Comment compresser avec le spectre

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Comment compresser avec le spectre
Séance 10, 1 heure Version lundi 9 mai 2005
Auteur Jean-Paul Stromboni
Contenu de la séance

• Un CODEC compresse et décompresse le signal audio
• Un banc de filtres découpe le spectre dun signal
  en bandes
• On peut décimer les bandes en accord avec Shannon
  
• On récupère les signaux décimés en
  suréchantillonnant et en appliquant un filtre
  interpolateur
• Cest lénergie des bandes qui conduit à un taux
  de compression supérieur à un

Savez vous répondre aux questions suivantes ?
Calculer lénergie dun échelon de Heaviside de longueur R256 points de deux façons. Un son wav 44100Hz, 16 bits, mono, est compressé en mp3 à 128kbps, que vaut C ?
Avec un taux de compression de 11 que devient un son wav de 33 Mo ? Comment décimer en Matlab dans un facteur 10 le vecteur s sin(0.2pi110000)
Pourquoi peut-on décimer les signaux des bandes dans un banc de M filtres ? Comment sur-échantillonner le signal s avec MATLAB dans un rapport ?
Décimer le signal suivant Avec un banc de 32 filtres, quel taux de compression peut on imaginer atteindre ?
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Un CODEC compresse et décompresse (on dit aussi
encode et décode) le signal audio

• La performance dun CODEC est le taux de
  compression atteint, mais il faut aussi tenir
  compte sil y a lieu de linformation perdue.
• Le taux de compression est un rapport
• des espaces mémoires nécessaires (octets) pour le
  signal non compressé et pour le signal compressé.
  
• cest aussi le rapport des débits dinformation
  (bps) pour un téléchargement en temps réel.
• le pourcentage dinformation perdue par
  com-pression peut être évalué en comparant
  lénergie du signal original et celle du signal
  décompressé.

Un fichier enregistré en monophonie avec fe
44100Hz, b16bits occupe 3070ko

1. compressé en mp3 à 128kbps, quel est le taux de
   compression ?

1. idem si la taille devient 279ko. Préciser le
   débit.

1. Un lecteur propose 88ko, 20kbps, et fe? fe/4.
   Quel est le risque ?

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Un banc de filtres permet danalyser la
composition fréquentielle du spectre

• Un banc de filtres est un ensemble de filtres
  conçus pour partitionner le spectre dun signal
  en bandes de fréquences de même largeur
• Les réponses harmoniques des M filtres dun banc
  sont semblables (dallure rectangulaire) et
  réparties régulièrement sur laxe des fréquences
  
• Avec les réponses impulsionnelles hi, i1..M

Comment créer le banc suivant avec le filtre
H0(f)? Quel est le résultat obtenu avec un LA3 ?
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Pour comparer les signaux issus du banc de
filtres, on compare lénergie associée

• Les signaux issus du banc nont pas tous la même
  importance, on peut utiliser lénergie associée
  définie ci-dessous pour trancher
• soit le signal de
  longueur R et son
  spectre
• On calcule lénergie associée de deux façons
• Faire un bilan des relations entre les signaux et
  leurs spectres pour le banc de filtres suivant

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On peut décimer les signaux issus dun banc de
filtre tout en respectant la contrainte de Shannon

• Mettons que lon analyse le signal suivant x de
  durée RTe et de longueur R
• Lapplication dun banc de M filtres décompose x
  en M signaux de bandes fréquences différentes.
• Puisque la largeur du spectre des signaux issus
  du banc est réduite à fe/M, il est licite de
  diviser la fréquence déchantillonnage par M sans
  violer la contrainte de Shannon.
• En pratique, on décime ces signaux, on ne
  conserve quun échantillon sur M,
• Avec leffet sur le spectre
• Repliements autour de fe/M au lieu de fe
• Division par M
• Que réalisent les instructions suivantes ? gtgt s
  0.5cos(2pi44001000/8000) gtgt sd
  s(110length(s))

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Pour récupérer les signaux avant décima-tion, il
faut sur-échantillonner et interpoler

• Insérer M-1 échantillons nuls entre les
  échan-tillons du signal décimé ne modifie pas la
  for-me du spectre, mais seulement la fréquence
  déchantillonnage, qui est multipliée par M.
• Le signal sd décimé page5 est-il reconstitué dans
  Sse par les instructions suivantes ?gtgt Sse
  zeros(10length(sd))gtgt Sse(11010length(sd))
  sd
• Pour récupérer le signal avant décimation, il
  faut supprimer les alias et multiplier par M,
  cest la fonction des filtres interpolateurs.
• Quelle est la relation entre les filtres du banc
  hi et les filtres interpolateurs gi ?

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Pour atteindre un taux de compression supérieur à
un, il faut accepter de perdre de linformation

• Entre décimation et suréchantillonnage, il faut
  ajouter une stratégie susceptible de négliger les
  bandes de faible énergie
• Voici un exemple de stratégie possible
• On calcule à tout instant les énergies du signal
  décimé yd2 et des bandes ydi2, i 1..M
• On fixe un seuil a, et ydi2 lt a yd2, on ninclut
  pas ydi de la bande i dans le signal transmis.
• Proposer dautres stratégies

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On illustre la décomposition dun signal par un
banc de filtres et sa recomposition sur un exemple
Le banc ci-dessous contient deux filtres désignés
par leurs réponses impulsionnelles h1et h2 et les
réponses harmoniques H1 et H2, le signal x est de
longueur R et de spectre donné X(f)

• Banc de filtres

x1
g1
h1
xrec
x
x2
g2
h2

• Signal analysé

On demande de calculer les taux de compression et
les relation énergétiques tout au long de la
chaîne.
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On suit le signal sur la bande du filtre h1,
préciser la valeur du filtre interpolateur g1
Compléter et commenter les diagrammes suivants
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Construire les signaux de la bande h2