica su t-norma y t-conorma. Daremos
  algunos criterios para seleccionar una u otra
  teoría.

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Teorías fundamentales de la lógica borrosa

• Existen numerosas familias de lógica borrosa,
  cada una de ellas define una t-norma y su
  t-conorma. Vamos a centrarnos en las tres más
  importantes
• No hay una necesidad absoluta de elegir la
  t-conorma dual. Pero si no lo hacemos, entonces
  estamos sacrificando la validez de las leyes de
  De Morgan
• Todos los operadores cumplen los casos clásicos,
  fV 0,1x0,1 ? 0,1?
• Algunos factores que debemos tener en cuenta a la
  hora de seleccionar una teoría
• Propiedad distributiva la única que la cumple es
  el Max/Min de Zadeh
• Orden
• Interacción
• Cumplimiento de principios de la lógica clásica
  tercio excluso y no contradicción

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Orden de los operadores

• Orden de las t-normas
• De forma intuitiva, decimos que las t-normas
  están ordenadas en la medida que unas dan unos
  valores mayores que los que dan otras. Se podría
  explicar diciendo que las t-normas mayores son
  más optimistas, es decir, dan valores
  superiores (más cercanos a 1)
• De manera formal
• T1 T2 si T1(x,y) T2(x,y), ?x?y ? 0,1
• El orden es W Prod Min
• El orden de las t-conormas
• Definido el orden de manera equivalente a lo
  anterior resulta Max Prod W

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Interacción, un ejemplo

• Supongamos el siguiente ejemplo (adaptado de
  Sobrino 1993) Tenemos que interpretar el
  predicado Capacidad de inversión como la
  reunión de dos predicados AActivos de alta
  liquidez y CCapacidad crediticia para los
  individuos a,b,c. Donde ?A(x) y ?C(x) son las
  funciones de pertenencia para A y C.
• El resultado será (siguiendo Max/Min)
• ?A ? C (a) 0.8
• ?A ? C (b) 0.7
• ?A ? C (c) 0.8
• El problema de este resultado es que es
  incompatible con el más mínimo sentido común, que
  nos dice que b tiene la máxima capacidad de
  inversión
• Qué ha ocurrido? Sencillamente que en Max/Min
  entre los ? de los predicados no hay interacción,
  se escoge uno u otro
• Probar el resultado si se utilizase Luckasiewicz
• Moraleja si la interactividad es importante tal
  vez no conviene Max/Min

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Qué ocurre con los axiomas clásicos?

• Ya vimos que los principios fundamentales eran el
  de tercio excluso y el de no contradicción
• Cómo se comportan las diferentes teorías frente
  a estos principios?
• Zadeh (Max/Min) sólo cumple los principios en
  los casos clásicos 0,1
• Suma-Prod idem
• Luckasiewicz cumple los dos
• Max(0, xx-1) Max(0, 1-xx-1) 0
• Min(1, xx) Min(1, x1-x) 1

fV( P P) 0
fV( P v P) 1
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Construcción de funciones de pertenencia

• Para definir funciones de pertenencia
  utilizaremos unas formas o familias estándar,
  empezando por la trapezoidal (la más utilizada)

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Introducción

• La función de pertenencia se puede definir de dos
  formas
• Extensionalmente donde decimos que el conjunto
  borroso consiste en un conjunto de pares
  ordenados P (x, ?P(x)) , x ? U . Lo hacemos
  así, ya que la variable es discreta. Por ejemplo,
  la variable Potencia para el subconjunto Coche
  potente (donde x corresponde con los caballos de
  vapor del coche)
• ?Potencia(x) 80/0.1, 100/0.3, 120/0.5,
  140/0.7, 160/0.9, 180/1
• Intensionalmente puesto que la variable no es
  discreta podemos dar una función continua. A
  continuación vamos a ver como se pueden construir
  estas funciones.

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Trapezoidal y triangular

• La función trapezoidal se define por cuatro
  puntos S(xa,b,c,d)
• 0, si x lt a
• (x-a) / (b-a), si a x b
• 1, si b x c
• (d-x) / (d-c), si c x d
• 0, si x gt d

• La función triangular se define por tres puntos
  S(xa,b,c)
• 0, si x lt a
• (x-a) / (b-a), si a x b
• (c-x) / (c-b), si c x c
• 0, si x gt c

1
1
? (x)
? (x)
0
0
a b c d
a b c
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Tipo S y ?

• La función S se define por tres puntos
  S(xa,b,c)
• 2( (x-a) / (c-a))2, si a x b
• 1- 2((x-a) / (c-a)) 2, si b x c

• La función ? es la unión de S y su
  complementaria
• S(x a,b,c) si x lt c
• 1-S(x c,d,e) si x ? c

c
c
c
d
b
e
a
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La lógica borrosa como una lógica de los valores
lingüísticos

• Hasta ahora hemos estudiado la lógica borrosa
  como una lógica multivalorada que generaliza la
  lógica clásica. Ahora vamos a ver como además nos
  puede ayudar a modelizar el lenguaje natural.

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Variable lingüística

• Uno de los focos de aplicación de la lógica
  borrosa es el del tratamiento del lenguaje
  natural, por ejemplo modelizar expresiones de
  tipo Si la presión es alta, entonces el nivel de
  refrigeración debe ser muy elevado
• Cada subconjunto borroso viene definido por una
  etiqueta llamada variable lingüística. Ejemplos
  de estas etiquetas Presión alta, Temperatura
  fria, Persona Joven. Estas etiquetas son
  definidas en términos de lenguaje natural y se
  aplican a los elementos de ese conjunto.
• Una variable lingüística se define por una tupla
  (A, T(A), U, G, M)
• A El nombre de la variable. Ejemplo Temperatura
  fría
• T(A) El conjunto de términos que puede tomar A.
  En el ejemplo de la Temperatura puede ser
  caliente, muy poco fría, poco fría, medianamente
  fría, bastante fría, muy fría, absolutamente
  fría
• U el conjunto (si es discreta) o rango
  (continua) de valores. En el ejemplo anterior
  podemos decir -70,200
• G Regla sintáctica para generar los términos
• M regla para asociar un significado a cada valor

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Modificadores lingüísticos

• Un subconjunto borroso, A, tiene una serie de
  términos, T(A), que son a su vez subconjuntos
  borrosos. En el caso de Persona sociable
  tenemos Insociable, Muy poco sociable, Poco
  sociable, Medianamente sociable, Bastante
  sociable, Muy sociable, Absolutamente sociable
• El conjunto de términos (term set) se construye
  anteponiendo unas partículas que llamamos
  modificadores lingüísticos poco, muy,
  extraordinariamente, etc.
• Cómo se calculan los subconjuntos resultantes de
  usar modificadores lingüísticos?
• Observe que un modificador lingüístico amplia
  (dilata) o disminuye (contrae) la extensión de un
  predicado borroso (crea otro predicado)

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Ejemplo el subconjunto de los pisos grandes (I)

• Variable lingüística Grande
• Términos(Grande) muy poco grande, poco grande,
  medianamente grande, bastante grande, muy grande
• En metros cuadrados U 100, 110, 120, 130,
  140, 150, 160, 170, 180
• Empezamos construyendo el conjunto medianamente
  grande, por medio de una función (x-100) /
  (180-100). Con lo que resulta que ?Med.Grande(x)
  100/0, 110/0.13, 120/0.25, 130/0.38, 140/0.5,
  150/0.63, 160/0.75, 170/0.88, 180/1
• A continuación calculamos el resto de términos

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Ejemplo el subconjunto de los pisos grandes (II)

• Ahora queremos representar el predicado Pisos
  que no son bastante grandes o muy grandes, es
  decir, nos piden valorar ?(B.Grande ?
  MuyGrande)(x).
• Partimos de la distribución de Pisos bastante
  grandes y muy gandes para hallar ?B.Grande ?
  MuyGrande(x) Max(?B.Grande(x), ?MuyGrande(x))
• A continuación hallamos ?(B.Grande ?
  MuyGrande)(x) 1- ?B.Grande ? MuyGrande(x)
• Nota ver que se cumple De Morgan (AvB) AB

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Inferencia borrosa

• Veremos como podemos aplicar el Modus Ponens a la
  lógica borrosa, para ello nos ayudamos en la
  regla de composición de relaciones.

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Condicional difuso

• Necesitamos modelizar relaciones del tipo Si el
  piso es medianamente céntrico, entonces el precio
  es alto. Supongamos que tenemos
• C Bastante Céntrico
• P Precio muy alto
• Conocemos el modus Ponens
• Regla C ? P
• Aserto C
• -------------------
• Conclusión P
• Con la lógica borrosa podemos generalizar el
  modus ponens qué ocurre si el aserto no es
  exactamente igual al antecedente (pero si
  semejante)? Por ejemplo, el piso es un poco
  céntrico (C). Con la lógica clásica no podemos
  concluir nada. Con la lógica borrosa podemos
  concluir P (por ejemplo, el precio es
  medianamente alto)
• Regla C ? P
• Aserto C
• -------------------
• Conclusión P

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Modelos de condicional (I)

• Los tipos más usuales de condicional son
• El más conocido es el de Luckasiewicz, que se
  deduce de la regla
• P ? Q P v Q
• ?(P?Q)(x,y) ?(P v Q)(x,y) Min( 1, ?P (x)
  ?Q (y)) Min( 1, 1-?P (x) ?Q (y))
• Gracias a estos modelos podemos determinar el
  conjunto borroso de la regla
• Los operadores de Luckasiewicz y Zadeh son
  compatibles con la lógica clásica. Los de
  Mamdani y de Larse no son compatibles con la
  lógica clásica. En la siguiente tabla de verdad
  se puede observar este hecho

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Modelos de condicional (II)

• Los operadores de Mamdani y de Larsen no son
  compatibles con la lógica clásica. Por qué se
  usan?
• Supongamos un modelo causal que mantenga el
  supuesto de un mundo cerrado, es decir, donde las
  consecuencias sólo se dan por la aparición de las
  causas especificadas en la base de conocimiento
  (y por ninguna otra), es decir, donde es falsa la
  relación de implicación en la que el antecedente
  es falso y el consecuente verdadero. Dicho de
  otra forma, puesto que el mundo de las causas
  está cerrado (no existen más que aquellas que
  especificamos), entonces es falso que no se
  produzca la causa pero si la consecuencia.
• Por tanto, los operadores de Mamdani y Larsen son
  útiles para modelizar el implicador como una
  relación de causa-efecto, por ello son
  ampliamente utilizados en dominios de la
  ingeniería, en donde es falso que falso?
  verdadero.
• Con lo que acabamos de ver ya podemos determinar
  las distribuciones de posibilidad de la regla y
  el aserto
• Regla ?(P?Q)(x,y)
• Aserto ?P(x)
• Pero todavía no podemos definir la conclusión,
  ?Q(x), ya que para ello necesitamos componer
  Regla y aserto. A continuación veremos un ejemplo
  de condicional y después la Regla de Composición
  de relaciones borrosas.

45
Ejemplo distancia y velocidad

• Introduzcamos un ejemplo que trata de relacionar
  la velocidad de un robot con la distancia al
  objetivo. Nuestro robot tiene definidos los
  subconjuntos borrosos distancia baja, normal
  y alta

• La regla es Si la distancia es alta, la
  velocidad es rápida. El consecuente (velocidad
  rápida) es
• Con lo que ya sabemos podemos definir el conjunto
  borroso de la regla (usando el operador de
  Luckasiewicz

La matriz tendrá tantas filas como el antecedente
y tantas columnas como el consecuente. En la
forma de (fila, columna) (1,1) Min(1, 1 -
?D_Alta(250) ?V_rápida(40)) (1,2) Min(1, 1 -
?D_Alta(250) ?V_rápida(50)) (1,3) Min(1, 1 -
?D_Alta(250) ?V_rápida(60)) ....
46
Relación borrosa

• Para dos universos del discurso U y V, una
  relación borrosa se define como un conjunto
  borroso R en el espacio UxV, cuya función de
  pertenencia es ?R(x,y), con x?U y y?V
• Un ejemplo de relación borrosa lo tenemos en el
  condicional ?P?Q(x,y), con x?U e y?V. Por
  ejemplo
• Si la inestabilidad climatológica es grande,
  entonces la conducción es peligrosa
• Donde tenemos unos conjuntos borrosos
• P Inestabilidad climatológica grande
• Q Conducción peligrosa
• Y sabemos que
• Necesitamos representar la relación ?P?Q(x,y),
  donde
• ?x, x?U (grados de inestabilidad del clima) y P ?
  U
• ?y, y?V (niveles de peligrosidad de la
  conducción) y Q ? V
• Para dicha representación ya tenemos operadores,
  por ejemplo el de Luckasiewicz

47
Regla de composición de relaciones

• Pero además de tener relaciones necesitamos
  componer relaciones. Un ejemplo típico es la
  composición para determinar la conclusión de la
  inferencia borrosa. Ejemplo
• R Si la inestabilidad climatológica es grande,
  entonces la conducción es peligrosa
• A Sucede que la inestabilidad climatológica es
  bastante grande
• --------------------------------------------------
  -----------------------------
• Z Cuál es la conclusión?
• Z es la composición de R y A (RA). Expresado de
  una manera más formal
• R(x,y)
• A(x)
• -------
• (AR)(y) ?x?U, ?y?V, A ? U, R ? UxV
• La regla de composición nos dice que
• ?RA (x,y) Maxy?V?R (x,y) ?A (y)
• Donde el operador puede ser cualquier t-norma
  (normalmente se usa el mínimo o el producto)

48
Modus Ponens Generalizado

• Aplicaremos la regla de composición para resolver
  el Modus Ponens
• B(x) ? C(y)
• B(x)
• ----------------
• C(y) es igual a la composición (B (BxC))
  (y) ?x?U, ?y?V, B? U, C ? V
• De acuerdo a la regla tenemos
• ?(B(BxC)) (y) Maxx?U T (?B (x), ?BxC
  (x,y))
• Maxx?U T (?B (x), I B?C(?B (x), ?C (y)))
• Donde T es una t-norma (normalmente es el mínimo
  o el producto) e I es el condicional borroso
• Si a es el número de elementos del conjunto B
  y b es el de B, la matriz AxB tiene a filas y
  b columnas
• De esta forma obtenemos la conclusión a partir de
  la composición de las distribuciones de
  posibilidad de aserto y regla
• Silogismo hipotético
• A(x) ? B(y)
• B(y) ? C(z)
• A(x)
• ----------------
• ((AxB) (BxC))(x,z) ?x?U, ?y?V, ?z?W, A? U, A?
  U, B? V, C ? W
• Donde debemos realizar la composición de una
  composición
• Maxx?U,z ? W T ?A (x), Maxx?U,z ? W T (
  IA?B (x,y), ( IB?C (y,z))

49
Producto matricial

• Hemos definido el modus ponens como
• ?Q (y) MaxxMin(?P (x),I P?Q(?P (x), ?Q
  (y)))
• Esta ecuación implica una operación entre
  matrices
• ?P (x) será una matriz de una fila y n columnas
• I P?Q(?P (x), ?Q (y)) será una matriz de n filas
  y q columnas
• La matriz resultante tendrá una fila y q
  columnas.
• En vez de usar el producto matricial normal con
  la suma y el producto usamos las funciones Max y
  Min (otra posibilidad es Max y producto)
• Por ejemplo
• ?P (x) r, s, t a1 b1 c1 d1
• I P?Q(?P (x), ?Q (y)) a2 b2 c2 d2
• a3 b3 c3 d3
• El resultado será la matriz h, j, k, l
• h Max Min(r,a1), Min(s,a2), Min(t,a3)
• j Max Min(r,b1), Min(s,b2), Min(t,b3)
• k Max Min(r,c1), Min(s,c2), Min(t,c3)
• l Max Min(r,d1), Min(s,d2), Min(t,d3)
• En general rij Maxk Min(pik, pkj)

50
Terminando el ejemplo de la distancia y la
velocidad (I)

• Partíamos de la regla Si la distancia es alta,
  la velocidad es rápida. El conjunto borroso de
  la regla (?D_alta?V_rapida), usando el implicador
  de Luckasiewicz

• El aserto es distancia normal
• ?D_normal(x) 250/0, 300/0.3, 350/0.95,
  400/0.3, 450/0 .
• La composición, usando Max-Min, da como
  conclusión
• ?V(x) Max( Min(0, 1), Min(.3, 1),
  Min(.95,1), Min(.3, .85), Min(0, .7)),...
• ?V(x) .95, .95, .95, .95
• Esta conclusión concuerda con Velocidad poco
  rápida (VPR)
• ?VPR(x) 40/.91, 50/.96, 60/.98, 70/.99
• Donde ?VPR(x) 2?V_rápida(x) - ?V_rápida(x)2.

51
Terminando el ejemplo de la distancia y la
velocidad (II)

• Resumiendo lo que acabamos de hacer
• Regla Si la distancia es alta, la velocidad es
  rápida
• Aserto La distancia es normal
• Conclusión La velocidad es poco rápida
• Podemos hacer otra prueba con
• Aserto La distancia es baja,
• ?D_baja(x) 250/1, 300/.85, 350/.35, 400/.15,
  450/0
• La composición da el siguiente resultado
• ?V(x) 1, 1, 1, 1
• Esta conclusión concuerda con Velocidad muy poco
  rápida (VMPR)
• ?VMPR(x) .99, 1, 1, 1
• Donde ?VMPR(x) 2?VPR(x) - ?VPR(x)2.
• Las dos conclusiones resultan ser sensatas y
  muestran la flexibilidad y potencia de la lógica
  borrosa a la hora de tratar con el lenguaje
  natural

52
El aserto tiene un conjunto singleton ejemplo de
cálculo largo

• Qué haremos cuando el aserto tiene un conjunto
  singleton? Supongamos los siguientes subconjuntos
  (temperatura media, baja y alta)

• Tenemos la siguiente regla Si la temperatura es
  alta, hay bastante peligro, donde ?P_bastante(x)
  1/0, 2/0.01, 3/0.42, 4/0.98 . El conjunto x
  ?1,2,3,4 indica los posibles niveles de peligro
  que sirven para comunicarse con el usuario. El
  conjunto de la regla (utilizando Luckasiewicz) se
  puede ver a la derecha
• Supongamos que el aserto es el siguiente
  singleton 100/1, 150/0, 200/0, 250/0, 300/0,
  es decir, la temperatura es bastante baja. La
  composición con Max-Min dará el siguiente
  resultado para el predicado Peligro .96, .97,
  1, 1. Este conjunto que nos permite concluir?
• Este conjunto es más próximo a Muy poco
  peligro.
• Además, si calculamos su centroide, vemos que el
  nivel de peligro es medio (2,52 sobre 4). Fórmula
  del centroide
• x Si1...n xi ?A(xi) / Si1...n ?A(xi)

Regla
53
El aserto tiene un conjunto singleton ejemplo de
cálculo simplificado

• A continuación veremos que los hechos singleton
  nos permiten realizar un cálculo simplificado.
• Volvamos a nuestro ejemplo anterior y recordemos
  el antecedente y consecuente de la regla
• ?T_alta(x) 100/0.04, 150/0.15, 200/0.35,
  250/0.85, 300/0.95
• ?P_bastante(x) 1/0, 2/0.01, 2/0.42, 3/0.98
• En general, si representa el operador del
  condicional (en nuestro caso Luckasiewicz) y x es
  el valor del singleton, entonces el conjunto de
  la conclusión será
• ?antecedente(x) ?consecuente(y)
• En nuestro ejemplo ?T_alta( 100)
  ?P_bastante(y), con ?T_alta(100) 0.04
• Por tanto hay que componer 0.04 0, 0.01,
  0.42, 0.98 .96, .97, 1, 1
• Este resultado coincide con el anterior, con un
  centroide de 2.52.
• Probar a usar como aserto el conjunto singleton
  0, 0, 0, 0, 1, como es de esperar
• Su centroide nos indica un aumento considerable
  del peligro.
• Además el conjunto resultante es muy próximo al
  conjunto Bastante peligro.
• En general, si una regla tiene múltiples
  antecedentes A1, ... An con múltiples entradas
  singleton x1, ... xn entonces la conclusión
  será
• T ?A1(x1), ... ?An(xn) ?consecuente(y) ,
  donde T es una T-norma (si están unidos por la
  conjunción) o una T-conorma (si están unidos por
  la disyunción). es el operador del condicional.

54
Reglas con varios antecedentes

• Puede suceder que las reglas tengan varios
  antecedentes
• A1 ... An ? C
• A1 v ... v An ? C
• Lo más cómodo (ver las razones en Escolano et al.
  (2003, p.82)) es separarlas en diversas reglas,
  por ejemplo
• A1 ? C
• ...
• An ? C
• Una vez que se hayan obtenido los conjuntos Cn,
  debemos resolver la conjunción o disyunción
• C1 v ... v Cn.

55
Ejemplo la potencia y el precio (I)

• Partimos de la regla Si un coche es de potencia
  alta, entonces será caro
• La distribución de posibilidad de Potencia alta
  y de Precio caro (DIL(x)2M(x)-M(x)2)
• Para la implicación hemos usado Luckasiewicz
• En caso de afirmar una potencia alta
• ...que corresponde con la distribución de Precio
  Caro
• cuál sería la conclusión si afirmamos Potencia
  Poco Alta? Y con Potencia Muy Poco Alta?

56
Ejemplo la potencia y el precio (II)

• En el siguiente gráfico puedes comparar los
  resultados con las distribuciones esperadas
• Por ejemplo, cuando a la regla le añadimos
  Potencia Muy Poco Alta el resultado que se
  consigue entra dentro de lo esperado, Precio Muy
  Poco Caro

57
Algunas medidas borrosas

• Medida de borrosidad de la función de
  pertenencia
• f(?) 1 2 Max X?Z ? (x) ½
• La distancia entre conjuntos borrosos (A y C)
• Hamming f(A) S ?A(x) - ?C(x)
• Euclidea f(A) (S( ?A(x) - ?C(x) )2)1/2
• Entropía borrosa nos da la medida en que un
  conjunto aporta información a la descripción de
  la variable x
• f(A) S?A(x) log?A(x) 1 - ?A(x) log1-
  ?A(x)

58
Arquitectura de sistemas difusos (I)

• Diferencias más importantes con otros tipos de
  sistemas
• Los sistemas difusos no suelen usar
  encadenamiento de reglas. El resultado de aplicar
  las entradas a las reglas es la salida del
  sistema.
• Las reglas del sistema se activan en paralelo, de
  modo que la salida global es una combinación de
  la salida de cada una de las reglas
• La base de conocimiento almacena las reglas del
  sistema, las funciones de pertenencia y las
  variables y modificadores lingüísticos

59
Arquitectura de sistemas difusos (II)

• Interfaz de fuzzyficación. Hay aplicaciones en
  las que la entrada no es borrosa, sino que es
  numérica (por ejemplo, captura de datos por
  sensores). La solución es modelarlo como
  singleton.
• Interfaz de defuzzyficación que convierte las
  salidas fuzzy en salidas estrictas (crisp), en
  especial cuando el usuario de la salida es un
  dispositivo industrial. Existen diversos métodos,
  pero el más usado es el del centroide o centro de
  masas
• x Si1...n xi ?A(xi) / Si1...n ?A(xi)

60
Bibliografía básica

• Cuena 1985
• Cuena, J. Lógica Informática. Alianza Editorial,
  1985
• Dubois 1980
• Dubois, D. Y Prade, H. Fuzzy Sets and Systems
  Theory and Applications, Academic Press, 1980
• Escolano et al. 2003
• Escolano Ruiz, Francisco Cazorla Quevedo, Miguel
  Angel et al. Inteligencia Artificial. Thomson
  Editores, Madrid.
• Fernandez 1998
• Fernandez Galán, S. Y Gonzalez, J. Y Mira J.
  Problemas resueltos de Inteligencia Artificial
  Aplicada. Addison Wesley.
• Lopez 1990
• Lopez de Mántaras, R. Approximate Reasoning
  Model Models, Ellis Horwood Series in AI, 1990
• Martín 2001
• Martin del Rio, B. Y Sanz, A. Redes neuronales y
  sistemas borrosos. Rama.
• Passino 98
• Passino, K. Y Yurkovich, S. Fuzzy control.
  Addison-Wesley, 1998
• Schweizer 1983
• Schweizer, B. Y Skalar, A. Probabilistic Metric
  Spaces. Elservier North-Holland. New York.
• Sobrino 1993
• Sobrino, A., Barro, S.(editores) Estudios de
  lógica borrosa y sus aplicaciones. Universidad de
  Santiago de Compostela, 1993.
• Trillas 1980