LOGIQUE

1
LOGIQUE
2
LOGIQUE

• VALEURS BOOLEENNES
• VRAI FAUX
• OPERATEURS BOOLEENS
• (CONNECTEURS LOGIQUES)
• NON () ET (?) OU (?)
• gt ltgt
• SEMANTIQUE DES OPERATEURS

3
CALCUL DES PROPOSITIONS

• PROPOSITION
• (EXPRESSION BOOLEENNE) 
• Vrai, Faux
• N 0, C ? 'A', R gt 3.14
• 7 est premier,
• Les souris mangent les chats
• NOTATION SYMBOLIQUE
• P (7 est Premier)
• Q (N 0)

4
FORMULE

• DEFINITION
• UNE FORMULE EST FORMEE PAR
• - UNE PROPOSITION
• - DES FORMULES LIEES ENTRE ELLES PAR DES
  CONNECTEURS LOGIQUES
• Exemple
• P
• P ? Q
• (P gt Q) ltgt (Q ou P)
• (P ltgt Q) ltgt ((P gt Q) ? (Q gt P))

5
CALCUL DES PROPOSITIONS

• INTERPRETATION dune FORMULE 
• Attribution d'une valeur (Vrai, Faux) à chaque
  symbole de proposition dans la formule
•  
• Formule (P ? ( Q)) gt (( P) ? R)
•  
• Interprétation
• P Vrai
• Q Faux
• R Faux
• Q Vrai
• P ? ( Q) Vrai
• P Faux
• ( P) ? R Faux
• (P ? ( Q)) gt (( P) ? R) Faux

6
LOIS DUCALCUL DES PROPOSITIONS

• Idempotence P ? P ltgt P
• P ? P ltgt P
• Associativité
• (P ? Q) ? R ltgt P ? (Q ? R)
• (P ? Q) ? R ltgt P ? (Q ? R)
• Commutativité P ? Q ltgt Q ? P
• P ? Q ltgt Q ? P
• Distributivité
• P ? (Q ? R) ltgt (P ? Q) ? (P ? R)
• P ? (Q ? R) ltgt (P ? Q) ? (P ? R) 
•  

7
LOIS DUCALCUL DES PROPOSITIONS (2)

• Identité
• P ? Faux ltgt P P ? Vrai ltgt Vrai
• P ? Vrai ltgt P P ? Faux ltgt Faux
• Complémentarité Vrai ltgt Faux
• Faux ltgt Vrai
• P ? P ltgt Vrai
• P ? P ltgt Faux 
•  
• Involution P ltgt P
• Lois de De Morgan
• (P ? Q) ltgt P ? Q
• (P ? Q) ltgt P ? Q

8
LOIS DUCALCUL DES PROPOSITIONS (3)

• PROPRIETES DES FORMULES 
• VALIDE (TAUTOLOGIE)
• VRAIE POUR TOUTE INTERPRETATION
• SATISFAISABLE
• VRAIE POUR AU MOINS UNE INTERPRETATION
• CONTRADICTOIRE
• FAUSSE POUR TOUTE INTERPRETATION

9
TABLES DE VERITE

• Formule F (P gt Q) gt (( P) gt ( Q))
• La Formule F est SATISFAISABLE

10
PREUVE PAR REFUTATION

• (1) Supposer que la formule est fausse
• Tenter d'Engendrer une contradiction
• (3) Conclure (Valide, Invalide)
• EXEMPLE 
• (( P) ? ( Q)) gt ( (P ? Q))
• F
• (( P) ? ( Q)) gt ((P ? Q))
• -------V ------ F ---- F -----
•   
• (( P) ? ( Q)) gt ( (P ? Q))
• -----V ---- F ----V -----
• (( P) ? ( Q)) gt ( (P ? Q))
• ------V -------
• (( P) ? ( Q)) gt ((P ?Q))
• V V
• -----F --- F ---
• ------ F ------

Contradiction La formule ne peut pas être fausse
-gt Valide