TEMA 5

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• TEMA 5
• FILTROS DIGITALES

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CONCEPTOS GENERALES.

• FILTRO DIGITAL Proceso computacional que genera
  una secuencia discreta a partir de otra, según
  una regla preestablecida.
•  CLASIFICACIÓN
• En función de la forma del módulo de la respuesta
  en frecuencias
• En función del procedimiento de realización
• En función de la longitud de la respuesta
  impulsional
• En función de la característica de fase.
•  ANÁLISIS  Proceso por el cual dado un filtro
  digital Respuesta en Frecuencias

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CONCEPTOS GENERALES.

• SINTESIS O DISEÑO DE FILTROS DIGITALES
• El proceso del diseño del filtro consiste bien
  en
•    a) La selección de los coeficientes de la
  ecuación
• en diferencias, ó
• b) La determinación de la respuesta impulsional
• de forma que se cumpla algún criterio sobre las
  características en el dominio del tiempo o de la
  frecuencia.

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CONCEPTOS GENERALES.

• Ventajas de los filtros digitales
• Alta inmunidad al ruido
• Alta precisión (limitada por los errores de
  redondeo en la aritmética
• empleada
• Fácil modificación de las características del
  filtro
• Muy bajo coste
• Por estas razones, los filtros digitales están
  reemplazando
• rápidamente a los filtros analógicos.

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• CLASIFICACIÓN DE
• FILTROS DIGITALES

• FILTROS FIR
• FILTROS IIR

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FILTROS FIR

• Un filtro FIR de orden M se describe por
  la siguiente ecuación diferencia
• y(n)B0 x(n)B1 x(n-1) BM x(n-M)
• lo que da lugar a la función de transferencia
• H(z)B0B1 z-1B2 z-2BM z-M
• La secuencia Bi son los coeficientes del
  filtro.
• La respuesta es por tanto una suma ponderada de
  valores pasados y presentes de la entrada. De ahí
  que se denomine Media en Movimiento (Moving
  Average)
• La función de Transferencia tiene un denominador
  constante y sólo tiene ceros.
• La respuesta es de duración finita ya que si la
  entrada se mantiene en cero durante M periodos
  consecutivos, la salida será también cero.

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AR ARMA

• Filtros IIR (Infinite Impulse Response)
• Filtros AR (Autoregresivo)
• La ecuación en diferencia de un filtro AR es
• lo que da lugar a una función de transferencia
• La función de transferencia contiene solo polos.
• El filtro es recursivo ya que la salida depende
  no solo de la entrada
• actual sino además de valores pasados de la
  salida.
• El término autoregresivo tiene un sentido
  estadístico en que la salida
• yn tiene una regresión hacia sus valores
  pasados.

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• Filtros ARMA (Autoregresivo y Media en
  Movimiento)
• Es el filtro más general y es una combinación de
  los filtros MA y AR descritos anteriormente. La
  ecuación diferencia que descibe un filtro ARMA de
  orden N es
• Y la la función de transferencia
• Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M),
  es decir es Autoregresivo de orden N y Media en
  Movimiento de orden M.
• Su respuesta a impulso es también de duración
  infinita y por tanto es un filtro del tipo IIR.

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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• El proceso de diseño de un filtro digital
  requiere tres pasos
• Establecer las especificaciones del filtro para
  unas determinadas
• prestaciones. Estas especificaciones son
  las mismas que las requeridas por un filtro
  analógico frecuencias de parabanda y pasabanda,
  atenuaciones, ganancia dc, etc.
• Determinar la función de transferencia que cumpla
  las especificaciones.
• Realizar la función de transferencia en hardware
  o software.

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• IIR o FIR?
• Los filtros IIR producen en general distorsión de
  fase, es decir la fase no es lineal con la
  frecuencia.
• Los filtros FIR son de fase lineal.
• El orden de un filtro IIR es mucho menor que el
  de un filtro FIR para una misma aplicación.
• Los filtros FIR son siempre estables.

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• DISEÑO DE FILTROS IIR

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APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS

• Se trata de determinar la H(s) de un sistema LIT
  cuya correspondiente respuesta frecuencial caiga
  dentro del margen de tolerancias especificado.

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APROXIMACIÓN AL DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS

• Constituye un problema de aproximación funcional
  
• Butterworth
• Chebyshev
• Elíticos

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• Ganancia de un filtro
• Atenuación
• Frecuencia de corte Oc
• En decibelios
• Las pendientes se miden en
• dB/octava
• dB/decada

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• APROXIMACIÓN BUTTERWORTH

• La aproximación de Butterworth consiste en
• siendo N en orden del filtro, Oc la frecuencia
  de corte del filtro, (que representa una
  atenuación de 3dB).

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• APROXIMACIÓN BUTTERWORTH

• Se define el filtro Butterworth normalizado como
  

• Características
• Esta aproximación es la que presenta una
  respuesta mas plana en O 0. ( Para un filtro de
  orden N, las 2N-1 primeras derivadas de
  H(jO)son nulas en O0.
• Para altas frecuencias presenta una pendiente
  asintótica de
• -20N dB/década.
• En general, la ganancia es monótona decreciente
  con O.

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• APROXIMACIÓN BUTTERWORTH

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Determinación de la Función de Transferencia
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(No Transcript)
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• En general la función de transferencia de un
  filtro de Butterworth de orden N es de la forma

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• Aproximación de Chebyshev

• La aproximación es
• e Controla la amplitud del rizado en paso
  banda.
• k Controla el nivel de ganancia.
• TN(O) Polinomio de Chebyshev de 1ª clase y
  orden N
• definido por
• TN(O) cos( N cos-1 O ) , Olt1 
• TN(O) cosh(N cosh-1 O) , Ogt1

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• Aproximación de Chebyshev

• Propiedades de los polinomios de Chebyshev
• 1) TN(0) (-1)N/2 si N es par,  0 si N es impar
•  2) TN(1)
•  3) TN(-1) 1 si N es par, -1 si N es impar
•  4) TN (O) oscila con rizado constante entre 1
  y -1 para
• Olt1
• 5) Para Ogt1, TN(O) es monótona creciente,
  tendiendo a
• infinito como 2N-1 ON

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• Representación gráfica de los polinomios de
  Chebyshev de distintos órdenes.

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• Aproximación de Chebyshev

• A partir de la frecuencia de corte normalizada
  (O1),
• Hn(j O)2 pasa a ser monótona decreciente.
• FORMA GENERAL EN LA APROXIMACION
  CHEBYSHEV
•         a) N par (N4)                b) N
  impar (N5)

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• Aproximación de Chebyshev

• En pasabanda  oscila entre k (máx.) y
  k/(1e2) (mín.)
• Se denomina RIZADO en  db () a la relación de
  valores
• máximos  y mínimos de Hn(jS)2 en pasabanda
• K se escoge para ajustar la ganancia en c.c., así
  para ganancia unitaria en c.c, K debe ser
• A altas frecuencias, la ganancia en dB tiene
  asintóticamente a

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• Aproximación de Chebyshev

• Presenta las siguientes características
• Ganancia en paso banda mas balanceada que la
  Butterworth.
• La ganancia en paso banda oscila con rizado
  constante.
• La ganancia en rechazo de banda decrece
  monótonamente y es similar a la Butterworth.

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• Aproximación elíptica

• La aproximación Chebyshev presenta mejores
  características que la Butterworth en el paso
  banda. A altas frecuencias, en el rechazo de
  banda, ambas presentan un buen comportamiento,
  pero sus características se deterioran
  progresivamente al decrecer la frecuencia.
• La aproximación elíptica es la que presenta un
  mejor comportamiento en este último sentido, al
  poseer una banda de transición mas estrecha,
  comparativamente para un orden dado del filtro.
• La aproximación elíptica presenta rizado
  constante en el paso banda y rechazo de banda.

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Comparación de los tres tipos para un mismo orden
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• Transformaciones en frecuencia

• A partir de estas aproximaciones pueden obtenerse
  otros tipos de filtros analógicos a través de una
  transformación de la variable frecuencial.

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• Transformaciones en frecuencia

• Transformación paso bajo a paso alto 

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• Transformaciones en frecuencia

• Transformación paso bajo a paso alto 
• Si el Filtro es Butterworth o Chebyshev, Ooh es
  la frecuencia de corte del filtro paso alto (que
  le corresponderá Ooh / Ooh 1 rad/seg en el paso
  bajo normalizado).
• Si el Filtro es elíptico

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• Transformación paso bajo a paso banda
• siendo Ooh y B constantes a determinar de forma
  que se
• cumplan las especificaciones del filtro paso
  banda.

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES IIR

• Metodología Dado un filtro analógico, generar un
  filtro digital con características similares.
• Aprovechar las ventajas y la simplicidad del
  diseño analógico.
• Simular con filtros digitales las características
  de los filtros analógicos.
• Condiciones
• Que se conserven las propiedades esenciales de la
  respuesta en frecuencia del Filtro Analógico en
  la correspondiente al Filtro Digital. (es decir,
  que se mapee el eje imaginario del plano S en el
  círculo unidad del plano Z)
• 2) Que se garanticen los requisitos de
  Estabilidad

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• Método de la Respuesta Impulsional Invariante
• Método de la aproximación numérica de la
  ecuación
• diferencial
• Método de la Transformación Bilineal

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MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE

• Criterio Encontrar un filtro digital cuya
  respuesta Impulsional sean muestras
  equiespaciadas de la respuesta Impulsional del
  filtro analógico.
• h(n)ha(t)tnT
• Las respuestas en frecuencias del filtro digital
  estarán relacionadas con la respuesta en
  frecuencia del filtro
• analógico por
• Es decir, la respuesta en frecuencias del
  filtro digital consiste en la suma de infinitos
  términos de respuestas analógicas frecuenciales
  escaladas y desplazadas.

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MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE

• A partir del Teorema del muestreo sabemos que
• Si Ha(jO) 0 para O p/T, entonces
• H(ejw) 1/T Ha(jO) para wp
  
• La siguiente expresión constituye una
  generalización de la anterior

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MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE

• Correspondencia entre polos Sea un polo en s s
  j O , que se corresponderá con
• Preserva la estabilidad del filtro
• Observamos que si
• Lo cual da lugar a una ambigüedad en la
  localización de los polos, si estos tienen una
  parte imaginaria no comprendida entre -p/T, p/T

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Relación entre el plano S y el plano Z

• Cada franja horizontal de ancho Os en el plano S
  se mapea en la totalidad del plano Z. Esta
  ambigüedad es otra manifestación del fenómeno
  aliasing, encontrado al muestrear señales
  analógicas.

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MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE

• T debe escogerse suficientemente pequeño, de
  forma que todos los polos del filtro analógico,
  caigan dentro de la primera franja.
• La técnica de la repuesta Impulsional invariante
  puede distorsionar la forma de la respuesta
  frecuencial por el "aliasing", aun cuando todos
  los polos del filtro analógico están en la
  primera franja.

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MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE

• Ajuste Directo de las Respuestas Impulsionales
• Objetivo  Computar H(z) directamente a partir de
  Ha(s).
• Expandir Ha(s) en fracciones simples 

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MÉTODO DE LA RESPUESTA IMPULSIONAL INVARIANTE
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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

• Criterio Obtener el filtro digital aproximando
  las derivadas
• de la ecuación diferencial correspondiente a un
  filtro analógico, mediante diferencias finitas.

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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Comparando ambas funciones de transferencia
Podemos concluir que
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• Análisis del mapeo S ? Z

Sustituyendo sjO , resulta y expresando el
cociente en forma polar
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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

• Luego, el mapeo de polos es "semiplano izquierdo
  de s al círculo anterior en z". Observar que
  aunque el eje jS no se mapea en el círculo
  unidad, los polos caen dentro de éste y por tanto
  el filtro digital resulta estable.
• Hay una noción intuitiva según la cual, la
  simulación discreta del operador derivada
  mediante diferencias finitas es mejor cuanto mas
  pequeña es la distancia entre muestras (periodo
  de muestreo).
• Esta idea resulta consistente de acuerdo con los
  resultados obtenidos. Si T es suficientemente
  pequeño en L (1) y(n), la respuesta en
  frecuencias del filtro digital se concentra en la
  vecindad de z1, es decir donde ambos círculos
  son tangentes, por lo que el filtro digital sera
  bastante aproximado al analógico.

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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

• Una aproximación alternativa consiste en
  reemplazar las derivadas por una aproximación en
  diferencias hacia adelante
• L(1) y(n) y(n1)-y(n)/T
• la cual presenta la desventaja de que puede dar
  lugar a filtros digitales inestables.
• De todos modos, los métodos hasta ahora
  comentados suelen dar lugar a resultados
  insatisfactorios si el filtro que se diseña no es
  paso bajo.

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METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL

• CRITERIO Obtener el filtro digital integrando la
  ecuación diferencial correspondiente al filtro
  analógico y realizando una aproximación numérica
  de la misma.
• La transformación se puede expresar como

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Análisis del mapeo S ? Z

• Para pequeños valores frecuenciales Ow/T
• A altas frecuencias, la compresión no lineal
  produce que la
• función de transferencia resulte distorsionada
  cuando se traslada al dominio w.

Haciendo z ejw, se comprueba que le
corresponde F0, por lo que en este caso el eje
imaginario jS se mapea sobre el círculo unitario
del plano Z y además la parte izquierda de S se
mapea en el interior de dicho círculo. Las
partes positiva y negativa del eje imaginario son
mapeadas en las mitades superior e inferior del
círculo unitario en el plano Z.
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METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL

• La transformación bilineal da lugar a filtros
  digitales estables partiendo de filtros
  analógicos estables.

La respuesta en frecuencias del filtro digital
será
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METODO DE LA TRANSFORMACIÓN BILINEAL

• Para evitar la distorsión frecuencial lo que se
  hace es
• predistorsionar las especificaciones
  originales. Es decir,
• predistorsionar wc y wr según la relación
•  con el objeto de determinar los
  valores apropiados de Oc y Oc para el
  correspondiente diseño continuo.
• Después de aplicar la TB daría

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Ventajas
• Facilidad de diseño para filtros de fase lineal
• Realización eficiente en forma tanto recursiva
  como no recursiva
• Factible implementación utilizando la FFT
• Los filtros FIR no recursivos, son siempre
  estables.
• El ruido de redondeo puede hacerse fácilmente
  pequeño con realizaciones no recursivas.
• Desventajas
• Se requiere un número de puntos N alto para
  aproximar filtros de transición brusca.
• El retardo de fase puede no ser entero.

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Filtros FIR simétricos y antisimétricos

• Un filtro FIR de longitud M se describe por la
  ecuación en diferencias
• ó bien por la convolución
• a partir de ambas expresiones, se deduce que
• bkh(k), k0,1,2,...,M-1

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Filtros FIR simétricos y antisimétricos

• El filtro también se puede caracterizar por su
  función de transferencia
• que es un polinomio de grado M-1 en la variable
  z-1.
• Un Filtro FIR tiene fase lineal si su respuesta
  impulsional satisface la condición

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Filtros FIR simétricos y antisimétricos

• Teniendo en cuenta estas condiciones de simetría
  y antisimetría
• Ahora, si sustituimos z-1 por z en la expresión
  de H(z) y multiplicamos ambos lados de la
  ecuación resultante por
• z-(M-1) , obtenemos

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Filtros FIR simétricos y antisimétricos

• Las características de respuesta en frecuencia de
  filtros FIR de fase lineal se obtienen evaluando
  H(z) en el círculo unidad.
• Cuando h(n)h(M-1-n), H(w) se puede expresar
  como
• donde Hr( w) es una función real de w y se puede
  expresar como

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Filtros FIR simétricos y antisimétricos

• La característica de fase del filtro para M
  impar y par es
• Cuando h(n)-h(M-1-n) , la respuesta impulsional
  es antisimétrica.
• Para M impar es h((M-1)/2)0.
• En este caso

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Filtros FIR simétricos y antisimétricos

• donde
• La característica de fase del filtro para M par y
  M impar es

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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS

• Especificación de Hd(w) y determinación (mediante
  la Transformada de Fourier) de hd(n)
• En general, hd(n) es infinita, por lo que para
  producir un filtro FIR de longitud M, debe ser
  truncada en un punto
• nM-1. Lo que equivale a multiplicar por una
  ventana rectangular w(n)

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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS

• La respuesta impulsional del filtro FIR será
• Consideremos el efecto de la función ventana en
  la respuesta en frecuencias deseada Hd(w), y
  recordemos que multiplicar por una función
  ventana equivale a una convolución en frecuencias
  de los espectros, esto es

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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS
La transformada de Fourier de la ventana
rectangular es La función ventana tiene una
respuesta en magnitud Y una fase lineal a
tramos
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS

• La convolución de Hd(w) con W(w) tiene el efecto
  de suavizar Hd(w)
• (a) Proceso de convolución implicado por la
  truncación de la resp. Impul. deseada
• (b) Aproximación típica resultado del ventaneo de
  la resp. impulsioal deseada

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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS

• En la elección de la ventana rectangular, hay que
  llegar a una solución de compromiso entre
• Elegir M de forma que W(ejw) sea lo mas estrecho
  posible.
• Elegir M de forma que la duración de w(n) se lo
  mas corta posible.

Otra solución alternativa consiste en usar
ventanas menos abruptas en sus
características en el dominio temporal. Todas
estas funciones ventanas tienen lóbulos laterales
mas bajos comparados con la ventana rectangular,
sin embrago para un mismo valor de M el ancho del
lóbulo principal es también mas amplio, por lo
que la región de transición del filtro será mas
amplia. Para reducir este ancho, podemos
simplemente incrementar la longitud de la ventana.
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS
Ventanas usadas para el diseño de
filtros FIR
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS
Características para los distintos tipos de
ventanas
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS
Supongamos que queremos diseñar un filtro FIR de
fase lineal paso bajo y simétrico con una
respuesta en frecuencias deseada
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DISEÑO DE FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO
VENTANAS

• El retardo (M-1)/2 es para forzar la longitud M.
  La respuesta impulsional es
• Observar que hd(n) es no causal y de duración
  infinita.
• Si se selecciona M impar el valor de h(n) en
  n(M-1)/2 es

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Diseño de Filtros FIR de fase lineal por el
  método de Muestreo en Frecuencia

• Especificamos la respuesta en frecuencias deseada
  Hd(w) en un conjunto de frecuencias
  equiespaciadas
• y calculamos la respuesta impulsional h(n)
  del filtro FIR a
• partir de estas especificaciones. Para
  reducir los lóbulos
• laterales deseable optimizar la
  especificación de frecuencia
• en la banda de transición del filtro.

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DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Diseño de Filtros FIR de fase lineal por el
  método de Muestreo en Frecuencia

• Explotando una propiedad básica de simetría de
  la función de respuesta en frecuencia muestreada
  para simplificar los cálculos. Sea la respuesta
  en frecuencia deseada del filtro FIR
• Supongamos que especificamos la respuesta en
  frecuencias del filtro en las frecuencias
  anteriores. Entonces, obtenemos

82
DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Diseño de Filtros FIR de fase lineal por el
  método de Muestreo en Frecuencia

Expresando h(n) en función de ,
obtenemos Esta expresión nos permite
calcular los valores de h(n) a partir de la
especificación de las muestras en frecuencia
83
DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR

• Diseño de Filtros FIR de fase lineal por el
  método de Muestreo en Frecuencia

Observar que cuando , ambas expresiones
se reducen a la DFT e IDFT respectivamente.  
Al ser h(n) real Esta condición de
simetría, junto con las condiciones de simetría
para h(n) ayudan a reducir ala mitad las
especificaciones en frecuencias. Así, las
ecuaciones lineales para determinar h(n) a partir
de se simplifican considerablemente.