Strat

1
Stratégies dencerclement connexes dans un réseau

• Pierre Fraigniaud, Nicolas Nisse
• LRI Orsay

2
Encerclement dans les réseaux

• But
• Un groupe dagents mobiles doit
• - capturer un intrus dans un réseau
• - nettoyer un réseau contaminé
• Utiliser le moins de ressources possibles.
• Motivations
• Sécurité dans les réseaux informatiques
• Maintenance de réseaux de pipelines
• Opération de secours dans des souterrains.

3
Encerclement dans un graphe

• Stratégie dencerclement (Parson. GTC,1978).
• Suite de 3 opérations élémentaires
• Placer un agent sur un sommet du graphe
• Déplacer un agent le long dune arête
• Supprimer un agent dun sommet du graphe.
• Résultant en le nettoyage du graphe
• Un agent nettoie une arête quand il la traverse
• Une arête reste propre si ses deux extrémités
  sont protégées.
• On veut minimiser le nombre dagents
• s(G), plus petit nombre dagents nécessaire à une
  stratégie dencerclement dans le graphe G.

4
Graphes simples

• Chemin

5
Graphes simples

• Chemin

s(Pn) 1

• Anneau

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Graphes simples

• Chemin

s(Pn) 1

• Anneau

s(An) 2
7
Décomposition arborescente

• (T, (Xv)v?V(T) )
• un arbre et une famille de sommets de G
• 3 propriétés.
• Largeur de (T,X) max Xv -1 / v ? V(T)
• Largeur darborescence de G, tw(G), est la
  largeur minimale parmi toutes les décompositions
  arborescentes de G.
• Décomposition linéaire
• (P, (Xv)v?V(T) ), avec P un chemin
• Largeur linéaire de G, pw(G).

8
Exemple
9
Exemple
10
Exemple
11
Lien avec lencerclement

• J.A. Ellis, I.H. Sudborough et J.S. Turner. The
  Vertex Separation and Search Number of a Graph.
  Inf. Comput. 1994.
• N.G. Kinnersley. The Vertex Separation number of
  a graph equals its path-width. IPL. 1992.
• Pour tout graphe G de n sommets,
• pw(G) s(G) pw(G) 2

12
Introduction de la connexité dans le modèle

• Limites du modèle
• Impossibilité de se déplacer à volonté dans la
  réallité
• Il est préférable que agents restent groupés.

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Introduction de la connexité dans le modèle

• Limites du modèle
• Impossibilité de se déplacer à volonté dans la
  réallité
• Il est préférable que agents restent groupés.
• stratégie dencerclement connexe, cs(G)
• A chaque étape, la partie nettoyée doit être
  connexe.

14
Historique (1)

• L. Barriere, P. Flocchini, P. Fraigniaud et N.
  Santoro. Capture of an Intruder by Mobile Agents.
  SPAA, 2002.
• Algorithme linéaire calculant une stratégie
  dencerclement connexe optimale dans le cas des
  arbres.
• L. Barriere, P. Fraigniaud, N. Santoro et D.
  Thilikos. Connected and Internal Graph Searching.
  WG, 2003.
• Pour tout arbre T, s(T) cs(T) 2 s(T)

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Historique (2)

• P.D. Seymour et R. Thomas. Call Routing and the
  Ratcatcher. Combinatorica, 14(2)217-241, 1994.
• Carving connexe
• F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos rapport
  technique, 2004
• Décomposition en branche connexe
• Algorithme polynomial constructif.
• F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos rapport
  technique, 2004
• Pour tout graphe connexe G, cs(G) s(G) (2log2
  E(G)).

16
Définitions

• Arête connexe
• e est dite connexe si GT1(e) et GT2(e) sont
  des sous graphes connexes de G.

• Décomposition arborescente connexe (T,X)
• Toute arête de E(T) est connexe.
• Largeur arborescente connexe, ctw(G).

17
Résultat (1)

• Théorème
• Pour tout graphe connexe G, ctw(G) tw(G).
• Preuve constructive
• Algorithme polynomial qui, étant donnée une
  décomposition arborescente de largeur k de G,
  retourne une décomposition arborescente connexe
  de largeur k de G.

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Définition

• Décomposition arborescente enraciné en un sommet
  u.
• Arête sous-connexe
• Une arête e (w,v) où w est le père de v, est
  sous-connexe si
• GT(v) est un sous graphe connexe de G.

• (T,X) sous connexe en v?V(T)
• GT(v) est un sous graphe connexe de G
• toute arête de T(v) est sous connexe.

19
Algorithme (1)

• Entrée
• (Tu,X) une décomposition arborescente de largeur
  k de G.
• 2 phases
• Montée rend la décomposition sous-connexe
• Descente rend la décomposition connexe

20
Algorithme (2)

• Sous-procédure appliquée à un sommet v ? V(T) tel
  que T est sous connexe en w1,,ws les fils de s

21
Algorithme (2)

• Sous-procédure appliquée à un sommet v ? V(T) tel
  que T est sous connexe en w1,,ws les fils de s
• - détermine les composantes connexes de Xv Y1
  ,,Yr

22
Algorithme (2)

• Sous-procédure appliquée à un sommet v ? V(T) tel
  que T est sous connexe en w1,,ws les fils de s
• - crée un graphe bipartie dont une partition est
  formée de r sommets Y1 ,,Yr et lautre des s
  sommets w1,,ws. Il y a une arête entre Yi et wj
  ssi Yi ? Xwj ? ?

23
Algorithme (2)

• Sous-procédure appliquée à un sommet v ? V(T) tel
  que T est sous connexe en w1,,ws les fils de s
• - modifie la décomposition arborescente en
  fonction des composantes connexes du graphe
  bipartie

V
V
v1
v2
Y1
Y2
Y3
w1
w2
w3
w4
w5
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Algorithme (2)

• La décomposition arborescente résultante est sous
  connexe en les nouveaux descendants de v

V
V
V
v1
v2
Y1
Y2
Y3
w1
w2
w3
w4
w5
25
Algorithme (3)

• Phase 2 descente de la racine aux feuilles
• Entrée décomposition arborescente sous-connexe
  
• Il reste des arêtes qui font défaut à la
  connexité

26
Algorithme (3)

• Phase 2 descente de la racine aux feuilles
• Rotation de la décomposition

27
Algorithme (3)

• Phase 2 descente de la racine aux feuilles
• Application de la sous procedure.

28
Résultat (2)

• Théorème
• Pour tout graphe connexe G, cs(G) s(G) (2log2
  V(G)).
• Preuve constructive
• Algorithme construisant une stratégie
  dencerclement connexe de G utilisant au plus
  tw(G).log V(G) agents.

29
Idée de la démonstration (1)

• Démonstration par induction sur V(G).
• N. Robertson et P.D. Seymour. Graph Minors II.
  Algorithmic Aspects of Tree-Width. J. of Alg 7,
  1986.
• 2 cas pour toute décomposition arborescente
  dun graphe G de n sommets, il existe 1 ou 2
  sommets tels que
• Pour tout 1 j r, GTj n/2

T1
Ti
Tr
T1
Ti
Ti1
Tr
30
Idée de la démonstration (2)

• Décomposition arborescente connexe

Empécher la recontamination tw (G) agents
tw(G) log n/2 agents
31
Idée de la démonstration (2)

• Décomposition arborescente connexe

Empécher la recontamination tw (G) agents
cs(G) tw(G). log2 n
tw(G) log n/2 agents
32
Conclusions

• Résultats
• connexité inhérente à la décomposition
  arborescente
• nouvelle borne supérieure pour cs(G)/s(G)
• Perspectives
• Amélioration de la borne cs/s
• généralisation aux graphes q-connexes
• existe t-il une fonction f telle que pour tout
  graphe f(q)-connexe G, il existe une
  décomposition arborescente q-connexe de largeur
  tw(G) ?