Logique et raisonnement scientifique

1
Logique et raisonnement scientifique

• cours transversal
• Collège Doctoral
• Pr. Alain Lecomte

2
7- La logique intuitionniste

• de Heyting et Kripke à la correspondance de
  Curry-Howard

3
Système déductif (déduction naturelle)

• ?  de ?, A -- B
• on peut déduire 
• ? -- A ? B
• A, B -- A ? B
• A -- A ? B
• B -- A ? B

• A, A ? B -- B
• (modus ponens)
• A ? B -- A
• A ? B -- B
• de ?, A -- C et
• ?, B -- C
• on peut déduire 
• ?, A ? B -- C

4
arbres
Introduction de ?
Élimination de ?
Ax
A ? B
A
B
B
x
A ? B
5
arbres
Introduction de ?
Élimination de ?
A B
A ? B
A ? B
A ? B
A B
6
arbres
Introduction de ?
Élimination de ?
By
Ax
A B
A ? B
C
C
A ? B
A ? B
x,y
C
7
Système déductif (déduction naturelle)

• de ?, A -- B et ?, A -- ?B on peut déduire 
• ? -- ?A (red. à labsurde)
• de ? -- ?(x), où x est libre et napparaît pas
  dans ?, on peut déduire  ? -- ?x ?(x)
• ?(t) -- ?x ?(x)

• ?A, A -- B
• ?x ?(x) -- ?(t)
• de ?, ?(x) -- C, où x est libre et napparaît
  pas dans ?, on peut déduire ?, ?x ?(x) -- C

8
Modèle de Kripke

• On définit une structure comme un triplet (e0, K,
  ?) où K est un ensemble, e0 un élément de K et ?
  une relation réflexive et transitive (un
  préordre) sur K
• Soit P un ensemble de variables
  propositionnelles, un modèle intuitionniste sur
  (e0, K, ?) est une fonction ?
• ? P?K ? V, F
• telle que
• Si ?(p, h) V et si h ? h, alors ?(p, h) V

9
interprétation

• Linterprétation quon peut donner est celle dun
  mathématicien idéalisé dont on modélise
  lactivité mentale. Celle-ci se structure sous la
  forme de suites détats, pouvant se représenter a
  priori comme un arbre. K est donc lensemble des
  états de la connaissance et e0 est létat
  initial. La relation est simplement un
  ordonnancement des états.
• On fait lhypothèse dune croissance monotone des
  connaissances, de sorte que si deux états h et h
  sont tels que h?h et si Sh et Sh désignent les
  ensembles de propositions connues dans les états
  respectifs h et h, alors Sh ? Sh

10
Valeur de vérité dune formule

• Comme dans le cas de la logique propositionnelle
  classique, on peut étendre la définition de ?,
  initialement définie seulement sur les
  propositions atomiques, à toute formule
  propositionnelle, au moyen de la définition
  récursive suivante
• a) ?(A?B,h) V ssi ?(A,h) ?(B,h) V
• b) ?(A?B,h) V ssi ?(A,h) V ou ?(B,h) V
• c) ?(A?B,h) V ssi pour tout h tel que h?h,
• ?(A,h) F ou ?(B,h) V
• d) ?(?A,h) V ssi pour tout h tel que h?h,
  ?(A,h) F

11
commentaires

• (a) et (b) ne sont pas étonnants je connais A?B
  dans un état h si et seulement si, dans cet état,
  je connais à la fois A et B, idem pour A?B
• (c) signifie que A?B est connu dans un certain
  état si et seulement si dans cet état et dans
  tout état futur, on ne pourra pas connaître A
  sans connaître B
• (d) signifie que la négation de A est vraie dans
  un état si dans cet état et tous les états
  futurs, A est faux
• On peut vérifier facilement que la propriété de
  monotonie vraie pour les atomes lest encore pour
  les formules quelconques
• Si ?(A, h) V alors pour tout h tel que h?h,
  ?(A, h) V

12
remarque

• Les états peuvent aussi sinterpréter comme des
  mondes possibles et la relation ? comme relation
  daccessibilité sur ces mondes on obtient alors
  un plongement dans une logique modale.
• Nous reviendrons plus loin sur ce point il
  sagira de la logique modale S4.

13
Lensemble K(la formule ??? est vraie à e0)
e8
e9
?
?
?
?
?
?
e10
e6
e5
?
?
?
?
?
e7
e3
e4
?
?
?
e1
?
e2
e0
(Le fait quune variable propositionnelle ?
figure à côté du nom dun état signifie que dans
cet état, ? est vraie. Par défaut, ? est fausse).
14
Remarque

• La représentation précédente de la relation ?
  était un arbre, or une relation réflexive et
  transitive ne définit pas toujours un arbre! Un
  arbre est défini par une relation R
  antisymétrique stricte vérifiant
• Il nexiste pas de h tel que hRe0
• Pour tout h?e0, il existe h unique tel que hRh
• Pour tout h, e0Rh, où R est la fermeture
  transitive et réflexive de R
• Une structure (e0, K, ?) sera appelée une
  structure arborescente si et seulement si il
  existe un arbre (e0, K, R) et que ? R
• Nous nous limiterons aux structures arborescentes
  parce que nous pourrons démontrer plus tard que
  tout modèle peut être remplacé par un modèle
  arborescent équivalent.

15
commentaires

• Selon Kripke (1963), les états sont des instants
  auxquels on dispose de plus ou moins
  dinformation. Si à un instant h, on dispose
  dassez dinformation pour prouver A, alors on
  dit que ?(A, h) V, si nous navons pas assez
  dinformation, on dit que ?(A, h) F.
• Si ?(A, h) V, on dit que A a été vérifié au
  temps h, si ?(A, h) F, que A na pas été
  vérifié au temps h.
• Bien noter que ?(A, h) F ne signifie pas que A
  a été prouvé faux au temps h, mais seulement que
  A na pas (encore) été prouvé au temps h.

16
Commentaires (suite)

• Dans ce modèle, le passage de e0 à e2 indique que
  nous avons gagné assez dinformation pour pouvoir
  affirmer R, en plus de P,
• Apparemment, le passage de e1 à e4 ne fait gagner
  aucune information (même ensemble de propositions
  vraies P et Q), il y a cependant un gain
  dinformation qui réside en ceci que de e1 on
  peut passer à e3, alors que de e4, on ne le peut
  plus, donc linformation acquise est celle qui
  exclut R.

P,Q
P,Q,R
e3
e4
P,R
P,Q
e2
e1
P
e0
17
Commentaires -3

• Il est préférable de ne pas interpréter V et F
  comme vrai et faux , par exemple asserter
  intuitionnistiquement ?A à h ne signifie pas
  que A est faux à linstant h , mais que nous
  naurons jamais aucune preuve de A à partir de
  linstant h
• De même, asserterintuitionnistiquement que A?B
  à h ne signifie pas que A est faux ou B est vrai
  à h, mais que dans toute situation future (après
  h), chaque fois que nous aurons une preuve de A,
  alors nous aurons aussi une preuve de B.

18
Formule valide

• Une formule A est dite valide si et seulement si
  ?(A, e0) V pour tout modèle ? sur une structure
  (e0, K, ?)
• Un modèle ? sur une structure (e0, K, ?) tel que
  ?(A, e0) F est appelé un contre-modèle de A

19
Exemples de contre-modèles

• Dans ce modèle ?, on a
• ?(P,e1) V
• et ?(P,e0) F,
• Donc ?(P? ?P,e0) F
• (P est faux en e0 par hypothèse, mais ?P est
  également faux (non V) en e0 car il sera faux en
  e1)

P
e1
e0
Ceci est donc un contre-modèle de P? ?P (le
tiers-exclu)
20
Commentaire 1

• Nous trouvons ainsi immédiatement un
  contre-modèle du tiers-exclu, ce qui signifie que
  celui-ci nest pas valide en logique
  intuitionniste
• Nous ne sommes pas surpris vu que nous savons que
  la perspective initiale de Brouwer (fondateur de
  lintuitionnisme) était justement de bannir une
  telle loi du raisonnement mathématique
• Intuitivement à linstant e0, nous navons pas
  encore prouvé P, nous ne pouvons pas non plus
  asserter ?P puisquil reste la possibilité que
  nous gagnions plus tard assez dinformation pour
  aller vers e1 et ainsi pouvoir asserter P.

21
Commentaire 2

• Cette même structure permet de réfuter
• ? ?P ? P
• En effet ?(??P ? P,e0) F pour les raisons
  suivantes
• ?(??P,e0) V puisque ?(?P,e0) ?(?P,e1) F
• Mais ?(P,e0) F,
• donc ?(??P ? P,e0) F

22
Exercices

• Prouver que la structure suivante réfute
• ?(P?Q)? ?P ? ?Q
• (P ? Q) ? (Q ? P)

Q
P
23

• Trouver une structure permettant de réfuter
• (?P? ?Q) ? (Q ? P)
• Trouver une structure permettant de réfuter
• (P ? Q) ? (?P ? Q)
• Trouver une structure permettant de réfuter
• ?P ? ??P

24
Extension à la logique des prédicats

• Une structure quantificationnelle est une
  structure (e0, K, ?) munie dune fonction ?
  définie sur K telle que pour tout h?K, ?(h) soit
  un ensemble non vide et que
• Si h ? h, alors ?(h) ? ?(h)
• Un modèle quantificationnel sur une structure
  quantificationnelle (e0, K, ?) est une fonction
  ? à deux arguments telle que
• Si Pn est une lettre de prédicat darité n et si
  h ?K, si n0, ?(Pn ,h) V ou F, si n?1, ?(Pn ,h)
  est un sous-ensemble de ?(h)n
• Pour n0, si h?h et si ?(Pn ,h)V, alors ?(Pn
  ,h)V et si n?1 et h?h, alors ?(Pn ,h) ? ?(Pn
  ,h)

25
Univers et quantificateurs

• On prend pour univers U défini par
• U
• Si P est de la forme Pn(x1, , xn) avec n?1, si
  a1, , an sont des éléments de U assignés
  respectivement à x1, , xn, on a
• ?(Pn(x1, , xn), h) V ssi (a1, , an)??(Pn, h)
• ?((?y)A(x1, , xn,y), h) V pour lassignation
  de a1, , an à x1, , xn ssi il existe b??(h) tel
  que ?(A(x1, , xn,y), h) V pour lassignation
  de a1, , an à x1, , xn et de b à y,
• ?((?y)A(x1, , xn,y), h) V pour lassignation
  de a1,, an à x1,,xn ssi pour tout h tel que
  h?h, pour tout b??(h),
• ?(A(x1,, xn,y), h) V pour lassignation de
  a1, , an à x1, , xn et de b à y

26
commentaire

• Asserter intuitionnistiquement que
• Pour tout x, A(x)
• Cest dire que pour tout x quon pourra choisir
  dans un état futur, on pourra vérifier A(x) (on
  aura une preuve de A(x)).

27
Contre-modèles en logique prédicative

• Il est possible de montrer au moyen dun
  contre-modèle que la formule suivante nest pas
  valide en logique des prédicats intuitionniste

28
Contre-modèle

• Nous avons
• ?(P(x),e0) ?(P(x),e1) V pour lassignation
  de a à x, mais ?(P(x),e0) ?(P(x),e1) F pour
  lassignation de b à x.
• De plus, ?(Q,e0) F et ?(Q,e1) V,
• Doù ?((?x)(P(x)?Q),e0) V, alors que
  ?((?x)P(x)?Q,e0) F
• (dans e0, on ne peut choisir que a comme
  assignation à x, et dans ce cas, P(x) est
  vérifiée donc aussi P(x)?Q. Dans e1, on peut
  choisir a ou b, pour a, P(x) est encore vérifiée,
  pour b, P(x) ne lest pas, mais Q lest, en
  revanche pour que (?x)P(x) soit vérifié en e0, il
  faudrait que P(x) soit vérifié et en a à e0 et en
  a et en b à e1, ce qui nest pas le cas, quant à
  Q, elle nest pas vérifiée en e0, donc
  ?((?x)P(x)?Q,e0) F.)

a,b
P(a), Q
e1
e0
a P(a)
29
interprétation

• Kripke suggère linterprétation suivante
• Supposons que a et b soient les entiers 0 et 1,
  que R soit le dernier théorème de Fermat (avant
  quil ne soit démontré!), que Q soit R??R. Soit V
  contenant 0 et contenant 1 si Q est vraie, soit x
  une variable sur V. Soit P(x) lassertion x0.
• Dans létat e0, on peut asserter V ?0, 1 et
  1?V ssi Q est vraie, donc on peut asserter
  (?x)(P(x)?Q), mais tant quon na pas atteint e1
  (où soit le théorème de Fermat a été démontré
  soit sa négation la été), on ne peut pas
  asserter (?x)P(x)?Q.

30
Remarque

• Cest bien sûr le fait que ?(h) puisse varier qui
  est responsable de ce fait, car dans tout modèle
  où ?(h) est constant, la formule est vraie!
• ?(h) est lensemble des individus connus pour
  être dans notre univers sur la base de notre
  information à linstant h (par exemple, dans le
  cas précédent, 1 nappartenait à lunivers que
  lorsquon avait pu décider quelle proposition
  était vraie, du théorème de Fermat ou de sa
  négation)
• Noter que pour prouver lexistence dun x dans D
  tel que P(x), on aura du dabord trouver un
  élément x dont on a une preuve quil est bien
  dans D (cf. la condition b? ?(h) dans la
  clause concernant lexistentielle)

31
Logique intuitionniste et logique modale

• déjà Gödel (1933)
• possibilité dimmerger LI dans S4
• On peut associer à toute formule ? du CP une
  formule ? modalisée telle que
• ? démontrable dans LI ssi ? démontrable dans S4
• mais pas linverse!

32
Une autre sémantique

• Une sémantique des preuves
• Une preuve de ? ? ? est une construction
  associant à toute preuve de ? une preuve de ?
• Une preuve de ? ? ? est un couple formé dune
  preuve de ? et dune preuve de ?
• Une preuve de ? ? ? est une fonction qui associe
  1 à toute preuve de ? et associe 2 à toute preuve
  de ?

33
Retour sur limplication

• Une preuve de ? ? ? est une construction
  associant à toute preuve de ? une preuve de ?
• élimination de ? à partir dune preuve (?) de ?
  ? ? et dune preuve (?) de ?, on obtient une
  preuve de ? ?(?) application
• introduction de ? étant donnée une preuve (?)
  de ?, obtenue au moyen dune hypothèse ? associée
  à la variable x, on obtient une preuve de ? ? ?,
  notée ?x.?

34
arbres
Introduction de ?
Élimination de ?
Ax
A ? B
A
B
B
x
A ? B
35
arbres
Introduction de ?
Élimination de ?
A xx
A ? B ?
A ?
B ?(?)
B ?
x
A ? B ?x. ?
36
?-calcul

• variables ?-termes
• si x et y ?-termes, x(y) ?-terme
• si y ?-terme et x variable, ?x.y ?-terme
• typage
• ?x.?y.u(x)(y)(a)(b)

37
?-calcul

• variables ?-termes
• si x et y ?-termes, x(y) ?-terme
• si y ?-terme et x variable, ?x.y ?-terme
• typage
• ?x.?y.u(x)(y)(a)(b)

38
?-calcul

• variables ?-termes
• si x et y ?-termes, x(y) ?-terme
• si y ?-terme et x variable, ?x.y ?-terme
• typage
• ?y.u(a)(y)(b)

39
?-calcul

• variables ?-termes
• si x et y ?-termes, x(y) ?-terme
• si y ?-terme et x variable, ?x.y ?-terme
• typage
• ?y.u(a)(y)(b)

40
?-calcul

• variables ?-termes
• si x et y ?-termes, x(y) ?-terme
• si y ?-terme et x variable, ?x.y ?-terme
• typage
• u(a)(b)

41
?-calcul

• variables ?-termes
• si x et y ?-termes, x(y) ?-terme
• si y ?-terme et x variable, ?x.y ?-terme
• typage
• u(a)(b)

42
Curry-Howard

• déduction
• ? - élimination
• ? - introduction
• hypothèse
• hypothèse déchargée
• normalisation

• l-terme
• application
• abstraction
• variable
• Variable liée
• b-réduction