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ANALYSE EN ONDELETTES POUR LEXPLORATION À
DISTANCE DE STRUCTURES FRACTALES
H. AUBERT et D.L. JAGGARD INPT-ENSEEIHT, 2,
rue Charles Camichel, 31071 Toulouse
Université de Pennsylvanie, Philadelphie, USA
Journées scientifiques du CNFRS 24 et 25
février 2005, Paris
2
La longueur des côtes et des frontières (L.F.
Richardson 1961)

Daprès B. Mandelbrot 1962
3
Interprétation (B. Mandelbrot 1962)
Longueur approchée
courbe  classique 
ainsi
doù la dimension D 1
courbe telle que
D a1 ? 1
or
doù
dimension D pour décrire le degré dirrégularité
des courbes
4
Intégrale de chemin (R. Feynman 1948)
Daprès Feynman et Hibbs 1965
5
La dimension de similarité (Mandelbrot 1975)
G. Cantor 1883 une poussière fractale
1
étape 0
1/7
étape 1
étape 2
étape 8
 POUSSIERE 
6
La lacunarité
1
1
1/7
1/7
étape 8
étape 8
Autre descripteur la lacunarité L
7
Les structures fractales  naturelles 
Les fractales déterministes et les fractales
aléatoires
Ex surfaces rugueuses, surface de la mer,
couvert végétal, réseau fluvial
Echelle minimale et échelle maximale entre
lesquelles la structure peut présenter des
propriétés fractales
Etape de croissance (finie) structures dites
pré-fractales
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Position du problème
Structure fractale
Onde incidente
DS, L ?
Onde réfléchie
Les premiers travaux
Analyse dans le domaine spectral (E. Jakeman
1982) et
dans le domaine temporel (M. V. Berry 1979)
Corrélation entre D, L et les caractéristiques
de londe réfléchie
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Réponse impulsionnelle dun treillis de Cantor
L
DS, L et S
RS,L coefficient de réflexion du treillis de
longueur L et à létape S
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Réponse impulsionnelle dun treillis de Cantor
lacunaire
rs
DS ln 4 / ln 7 et S 5

n0 1 et n1 1.5
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Analyse en ondelettes

• Transformation continue en ondelettes

Ondelette mère
t

• Détection et caractérisation des singularités
  (A. Arnéodo 1996)

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Représentation temps-échelle de la transformation
en ondelettes
module des coefficients en ondelettes
Echelle
temps
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Squelette de la représentation en ondelettes
Ensemble des maxima locaux, à une échelle donnée,
du module des coefficients
en ondelettes
Echelle
temps
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Une dimension à partir des ondelettes
nb de maxima
échelle
Echelle
a0/70
Z0 2 (4-1) 40
4 répliques
a0/71
Z1 Z0 2 (4-1) 41
a0/72
Z2 Z1 2 (4-1) 42
temps
à léchelle

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Une dimension à partir des ondelettes
On pose, pour
Ainsi
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Extraction de la dimension de similarité
? L 2 Lmin ? L 1.5 Lmin L
Lmin
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Conclusion et Perspectives

• Analyse en ondelettes

réflexions directes et réflexions multiples
extraction directe des descripteurs dimension 1
et lacunarité 2
mise en cascade de deux treillis de Cantor 3

• Domaine de validité de lanalyse

saut dindice de réfraction et largeur de
limpulsion 1
robustesse vis à vis du bruit 3
1 H. Aubert, D.L. Jaggard, IEEE Trans. Antennas
Propagat., vol. 50, 3 , March 2002 2 A.-S. Saleh,
H. Aubert, D.L. Jaggard, Optics Communications,
vol. 197, Oct. 2001 3 Y. Laksari, H. Aubert,
D.L.Jaggard, J.Y. Tourneret, IEEE Trans. Antennas
Propagat., April 2005