NP-compl

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NP-complétude de EDIT(Nested, Nested)

• G.Blin, G. Fertin, I. Rusu, C. Sinoquet

Institut de Recherche en Informatique de Nantes
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Motivations

• Comparaison de structures secondaires dARN.
• Prise en compte simultanément des structures
  primaire et secondaire.
• Études plus pertinentes
• Réponse à un problème ouvert proposé par Zhang et
  al en 2001

3
EDIT(Nested, Nested) ?

• Distance dédition entre deux séquences annotées
  par des arcs.
• Plain
• Nested
• Crossing
• Unlimited

ACGUCCGUGCAUAUUAA
(op1,op2,), (op4,op1,),
CGUCGGAUCUAGCUAUC
C1
C2

min
Distance dédition
4
EDIT(Nested, Nested) ?

• Opérations sur les bases
• Suppression wd,
• Insertion wd,
• Substitution wm

U A
U U
- U
U -
Base-deletion wd
Base-insertion wd
Base-mismatch wm
Base-match
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EDIT(Nested, Nested) ?
Lin,Ma,Zhang RECOMB01

• Opérations sur arcs wam, wb, wa, wr

ACGUCCGUGCAUAUUAA
ACUGAC UGCA AUUA
-
-
-
Arc-mismatch wam
Arc-breaking wb
Arc-altering wa
Arc-removing wr
Arc-match
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Exemple de calcul EDIT(Nested, Nested)

• ? un alignement

ACGUCCGU CAUAUUAA
-
AGUGAC UGCA A UA
-
-
-
-
Score(?) Wa Wr Wb Wam 2Wm 2 Wd
7
Complexité de EDIT
Unlimited Crossing Nested Plain
Unlimited Max SNP-Hard Max SNP-Hard Max SNP-Hard Max SNP-Hard
Crossing Max SNP-Hard Max SNP-Hard Max SNP-Hard
Nested ? O(nm3) où m taille de séqu. plain
Plain O(nm)
EDIT(Nested, Nested) est NP-Complet
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Problème NP-Complet

• Deux grandes classes de problèmes
• P
• Polynomiaux.
• Réponse exacte en temps raisonnable
• NP
• Non polynomiaux
• NP-Complet (sous-classe de NP)
• Les plus difficiles
• Réponse exacte en un temps non raisonnable (en
  centaines dannées avec la meilleure des machines)

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Preuve de NP-Complétude
I
I0
Réponse(I0) -gt Réponse(I)
Problème difficile
Notre problème
est difficile
10
Complexité de EDIT(Nested, Nested) ?

• Max Independent Set Ensemble stable de taille
  maximale
• MIS est NP-Complet sur des graphes cubiques
  planaires connexes et sans isthme (noté MIS-3p).

G
11
Complexité de EDIT(Nested, Nested) ?

• MIS-3p -gt plongement sur 2 pages
• Chaque sommet nest pas de degré nul sur une page

reliure
12
Complexité de EDIT(Nested, Nested) ?

• MIS-3p -gt plongement sur 2 pages
• Chaque sommet nest pas de degré nul sur une page

? algorithme polynomial pour cette classe de
graphe
Lin,Chen,Jiang,Wen ICALP01
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Construction

• Sommet degré 2 UAUAGG
• Sommet degré 1 GGUAUA

Alignement canonique
3.n.wr wd
14
Construction
Alignement non canonique Alignement non optimal
Alignement avec des substitutions Alignement
non optimal
Alignement canonique
15
Construction

• Copie la configuration des arcs du plongement en
  doublant chacun des arcs

16
Les 18 types dalignements locaux
17
Alignements locaux symétriques
S1
S1
S2
S2
Coût similaire
18
Démarche

• Un des 18 types représente les sommets de
  lensemble stable
• Navoir que des alignements locaux de deux types
• Lautre type représentant les sommets
  nappartenant pas à lensemble stable

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Démarche
Score(?)
gt
Score(?)
gt
Score(?)
alignement Canonique G-Stable
20
Choix des deux types

• tuas et tgs (le type des sommets de lensemble
  stable)
• Idée pénaliser larc-removing

s
s
wb
wa
s
s
wr
21
Les Conditions posées par le remplacement
22
Les Conditions posées par le remplacement
Edit(Nested,Nested)
Cas général
est difficile
Sous conditions 1 à 4
Cas spécifique
est difficile
23
Exemple
Un alignement contenant un sommet de type t1
nest pas optimal
?
Score(?) lt Score(?) ?
0 ? lt 2wd ? ?
0 lt wd
?
?
2wd
24
Exemple
Un alignement contenant un sommet de type t9
nest pas optimal
?
2wb
Score(?) lt Score(?) ?
0 2wb ? lt 2wd 2wa ? ?
wb lt wa
2wd
?
2wa
25
Exemple
Un alignement contenant un sommet de type t9
nest pas optimal
?
2wa
Score(?) lt Score(?) ?
0 2wa ? lt 2wd 2wr ? ?
wa wd lt wr
2wd
?
2wr
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Exemple
Un alignement contenant un sommet de type t9
nest pas optimal
?
wb
wa
Score(?) lt Score(?) ?
0 wa wb ? lt 2wd wr wa ? ?
wb lt wr
2wd
wa
?
wr
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Preuve de léquivalence des problèmes
On veut maximiser k dans les deux problèmes
Edit(S1,S2) ? s où s
G possède un ensemble indépendant V tel que V
? k
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Conclusion et perspectives

• (1) On peut trouver en temps raisonnable une
  instance de Edit(Nested,Nested) à partir dun
  graphe cubique connexe planaire sans isthme
• (2) Les instances construites sont biologiquement
  correctes
• Alphabet U,C,G,A
• les arcs U-A représentent les liens hydrogènes
• (3) Démarche théorique
• Plonger un graphe intéressant vers une instance
  de notre problème
• Contraindre les coûts pour favoriser deux types
  de sommets
• Empêcher les liens entre deux sommets de
  lensemble stable

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Conclusion et perspectives

• On apporte une réponse au problème ouvert dans
  Lin,Ma,Zhang RECOMB01 en faisant intervenir
  des notions non triviales issues de domaines
  diverses.
• Déterminer la complexité dautres mesures de
  similarité sur lARN.

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NP-complétude de EDIT(Nested, Nested)
Questions?

• G.Blin, G. Fertin, I. Rusu, C. Sinoquet

Institut de Recherche en Informatique de Nantes