Tests statistiques

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Tests statistiques

• Définition le test statistique donne une règle
  permettant de décider si lon peut rejeter une
  hypothèse, en fonction des observations relevées
  sur des échantillons.
• Démarche scientifique
• Poser une hypothèse
• Conduire une expérience
• Analyser la compatibilité de cette hypothèse avec
  les observations issues de lexpérience

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Hypothèses

• Hypothèse nulle lhypothèse dont cherche à
  savoir si elle peut être rejetée, notée
  H0souvent définie comme une absence de
  différence
• Hypothèse alternative hypothèse concurrente,
  notée H1

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Hypothèses exemple

• Une nouvelle molécule est proposée pour traiter
  le cancer de lestomac localisé.
• Le but est daméliorer la survie à 1 an par
  rapport au traitement habituel
• Hypothèse nulle la proportion de patients
  survivants à 1 an avec le nouveau traitement est
  égale à celle du traitement habituel
• Hypothèse alternative survie différente

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Comment rejeter lhypothèse nulle ?

• Définir une zone de rejet de lhypothèse nulle
  construite sur une base de vraisemblance en
  probabilité
• Valeurs expérimentales les plus extrêmes ayant
  une probabilité  faible  de se réaliser si
  lhypothèse nulle est vraie.
• Risque de première espèce probabilité que lon
  a de rejeter lhypothèse nulle quand elle est
  vraie (fixé arbitrairement à 5)

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Zone de rejet exemple

• Sachant lintervalle de pari dune proportion, on
  peut construire un test pour une proportion
  théorique ?avec po la proportion observée
  dans un échantillon de taille n (n ? et n (1-?)
  ? 5)

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Zone de rejet exemple

• Sachant lintervalle de pari dune proportion, on
  peut construire un test pour une proportion
  théorique ?z suit une loi normalecentrée
  réduite
• avec po la proportion observée dans un
  échantillon de taille n conditions n ? et n
  (1-?) ? 5
• Zone de rejet z gt 1,96 pour un risque 5

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Conclusion du test

• Lorsque le résultat du test appartient à la
  région de rejet on rejette H0on conclut que le
  test est significatif au risque ? (5)
• Lorsque le résultat du test nappartient pas à
  la région de rejet on ne rejette pas H0on
  conclut que le est non significatif(en abrégé
  NS)

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Test exemple

• Dans un échantillon de 300 individus, un
  caractère est présent chez 68 alors quen
  théorie (loi de Mendel) on sattendrait à
  lobserver chez 75.
• Calcul
• z gt 1,96 appartient à la région de rejet de H0
• Le test est significatif le caractère est moins
  fréquent que ne le prédit la loi de Mendel.

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Degré de signification

• Lorsque le test est significatif, il est dusage
  de quantifier le degré de signification du test.
• Définition le degré de signification est la
  plus petite taille du test (valeur du risque de
  1ère espèce) qui aurait permis avec ces données
  de rejeter le test (il sagit dune probabilité a
  posteriori)
• Exemple pour z2,8 la table 3.3 donne p0,0051
• On se contente souvent dune inégalité plt5
  plt1 plt1

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Interprétation dun test non significatif

• Lorsque le test nest pas significatif, on
  sabstient daffirmer quil nexiste pas de
  différence
• Il faut tenir compte du risque de 2e espèce ?
  probabilité que lon a de ne pas rejeter
  lhypothèse nulle quand elle est fausse
• Il sagit du défaut de puissance du test,
  quantité malheureusement inconnue

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Puissance dun test statistique

• Définition la puissance est la probabilité de
  rejeter lhypothèse nulle si elle est fausse
• La puissance (1??) dépend à la fois
• de lhypothèse alternative plus la différence à
  mettre en évidence est importante, meilleure est
  la puissance du test
• de la taille de léchantillon la puissance
  croît avec le carré de la taille de léchantillon
• Dépend aussi de la variabilité du critère
  (quantitatif)

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Comparer une répartition observée à une
répartition théorique. Test du Chi-Deux

• H0 la répartition est ?1, ?2 , ?k
• On observe parmi n sujets n1 , n2 , nk
• On attendait e1n?1, e2n?2 , ekn?k
• La quantité Q (condition
  ei?5)suit une loi du ?² (Chi-Deux) à k-1 degrés
  de liberté (d.d.l.). Voir table 4 p.227

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(No Transcript)
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Table de la distribution du Chi-Deux
p/ddl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0001
0,001
0,01
0,025
0,05
0,1
0,95
0,975
0,0001
0,001
0,005
0,01
0,05
0,1
0,95
0,975
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Test du Chi-Deux dajustement exemple

• On cherche à savoir si lincidence dune maladie
  a un caractère saisonnier. On dispose des dates
  de diagnostic de 120 cas
• On teste H0 ?m1/12 pour tout mois mdoù n ?m
  10 pour chaque mois (condition remplie)
• Calcul (164191416140925)/109
• Table ?5 , 11 ddl rejet si Qgt21,92
• Le test est donc NS

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Relation entre deux variables qualitativesTest
du Chi-Deux dindépendance

• Dans un échantillon de n individus, on étudie
  simultanément chez chaque sujet
• une variable X à L catégories
• et une variable Y à C catégories
• Les individus se répartissent dans un tableau de
  contingence en fonction des LxC croisements
  possibles

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Tableau de contingence LxC

• Ne pas confondre effectifs (nombres) et
  proportions (3 types ref ligne, colonne ou
  total)

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Tableau de contingence LxCeffectifs attendus
sous H0 indépendance

• (Total de la ligne par total de la colonne sur
  total général)

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Statistique du Chi-Deux dindépendance

• La quantité ?²
  suit une loi du ?² (Chi-Deux)
• à (L-1)x(C-1) degrés de liberté (d.d.l.)exemple
  un tableau 3x2 a 2 d.d.l.
• condition tous les eij ? 5

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Chi-Deux dindépendance exemple

• Dans une enquête sur l'étiologie, du cancer du
  col utérin, on a interrogé 4 catégories de femmes
  hospitalisées
• pour cancer du col utérin
• témoins cancéreuses cancer ne portant pas sur la
  sphère génitale
• témoins malades maladie autre que le cancer
• témoins non malades accident de la circulation
  ou du travail
• La question principale de cette enquête
  concernait les antécédents de maternité, à la
  recherche d'une relation éventuelle avec la
  survenue du cancer du col utérin. Le tableau
  suivant indique le classement obtenu.

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Tableau de contingence observé
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Tableau de contingence observé / théorique

• Tous les effectifs attendus sont supérieurs à 5

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Calcul du Chi-Deux dindépendance

• ?² 8,490,614,252,673,520,251,761,11
• ?² 22,66
• Table à 3 ddl rejet si ?² gt7,81 (?5)

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Chi-Deux dindépendance conclusion

• Le résultat du test appartient à la région de
  rejet, donc on rejette lhypothèse nulle
  dindépendance au risque ?5
• On conclut à une liaison entre les antécédents de
  maternité et la survenue dun cancer du col
  utérin
• Degré de signification table 4, colonne 3 ddl
  (21,11), donc plt0,0001Excel fonction
  loi.khideux p0,000048

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Chi-Deux dindépendance interprétation

• Le rejet de H0 permet de conclure que la
  fréquence des antécédents de maternité nest pas
  égale pour tous les groupes.
• La fréquence apparaît plus élevée dans le groupe
  cancer du col utérin (83), plus faible dans les
  deux groupes témoin (62 et 64)
• Un test complémentaire aiderait à interpréter
  lécart entre témoins cancéreuses et témoins non
  cancéreuses.

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Comparer une moyenne observée à une moyenne
théorique.

• Comme pour une proportion, on déduit de
  lintervalle de pari de la moyenne
• Suit une loi normale centrée réduite
• Condition n ? 30pas de condition de
  distribution

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Comparaison de deux moyennes

• Suit une loi normale centrée réduite
• Condition n ? 30pas de condition de
  distribution

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Comparaison de deux moyennescas des petits
échantillons test de Student

• Suit une loi de Student à nAnB-2 ddl (table 5)
• Condition Loi normale variances égales

29
(No Transcript)
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(No Transcript)
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Comparer une moyenne observée à une moyenne
théorique petit échantillon

• Suit une loi de Student à n-1 ddl
• Condition loi normale