Analyse des donnes applique au marketing

1
Analyse des donnéesappliquée au marketing

• Pierre DESMET

2
Analyses factorielles
Analyse des donnéesappliquée au marketing

• Pierre DESMET

3
ANALYSES FACTORIELLES

• Principe et Intérêt
• Méthodes
• Analyse en composantes principales
• Analyse factorielle (en facteurs communs et
  spécifiques)
• Analyse factorielle des correspondances
• Simples
• Multiples
• Information de base
• La matrice des variances-covariances

4
Intérêt de lanalyse factorielle

• Les variables sont rarement indépendantes les
  unes des autres
• Linformation sur leurs relations (linéaires) est
  contenue
• Dans la matrice de variance-covariance
• Dans la matrice des corrélations (si les
  variables standardisées)
• On va chercher
• A étudier des variables qui ont quelque chose en
  commun
• A réduire lespace des variables (sans perdre
  trop dinformation)
• A trouver des  facteurs  sous-jacents qui
  restituent la plus grande partie de linformation
• À interpréter ces facteurs en fonction de la
  contribution des variables à leur constitution
• A identifier les variables qui sont mal
  représentées
• Par la famille des méthodes danalyse factorielle

5
Les différentes méthodes

• Les méthodes appliquées aux distances
• Les données brutes
• Des variables quantitatives (analyse factorielle)
  
• Distance euclidienne
• Des comptages/fréquences (analyse des
  correspondances)
• Distance du khi2 surpondère les modalités rares
• Que lon cherche à
• Retrouver toute linformation initiale (AF
  exploratoire)
• Analyse en composantes principales
• Retrouver une structure sous-jacente entre les
  variables (AF confirmatoire)
• Analyse en facteurs communs et spécifiques
• Les méthodes appliquées aux similarités
  (dissimilarités)

6
Un grand classique le positionnement

•  Positionnement  des marques dans un espace
  selon les perceptions des usages, des attributs
  symboliques, des clients types
• Mais permettant aussi de placer le centre de
  gravité de groupes de clients selon leurs
  préférences pour les marques
• Il faut obtenir
• Des distances inter-marques D
• Des évaluations marques x perceptions E
• Des préférences sur les marques P
• Cela permet de guider les évolutions du mix pour
•  différencier  la marque de ses concurrents
• La rapprocher des attentes dun segment cible
• Difficulté faut-il forcer les clients à évaluer
  les marques sur des dimensions particulières
  (oubli de dimensions importantes ?)
• Démarche D -gt E ou E -gt D

7
Présentation graphique

• Décomposition de l'inertie d'un nuage de points
• en variation axiale (VA) sur un axe passant par
  le centre de gravité et
• en variation orthogonale (VO).
• VTVOVA ??Mi.G2?? (Mi.mi)2 ??(mi.G)2
• précision de la configuration
• inertie expliquée VA / VT

8
Procédure pour une analyse factorielle

• Formulation du problème
• Calcul de la matrice de corrélation
• Test de lintérêt dune analyse factorielle
• Choix de la méthode
• Détermination du nombre de facteurs
• Rotation éventuelle des facteurs
• Interprétation des axes factoriels
• Calcul des scores factoriels
• Détermination de la qualité de l'ajustement

9
Les tests préalables en AF

• Toutes les variables ont-elles une place dans
  lanalyse factorielle ?
• Peut-être que NON
• si elles ne partagent pas un minimum de
  corrélation
• Si elles sont mal représentées dans lespace
  choisi (nombre daxes gardés)
• Test de Bartlett Test de sphéricité de la
  matrice Var-Covar
• H0 la matrice de corrélation na que des 1 en
  diagonale et 0 ailleurs (Donc les variables ne
  sont pas corrélées)
• Cest un test du Khi2. Si Khi2 calculé gt Khi2
  critique rejet de H0
• Test de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) (0ltlt1)
• Etude des corrélations (partielles) entre 2
  variables, non expliquées par leffet des autres
  variables (ie. par un facteur sous-jacent)
• KMO ratio de la somme des corrélations
  multiples sur la somme des corrélations multiples
  et partielles.
• Le KMO doit être le plus grand possible
• moyen si gt 0.7
• inacceptable si lt0.5
• Indice MSA (measure of sample adequacy) (0ltlt1)
• Même approche que le KMO mais variable par
  variable
• Enlever les variables ayant un MSA lt 0.5

10
Analyse factorielle

• Facteur combinaison linéaire des variables
• F(i) w1X1i w2X2i w3X3i w4X4i
• w score factoriel
• X1(i) a1F1i a2F2i a3F3i a4F4i a5(facteur
  spécifique)i
• Extraction des vecteurs propres (Ui) et des
  valeurs propres (?) de la matrice de variance
  covariance (V)
• V-?.I.Ui0
• La valeur propre représente la variance expliquée
  par un facteur
• La trace de la matrice V est la somme des
  variances
• Si on utilise les corrélations, la somme vaut J
  variables
• dinertie reconstituée le ratio de la valeur
  propre, ou de la somme des valeurs propres du
  plan, sur la trace (total des valeurs propres)

11
AF en composantes principales (ACP)

• Cest une analyse NON symétrique, descriptive /
  exploratoire
• Les  variables  sont en colonnes
• Les  individus  en lignes
• Variables
• des valeurs numériques de n individus sur p
  variables
• Puis calcul de la matrice de variance-covariance
  V
• Puis, éventuellement, des corrélations C
  (variance1)
• On cherche à reconstituer (avec la moindre perte
  dinformation)
• les relations entre les variables (covariances /
  corrélations)
• ET les variances des variables
• Par un nombre réduit de facteurs orthogonaux
• les composantes principales
• Standardisation éventuelle au préalable (variance
  ou corrélation)

Matrices Ind x Var -gt Var x Var V
-gt C
12
Lecture des résultats

• les composantes sont orthogonales
• extraites par ordre d'importance décroissante
• seules les premières sont gardées (max J)
• d'inertie expliquée par le facteur
• Contribution d'une variable à un axe
• Factor loading corrélation variable et facteur
  (matrice factorielle)
• Communalités de variance extraite par les
  facteurs retenus
• scores factoriels nouvelles variables pour les
  objets étudiés

13
Saturation, Contribution et Communalité
(communauté)

• 2 visions celle du facteur et celle de la
  variable
• F(i) w1x1i w2x2i w3x3i w4x4i
• w score factoriel, nouvelles variables pour les
  lignes (individus)
• X1(i) a1F1i a2F2i a3F3i a4F4i a5(facteur
  spécifique)i
• Factor loading (saturation) corrélation dune
  variable et dun facteur
• Contribution (saturation)2 variance dune
  variable restituée par un facteur
• La somme des contributions pour un facteur donne
  la variance du facteur (sa valeur propre)
• Communalité (communauté)
• de variance dune variable extraite
  (reconstituée)
• par tous les facteurs retenus

14
Choix du nombre de facteurs

• Combien de facteurs faut-il retenir ?
• Détermination a priori
• Règle de Kaiser Garder les facteurs dont la
  valeur propre (l) gt 1
• Car si les valeurs sont standardisées, la
  variance de chaque variable est 1
• Test du coude (scree test, Test de Cattell)
• retenir les facteurs dont la valeur propre se
  situe avant la cassure du  coude  (pente forte
  puis pente faible)
• de variance reconstituée sil est trop
  faible, la représentation est trop imparfaite
• Un minimum de 60 est souhaitable
• Test-retest découper léchantillon et garder la
  structure commune observée dans les deux analyses
• La difficulté dinterprétation des espaces
  supérieurs à 3 dimensions multiplie la difficulté
  de lanalyse (plans 1x2, 1x3, 2x3 etc)

15
Quelle est la signification dun axe ?

• Les composantes sont des combinaisons linéaires
  des variables
• Orthogonales (non corrélées entre elles)
• Extraites par ordre d'importance décroissante
• Seules les premières sont gardées (max J)
• il y a donc perte dinformation
• La signification dun axe est donnée
• par les variables
• qui contribuent le plus à cet axe (en positif et
  en négatif)
• sans contribuer aussi à dautres axes
• Éventuellement après rotation

16
Rotations des axes factoriels

• Pour en faciliter linterprétation
• Il est possible de faire tourner le système
  daxes factoriels
• En modifiant la relation variable-axe
• Sans changer la part de linertie totale
  reconstituée
• Mais en modifiant linertie reconstituée par
  chaque axe
• Les rotations sont Orthogonales ou Obliques
• Les rotations orthogonales se font selon le
  critère que lon choisit de maximiser
• VARIMAX critère Max saturation sur un seul
  facteur. Maximiser la corrélation avec un axe
  unique et réduire la corrélation avec les autres
  axes gt clarifier linterprétation des axes (peu
  de variables)
• QUARTIMAX Réduire le nombre de facteurs
  permettant de reconstituer une variable
• Les rotations obliques supposent que les facteurs
  sont reliés entre eux (OBLIMIN)
• !!! Difficile à interpréter correctement

17
Interprétation ACP

• Un espace des variables
• Inscrit dans un cercle de corrélations (-11)
• Plus la variable est proche du cercle, mieux elle
  est représentée
• Plus la variable est proche du facteur, plus elle
  y contribue
• Une variable est un vecteur (une flèche) qui part
  du centre et pointe vers la position de la
  variable (et plus loin.)
• Une variable proche du centre est mal représentée
  dans cet espace
• Un espace des individus
• Qui ne peut être superposé à celui des variables
• Qui peut faire lobjet dune typologie
• Les coordonnées sur les axes sont sauvées en
  variables supplémentaires (Fact_1,)
• On ninterprète pas la proximité Individu (point)
  x Variable (vecteur)

18
ANALYSE DES CORRESPONDANCES (factorielle)

• Spécificités
• correspondance entre 2 ensembles de variables (et
  non plus individus x variables)
• l'analyse est donc symétrique (les axes
  factoriels sont les mêmes)
• On peut donc interpréter graphiquement toutes les
  proximités (var-var, ind-var, ind-ind)
• Types de données et danalyses
• Les données sont des tableaux deffectifs (doù
  la distance du khi2)
• Tableau de fréquences (tableau croisé)
• Tableau de contingence (données binaires
  individus-variables catégorielles)
• Tableau disjonctif complet (x et (1-x))
• Propriété de l'équivalence distributionnelle
• si deux objets sont confondus, leur fusion ne
  modifie pas les résultats

19
Analyse des correspondances Principe

• Analyse dun tableau de fréquences
• L'écart entre deux colonnes est d'autant plus
  valorisé que la fréquence de la colonne est
  faible
• distance du Khi-2 entre m et h
• Distance euclidienne dans un espace à p
  dimensions entre 2 points de coordonnées
• Plusieurs variantes selon le tableau analysé

20
Variantes de lAF des correspondances AFC,
ACM, ACM Ind x Var

• AFC Analyse factorielle des correspondances
• Analyse dun tableau de contingence
• Pas de résultats sur les individus
• AFC multiples MCA (multiple correspondence
  analysis)
• Généralisation de lanalyse à plusieurs
  variables(A, B, C) x (A, B, C)
• Lanalyse est effectuée sur le tableau de BURT
  qui croise alors
• Toutes les modalités entre elles (en ligne et en
  colonne)
• (A1, A2, A3, B1, B2, C1, C2, C3) x (A1, A2, A3,
  B1, B2, C1, C2, C3)
• Pas de résultats sur les individus
• AFC multiples (Ind x Variables) et non plus
  (Variable x Variable)
• Tableau
• disjonctif complet Tableau Ind x (V1m1, V1m2,
  V5m1, V5m2, )
• Tout tableau symétrique dont les sommes
  marginales sont constantes
• Caractéristiques
• Une ligne est alors un individu (répondant)
• Chaque colonne représente une modalité de chaque
  variable catégorielle étudiée
• Le codage est 0/1 selon la réponse (Tableau
  disjonctif complet (x et (1-x))
• Résultats sur les individus
• Attention linterprétation individu x variable
  nest alors plus possible

21
SAS AFC (tableau de contingence)
data in input ID C1-C8 _at__at_ cards L1 15 7
26 19 12 6 2 11 L2 15 5 39 15 10 2 2 10 L3 16 7
30 13 20 5 2 6 L4 15 6 27 13 29 5 2 3 L5 15 6 32
17 18 4 2 6 L6 17 6 33 15 16 4 2 6 L7 14 6 36 17
11 2 3 11 L8 20 7 34 14 10 2 2 10 L9 17 7 35 14
17 2 3 5 goptions resetsymbol / remise à
zéro des options graphiques / proc corresp
datain outccorr var c1-c8 si le tableau
est entré en tableau croisé Tables L , C
si on travaille à partir des individus id
ID data work set corr if _TYPE_'OBS'
Xdim1 Ydim2 color"black" textID
variable d'identification size2 xsys'2'
ysys'2' Label Y'Dim 2'X'Dim 1' keep X Y
Xsys Ysys text size color run Title4 'premier
plan factoriel Profils Lignes' Proc gplot
datawork symbol1 Vnone inone plot YX1 /
annotatework Frame Href0 Vref0 run
profils colonne data work set
corr if _TYPE_'VAR' Xdim1 Ydim2
color"black"textID variable
d'identification size2 xsys'2' ysys'2'
Label Y'Dim 2 X'Dim 1' keep X Y Xsys Ysys
text size color run Title4 'premier plan
factoriel Profils Colonnes' Proc gplot
datawork symbol1 Vnone inone plot YX1
/ annotatework Frame Href0 Vref0/ annotate
ajoute le label/ run
22
SAS ACM (disjonctif complet )
data in modalités sont transformées en tableau
disjonctif complet input (ID x1-X4 sup) ()
_at__at_ cards I1 A1 B2 C3 D4 Out I2 A2 B2 C2 D2 In
I3 A1 B1 C2 D3 Out I4 A2 B1 C1 D4 Out I5 A2 B2 C1
D1 In I6 A1 B1 C3 D1 In I7 A2 B2 C2 D1
Out proc corresp datain obs all outccorr
ne pas mettre MCA Tables ID, X1 X2 X3 X4 sup
supplementary sup data work set corr if
_TYPE_'VAR' Xdim1 Ydim2 color"black"
text_name_ size2 xsys'2' ysys'2' Label
Y'Dim 2 X'Dim 1' keep X Y Xsys Ysys text
size color run Title4 'premier plan
factoriel' Proc gplot datawork symbol1 Vnone
inone symbol2 Vnone inone plot YX1 /
annotatework Frame Href0 Vref0 run data work
/ avec les variables supplémentaires / set
corr if _TYPE_'VAR' or _TYPE_'SUPVAR' if
_TYPE_'VAR' then color'BLUE' if
_TYPE_'SUPVAR' then color'RED' Xdim1
Ydim2 text_name_ variable d'identification
size1 xsys'2' ysys'2' Label Y'Dim 2
X'Dim 1' keep X Y Xsys Ysys text size color
run Title4 'premier plan factoriel variables
supplémentaires' Proc gplot datawork symbol1
Vnone inone symbol2 Vnone inone plot
YX1 / annotatework Frame Href0 Vref0
run data work set corr / avec les variables
supplémentaires / if _TYPE_'OBS' Xdim1
Ydim2 color"black" text_name_ variable
d'identification size1 xsys'2' ysys'2'
Label Y'Dim 2'X'Dim 1' keep X Y Xsys Ysys
text size color run Title4 'premier plan
factoriel individus' Proc gplot datawork
symbol1 Vnone inone plot YX1 /
annotatework Frame Href0 Vref0 run
23
SAS ACM (tableau de burt)
options nocenter title1 h2 jl "Analyse
factorielle des correspondaces multiples (X1 X2
X3)(X1 X2 X3)" goptions resetsymbol data
in input (ID x1-X4 sup) () cards I1 A1
B2 C3 D4 Out I2 A2 B2 C2 D2 In I3 A1 B1 C2 D3
Out I4 A2 B1 C1 D4 Out I5 A2 B2 C1 D1 In I6 A1 B1
C3 D1 In I7 A2 B2 C2 D1 Out proc corresp
datain mca obs all outccorr tables x1--x4
sup lister simplement les variables
supplementary sup title4 "Analyse des
correspondances multiples " data work set
corr if _TYPE_'VAR' Xdim1
Ydim2text_name_ size2xsys'2'ysys'2'
Label Y'Dim 2'X'Dim 1' keep X Y Xsys Ysys
text size run Title4 'premier plan
factoriel' Proc gplot datawork symbol1 Vnone
inone plot YX1 / annotatework Frame Href0
Vref0 run data work set corr avec les
variables supplémentaires if _TYPE_'VAR' or
_TYPE_'SUPVAR' if _TYPE_'VAR' then
color'BLUE' if _TYPE_'SUPVAR' then
color'RED' Xdim1 Ydim2text_name_
variable d'identification size1xsys'2'ysys
'2' Label Y'Dim 2 X'Dim 1' keep X Y Xsys
Ysys text size color run Title4 'premier plan
factoriel' Proc gplot datawork symbol1 Vnone
inone plot YX1 / annotatework Frame Href0
Vref0run
24
Coordonnées des individus en sortie dACM

• Comment obtenir les résultats sur les individus
  avec la procédure CORRESP sans passer par un
  tableau disjonctif complet ?
• Alors, la meilleure solution est de tirer partie
  de la formule de reconstitution des données
• il s'agit dans un premier temps d'effectuer
  l'analyse sur le tableau de Burt, ce qui a pour
  inconvénient de ne pas restituer les coordonnées
  des individus sur les axes.
• Puis de calculer ces coordonnées à l'aide de la
  formule suivante à un facteur 1/racine(valeur
  propre de l'axe concerné) près, la coordonnée
  d'un individu sur un axe est égale à la somme
  arithmétique simple des coordonnées des
  catégories auxquelles il appartient sur ce même
  axe.

25
MESURE DUNE VARIABLE

• Observable ou Latente
• Le marketing  consommateur  utilise des
  variables qui ne peuvent pas être mesurés de
  manière  objective 
• Notoriété, image de marque, capital marque,
  implication, fidélité, engagement, confiance,
  intérêt, intention dachat,
• Des mesures de ces variables  latentes  (non
  mesurables directement) sont  construites  à
  partir de réponses à des questions (items)
• Les items retenus forment une  échelle de
  mesure 
• Comme dans chaque réponse, il y a une part
  daléa, on réduit cet aléa en prenant une
  synthèse de plusieurs mesures
• Par une moyenne sur les réponses brutes ou
  standardisées
• Par le calcul dun facteur qui ne reprend que ce
  que les items ont en commun (analyse factorielle)
• http//fr.wikipedia.org/wiki/QualitC3A9_mC3A9t
  rologique_des_appareils_de_mesure

26
VALIDITE dune échelle de mesure
F2
Niveau THEORIQUE
F1
F3
Autre échantillon
X4
X1
X2
X3
Niveau EMPIRIQUE
27
FIABILITE dune échelle de mesure

• Une échelle est  fiable  si elle donne les
  mêmes résultats lorsque le phénomène na pas
  changé
• Indépendance
• De lutilisateur, du lieu, du temps, de
  lutilisation antérieure sur les mêmes sujets,
• Si ces éléments ninfluencent pas le phénomène
  étudié
• Test-Retest corrélation des mesures répétées
  sur un même échantillon
• Effet dhistoire le phénomène a pu changer en
  (t1)/t
• Effet dapprentissage des répondants
• Split-Half corrélation de 2 échelles
  indépendantes à partir des items de léchelle
• Le construit peut ne plus être bien mesuré
• Sensibilité au nombre ditems
• Faire plusieurs essais

28
Mesure de la cohérence interne dune échelle
intervalle Alpha de Cronbach

• Degré selon lequel les items dune échelle
  mesurent conjointement le même  construit 
• Calcul
• Si² variance de litem i
• Sy² variance du score (somme des items)
• k le nombre ditems
• Recoder les items inversés pour éviter un alpha
  négatif
• Interprétation
• Alpha e 0,1, corrélation parfaite 1
• Seuil minimum conseillé alpha gt 0.7
• Dépend positivement du nombre des items et de
  leur corrélation

29
Composantes principales ou Facteurs communs

• Expliquer toute la Variance ou Se concentrer sur
  ce que les variables en en commun ?
• En ACP la diagonale de la matrice V (covariance
  ou corrélation) est lunité
• On cherche à reconstituer la variance des
  variables (diagonale ou trace)
• AFCS la diagonale est composée par les
   communalités  (toujours lt1). Le reste des
  variations est attribué à des  erreurs 
• On se concentre sur lanalyse des relations entre
  les variables
• Car chaque variable peut être mesurée avec erreur
• La différence fondamentale tient dans
• Le modèle formatif de lanalyse factorielle F
  f(X)
• Le modèle réflexif de lAFCS X f(F)

30
Modèle Formatif ou Réflexif
z a1X1 a2X2 a3X3
Schéma Formatif
Schéma Réflexif
z
z
X3
X3
X1
X1
X2
X2
X3 a3 z
X1 a1 z
X2 a2 z
31
Fiabilité dune variable ordinale Corrélation
polychorique

• Corrélation entre des variables non-métriques
  (nominales ou ordinales)
• Qui sont les variables manifestes de variables
  latentes continues (intention dachat)
• Bonne estimation de la fiabilité indépendamment
  de la forme de la distribution et du nombre de
  points
• Alors que le alpha sera biaisé (plus bas)
• En savoir plus sur les corrélations
  http//faculty.chass.ncsu.edu/garson/PA765/correl.
  htm