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Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques
d'un robot Philippe POIGNET1, Nacim RAMDANI2,
Andrès VIVAS1 1Laboratoire dInformatique, de
Robotique et de Micro-électronique de
Montpellier UMR CNRS-UMII 5506 poignet_at_lirmm.fr 2
Centre d Etude et de Recherche en Thermique,
Energétique et Systèmes, Université Paris
XII ramdani_at_univ-paris12.fr
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Plan

• Ö Présentation du contexte (robot, besoin,
  modèle,)
• Ö Estimation ellipsoïdale
• Ö Résultats expérimentaux
• Conclusion

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Introduction
H4 Robot parallèle
Ö Robot avec 4 degrés de liberté (ddl) 3 ddl
en translation 1 ddl en rotation. Ö
Applications Prise et dépose avec orientation
Usinage à grand vitesse Ö Performances vmax
1m/s amax 50 m/s2
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Un modèle pour la commande
Ö Besoins dun modèle dynamique pour la
commande ? Augmentation des performances
(précision, rapidité) ? Robustesse (variation
de charges)
Ö Modèle dynamique à paramètres physiques
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H4 Modèle dynamique inverse
Ö Linéarité par rapport aux paramètres
Ö Vecteur de paramètres dynamiques à identifier
Ö Sans mesures des accélérations cartésiennes
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Usuellement
Méthodes didentification Moindres carrés
pondérés, Filtrage de Kalman étendu Ö
Construction dun système linéaire
surdéterminé Y W X ? Y couples
appliqués (entrée) W matrice dobservation
X paramètres à identifier ? bruit gaussien
additif sur lentrée Ö Hypothèse (et critique)
bruit gaussien additif sur lentrée
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Moindres carrés d'erreur d'entrée avec modèle
inverse
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Approche standard avec les MC

• Hypothèses
• Ö Bruit gaussien sur lentrée (couple) alors que
  lon est en boucle fermée
• Ö W est supposée déterministe (alors quelle est
  composée de variables entachées de bruits
  position, vitesse et accélération articulaires)
• Alternative
• Ö Estimation dans un contexte à erreur bornée

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Une alternative  lapproche à erreur bornée
Belforte 90  Milanese 96  Vicino 96  Walter
90 Norton 94, 95   Unique Hypothèse Support
de lerreur borné. Intérêt Ö Manipulation
immédiate des bornes dincertitudes des données
réelles. Ö Prise en compte des erreurs de
modélisation. Résultats  Ensemble de valeurs de
paramètres compatibles 
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Modèles linéaires Formulation
Ensemble des paramètres compatible avec
lobservation k et le modèle  une bande
Ensemble des paramètres consistant avec toutes
les données  un polytope
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Représentation Simplifiée
Algorithmes récursifs, par blocs ou hors-lignes
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Méthodes ellipsoïdales Fogel et Huang, 82
Note réduction de bandes
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Algorithme récursif
Famille dellipsoïdes solutions, paramétrée par ?

Choisir a qui minimise la taille de l'ellipsoïde

• Volume
• Somme quadratique des longueurs des demi-axes

Etude théorique des résultats obtenus pour les
deux métriques. Durieu et al., 01
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Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales

• Problèmes de lécriture standard
•   
• ? numériquement instable
• ? définie positivité des matrices M ou P non
  garantie
• Solution Forme factorisée Lesecq et Barraud
  2002
• ? numériquement stable
• ? matrices P et M définies positives,
  numériquement garantie
• indépendance du calcul du centre et de la
  matrice dinformation

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Forme matrice d'information factorisée
Le problème initial est reformulé en posant
Factorisation de Cholesky
Algorithme Initialiser 
Boucle récursive  Calcul de Factorisation QR
Résoudre
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Identification en boucle fermée
Les mesures nécessaires à lidentification sont
prises alors que le robot suit des trajectoires
excitantes et est asservi par un correcteur PD
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Choix de trajectoires excitantes

• Ö Concaténation de mouvements pré-calculés lents
  (estimation des paramètres de frottements) et
  rapides (estimation des paramètres inertiels)
• Trapèzes en vitesse, sinus wobulés
• Mouvements suivant un seul axe dans lespace
  opérationnel
• Ö Assurer un bon conditionnement de la matrice W

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Données expérimentales
Ö Les positions articulaires q et les références
courant V (les entrées de commande exprimées en
Volt et mesurées) sont acquises à la fréquence de
1kHz. Ö Les couples sont calculés à partir des
mesures des références courant V en utilisant une
relation linéaire entre chaque couple du moteur
, la tension correspondante appliquée à
lamplificateur et le gain de
lamplificateur Ö Vitesses et accélérations
articulaires pour calculer la matrice
dobservation estimées par un filtre passe-bande
de la position. Ö Filtrage passe-bande obtenu
par produit dun filtre passe-bas hors ligne non
causal aller et retour (fonction filtfilt de
Matlab) et dun filtre dérivateur obtenu par un
algorithme de différence centrée.
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Mise en œuvre expérimentale Re-circulation et
données aberrantes
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Dans notre cas
Ö Choix de la borne derreur entre 10 et 15 du
couple maximum disponible ? bornes derreur 2.4
N.m pour moteurs 1 et 2 et
2.0 N.m pour moteurs 3 et 4 Ö Taux de données
aberrantes moins de 0.5 (pas de donnée
aberrante dans les premières circulations) Ö
Nombre de circulations des données gt 150
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Formulation factorisée
Evolution du déterminant de en fonction
du nombre de re-circulations pour le critère du
déterminant (Trait continu forme factorisée,
trait discontinu forme non factorisée). N
nombre dobservations
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Analyse de lensemble admissible des paramètres
estimés
Approximation de lincertitude ( ) obtenue
en prenant les racines carrées des valeurs de la
diagonale de valeur de prise à la
fin de toutes les re-circulations
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Analyse des vecteurs propres de
Calcul des valeurs propres de ?
l'ellipsoïde obtenu par le critère du déterminant
a une forme plus allongée que celui obtenu par le
critère de la trace. Rapport (longueur de l'axe
le plus long / plus petit) 938 pour le critère
du déterminant et seulement 220 pour le critère
de la trace.
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Validations croisées
Enveloppe de lincertitude Couplage des paramètres
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Conclusions
Ö Résultats expérimentaux obtenus par méthodes
ellipsoïdales cohérents avec les connaissances a
priori Ö Nécessité Utilisation de la forme
factorisée Ö Difficultés  Détermination de la
borne derreur Ö Perspectives Choix de la
borne derreur a priori Ö Exploitation
Commande référencée modèle