UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

• 4ª Semana Matemática
• Introdução a Programação no MATLAB

2
Currículo Resumido

• 2003.1 - Graduando em Engenharia Elétrica
• 2004.1 a 2006.2 - Monitor de Cálculo 1 pelo DME
• 2007 Membro do Projeto Olhos Digitais
• 2007 Participação no IV Encontro de Extensão da
  UFCG
• (Atual) - Monitor Voluntário do Laboratório de
  Princípios de Comunicações
• (Atual) Professor Voluntário de Matemática do
• PVS (Pré Vestibular Solidário)
  2007.
• E-mail josenildofg_at_gmail.com

3
Sumário

• Introdução ao MATLAB
• Estruturas de Controle
• Arquivos de Comando M-File
• Funções de Entrada e Saída
• Introdução a Funções MATLAB
• Toolboxes
• Toolbox de Matemática Simbólica
• Programas em MATLAB

4
Introdução ao MATLAB

• MATLAB(MATrix LABoratory) Programa de computador
  especializado e otimizado para cálculos
  científicos e de engenharia.
• Surgiu em 1970 com o intuito de auxiliar os
  cursos de Teoria Matricial, Álgebra Linear e
  Analise Numérica.

5
Introdução ao MATLAB

• Vantagens
• Facilidade de Uso
• Independência de Plataforma
• Funções Predefinidas
• Interface Gráfica de Usuário
• Compilador MATLAB
• Desvantagens
• Linguagem Interpretada
• Custo

6
(No Transcript)
7
Navegador de Ajuda
Espaço de Lançamento
Janela de Comandos MATLAB
Navegador de Diretório Corrente
Janela de Histórico de Comandos
8
Introdução ao Matlab

• Informação do Sistema
• gtgtcomputer
• gtgtversion
• gtgtver
• gtgtlicense

9
Introdução ao Matlab
MATLAB comand pi Comentários
format short 3.1416 5 dígitos
format long 3.14159265358979 16 dígitos
format short e 3.1416e000 5 dígitos expoente
format long e 3.141592653589793e000 16 dígitos expoente
format short g 3.1416 short ou short e
format long g 3.14159265358979 long ou long e
10
Introdução ao Matlab
MATLAB comand pi Comentários
format hex 400921fb54442d18 Hexadecimal, ponto flutuante
format bank 3.14 2 digitos decimais
format positivo(), negativo(-) ou zero(0)
format rat 355/113 razão aproximada
11
Introdução ao Matlab

• Comandos básicos
• gtgtwho -- Lista as variáveis.
• gtgtwhos -- Lista e especifica as variáveis.
• gtgtclc -- Limpa a Janela de Comandos.
• gtgtclf -- Limpa figura atual
• gtgtclear -- Deleta variáveis do workspace MATLAB.
• gtgthelp -- Ajuda do Matlab, documentação.
• gtgthelp elfun Lista funções do MATLAB

12
Operadores Aritméticos

• Forma Geral A op B
• Soma Estrutural e Matricial
• - Subtração Estrutural e Matricial
• Multiplicação Matricial
• / Divisão Matricial à Direita
• \ Divisão Matricial à Esquerda
• Expoente Matricial
• Operador de Transposição

13
Operadores Aritméticos
14
Operadores Aritméticos

• A B
• 0 2
• 2 2
• A B
• 2 -2
• 2 0

• A C
• Operação ilegal
• A D
• 6 5
• 7 6

15
Operadores Aritméticos

• A B
• -1 2
• 2 5
• A C
• 3
• 8

• A . B
• -1 0
• 0 1
• A . C
• Operação ilegal

16
Operadores Aritméticos

• A / B
• -1 2
• -2 5
• A \ B
• -1 2
• 2 -3

• A ./ B
• -1 0
• Inf 1
• A .\ B
• -1 Inf
• 0 1

17
Operadores Relacionais

• Forma geral
• A op B
• A e B Operandos.
• Pode ser uma matriz,
• um escalar ou uma
• cadeia de caracteres.
• Op Operador

Operador Operação
Igual a
Diferente de
gt Maior que
gt Maior que ou igual a
lt Menor que
lt Menor que ou igual a
18
Operadores Relacionais

• Os operadores lt, lt, gt e gt são usados para
  comparar a parte real dos operandos.
• Os operadores e são usados para comparar a
  parte real e imaginária dos operandos.

19
Operadores Relacionais

• Expressão Resultado
• 5 gt 3 1
• AC gt BA 0 1
• a gt b 1 0
• 1 j lt 2 3j 1
• x gt 3 8 1 0
• a gt c 0 1
• 2 j 1 j 0
• 5 j 2 j 1
• a 2 1 b 1 1 c 0 2 x 4 2

20
Operadores Lógicos

• Operação Lógica Binária Operação Lógica
  Unária
• A op B
  op A

Operador Operação
E lógico
l OU lógico
xor Ou exclusivo lógico
Não lógico
21
Operadores Lógicos

• O MATLAB utiliza a lógica positiva, ou seja,
  assume-se o valor verdadeiro se ele for diferente
  de zero e falso se ele for igual a zero.

22
Operadores Lógicos

• Tabela da Verdade para Operadores Lógicos

Entradas e ou xor não
A B A B A l B xor(A,B) A
0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0
23
Precedência dos operadores

• Os operadores aritméticos são avaliados
  primeiro.
• Os operadores relacionais são avaliados da
  esquerda para a direita.
• Todos os operadores são avaliados.
• Todos os operadores são avaliados.
• Todos os operadores I são avaliados.
• OBS Sempre use parênteses para indicar a ordem
  correta desejada de avaliação de uma expressão.

24
Operadores Lógicos

• Expressão Resultado
• A 0
• A l B 1
• B l C 1
• 3 gt 4 1 0
• 3 gt (4 1) 1
• C 0
• A l B C 1
  
• A C 1
• B C 0
• A 1, B 0 e C -10

25
Operadores Lógicos -Exercícios

• Expressão
• A
• A l B
• B l C
• 3 gt 4 1
• 3 gt (4 1)
• C
• A l B C
• A C
• B C

• Resultado
• 0
• 1
• 1
• 0
• 1
• 0
• 1
• 1
• 0

26
Estruturas de Controle

• Controle de Fluxo
• O controle de fluxo é um recurso que permite
  que resultados
• anteriores influenciem operações futuras.
  Como em outras
• linguagens, o MatLab possui recursos que permitem
  o controle
• de fluxo de execução de comandos, com base em
  estruturas
• de tomada de decisões.
• Será apresentado as seguintes estruturas de
  controle
• if
• if-else
• switch
• while
• for

27
Estruturas de Controle

• Simbologia

Inicio e fim de uma estrutura de uma controle
Símbolo de decisão
Indica que ações serão executadas
28
Estruturas de Controle

• Algoritmo
• Série de ações executadas em uma ordem
  especifica.
• Pseudocódigo
• Linguagem artificial e informal de representar o
  código de um programa.
• Útil para desenvolver algoritmos que serão
  convertidos em programas estruturados no Matlab.

29
Estruturas de Controle

• if
• Estrutura de seleção para escolha de cursos
• de ação específicos.
• A estrutura de seleção if executa uma ação
• indicada só quando a condição é true
• (Verdadeira) caso contrário, a ação é saltada.

30
Estruturas de Controle

• if

Testa a condição
Verdadeira
Condição
Executa uma ação
Falsa
31
Estruturas de Controle

• Pseudocódigo
• Se a nota do estudante for maior ou igual que 7.0
• Imprima Aprovado
• Código no Matlab
• if nota gt 7
• fprintf(Aprovado)
• end

32
Estruturas de Controle

• If-else

Testa a condição
Verdadeira
Falsa
Condição
Executa uma ação
Executa uma ação
33
Estruturas de Controle

• Pseudocódigo
• Se a nota do estudante for maior ou igual que
  7.0
• Imprima Aprovado
• senão
• Imprima Reprovado
• Código no Matlab
• if nota gt 7
• fprintf(Aprovado)
• else
• fprintf(Reprovado)
• end

34
Estruturas de controle

• Laços são construções MATLAB que nos permitem
  executar uma sequência de declarações mais de uma
  vez.
• Existem dois tipos de laços
• while
• for

35
Estruturas de controle

• while é um bloco de declarações que se repete
  indefinidamente, enquanto uma condição for
  satisfeita.
• A forma geral do while é
• while expressão
• ...
• ... Bloco de código
• ...
• end

36
Estruturas de Controle

• while

Testa a condição
Verdadeira
Condição
Executa uma ação
Falsa
37
Estruturas de Controle

• switch
• Estrutura de seleção múltipla.
• Consiste de uma série de rótulos case e um
• otherwise.

38
Estrutura de Controle
Verdadeiro
Ação(ões) do case a
Case (a)
Falso
Case (b)
Verdadeiro
Ação(ões) do case b
Falso
.
.
Falso
Otherwise
39
Estruturas de Controle

• Laço for Executa um bloco de declarações
  durante um número especificado de vezes.
• for indice expressão
• Declaração 1
• .... Corpo
• Declaração n
• end

40
Estrutura de Controle
n número de iterações do laço for cont variável
de controle
cont 1
Inicialização da variável de controle
cont 2
cont 3
Verdadeiro
cont lt n
Corpo do laço
cont cont 1
Falso
41
Estruturas de Controle

• Exemplo Calcular a soma dos 10 primeiros
  inteiros.
• soma 0 Inicializa a
  variável soma com zero
• for k 110
• soma soma k
• end
• fprintf('A soma dos dez primeiros inteiros eh
  .2f', soma)

42
Estruturas de Controle

• Exemplo Calcular o fatorial de um número n.
• n 5
• fatorial 1 Inicializa a
  variável soma com zero
• for k 1n Laço de repetição
  n vezes
• fatorial fatorialk Cálculo do
  fatorial
• end
• fprintf(O fatorial de .2f eh .2f', n,
  fatorial)

43
Estruturas de Controle

• Exemplo Calcular a soma dos 5 primeiros inteiros
  impares.
• soma 0 Inicializa a
  variável soma com zero
• for k 129
• soma soma k
• end
• fprintf('A soma dos 5 primeiros inteiros impares
  eh .2f', soma)

44
Estruturas de Controle

• for X while
• while utilizado para repetir um trecho de
  código quando não é desconhecido o número de
  iterações do laço.
• for utilizado para repetir um trecho de
  código quando é conhecido o número de iterações
  do laço.

45
Estruturas de Controle

• Break
• Usada para controlar a operação dos laços for e
  while
• Encerra a execução do laço e passa o controle
  para a próxima declaração logo após o fim do
  laço.

46
Estruturas de Controle

• Uso do break
• for k 15
• if k 3
• break
• end
• fprintf(k d\n, k)
• end
• disp(Fim do laço!)

47
Estruturas de Controle

• k 1
• k 2
• Fim do laço!

48
Estruturas de Controle

• Continue
• Usada para controlar a operação dos laços for e
  while
• Termina a passagem corrente pelo laço e retorna o
  controle para o inicio do laço.

49
Estruturas de Controle

• Uso do continue
• for k 15
• if k 3
• continue
• end
• fprintf(k d\n, k)
• end
• disp(Fim do laço!)

50
Estruturas de Controle

• k 1
• k 2
• k 4
• k 5
• Fim do laço!

51
Arquivos de Comando M-File

• Geralmente, utiliza-se o prompt do MATLAB para
  introduzir os comandos. Entretanto este
  procedimento simples para execução de comandos no
  prompt se torna altamente ineficiente quando a
  complexidade do problema aumenta. Em suma,
  podemos dizer que para problemas simples podemos
  usar o prompt do MATLAB e para os mais difíceis
  deve-se utilizar o script-file ou M-file, que é
  também conhecido como arquivo de comando ou
  arquivo M.

52
Arquivos de Comando M-File

• Erro comum de Programação Os nomes dos
  arquivos de comando precisam sempre terminar com
  a extensão .m.
• Exemplos
• programa1.m, exemplo1.m, etc.

53
Arquivos de Comando M-File

• Como Criar um Arquivo M (M-file)
• Para criar um arquivo M-file, siga os seguintes
  passos
• Inicialmente, você deve abrir o programa MATLAB,
  dando um duplo click no ícone do MATLAB que está
  na área de trabalho.
• Selecione o menu File (dê um click).
• Selecione o item New e em seguida aponte para
  M-file e dê um click.

54
Arquivos de Comando M-File

• Exenplo de script-file.
• script-file circulo.m
• Este programa calcula a área de um circulo
• raio 2.5
• area piraio2
• fprintf(Area do circulo .3f ', area)

55
Arquivos de Comando M-File

• Como Executar um Arquivo M (M-file)
• Para executar um arquivo M-file no MATLAB é
  preciso gravar o arquivo correspondente. Para
  isto, selecione o item Save Workspace As do menu
  File. Dê preferência salvar o arquivo no
  diretório corrente do MATLAB, ou seja, na pasta
  work. Para executar o arquivo M, digite no prompt
  do MATLAB o nome do arquivo salvado
  anteriormente, sem a extensão .m. Feito isso o
  MATLAB gera o executável do programa.

56
Arquivos de Comando M-File

• Para exemplificar, considere o arquivo
  circulo.m. Digite no prompt do MATLAB o nome do
  arquivo circulo. Será apresentado o executável do
  programa.
• gtgt circulo
• Area do circulo 19.635

57
Arquivos de Comando M-File

• Resumindo, pode-se dizer que um programa em
  MATLAB consiste na criação do arquivo M-file
  utilizando-se o editor de texto e sua respectiva
  chamada por linha de comando no prompt do MATLAB.

58
Introdução a Funções MATLAB

• Funções Predefinidas MATLAB
• Fornece uma enorme variedade de funções prontas
  para uso.
• Funções trigonométricas, logarítmicas, raízes.
• Funções hiperbólicas, funções de Bessel, etc.
• As funções MATLAB podem devolver mais de
• um resultado para o programa que as ativa.

59
Introdução a Funções MATLAB

• Uso da função max
• Retorna o valor máximo de um vetor de entrada,
  podendo retornar a localização de onde ocorreu o
  máximo.
• maxval max(1 2 -4 5)
• maxval 5
• maxval index max(1 2 -4 5)
• maxval 5
• index 4

60
Introdução a Funções MATLAB

• Funções MATLAB com Matrizes como entrada.
• x 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi Entrada
• y sin(x)
  Saída
• y 0 1 0 -1 0
  Resultado

61
Introdução a Funções MATLAB

• Agora é com você!!!
• x 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi
• y cos(x)

62
Introdução a Funções MATLAB

• Agora é com você!!!
• Calcule os valores de sin x, cos x e tan x, para
  x 30º, 45º e 60º.

63
Introdução a Funções MATLAB

• Funções Elementares

64
Introdução a Funções MATLAB

• Funções Definidas pelo usuário.
• function outarg1, outarg2, ... fname(inarg1,
  inarg2, ...)
• H1 comentário
• Mais um comentário
• ...
• (Código executável)
• ...
• (return)

65
Introdução a Funções MATLAB
y
B
yb
d
A
C
ya
x
xa
xb
D distancia entre os pontos A e B
66
Introdução a Funções MATLAB

• function resultado distancia2(xa,ya,xb,yb)
• DISTANCIA2 Calcula a distancia entre dois
  pontos
• Function DISTANCIA2 calcula a distancia entre
  dois pontos
• A(xa,ya) e B(xb,yb) no sistema de coordenadas
  cartesiano.
• Chamada a função
• res distancia2(xa, ya, xb, yb)
• Definiçao das variaveis
• xa abscissa do ponto A
• ya ordenada do ponto A
• xb abscissa do ponto B
• yb ordenada do ponto B
• resultado Distancia entre os pontos A e B.

67
Introdução a Funções MATLAB

• OBSERVAÇOES
• Data Programador
  Descriçao
• 05/10/07 Josenildo F. Galdino
  Codigo Original
• Calculo da distancia
• resultado sqrt((xb - xa).2 (yb - ya).2)

68
Introdução a Funções MATLAB

• Uso da função distancia2.
• Script file teste_distancia2.m
• Este programa testa a funçao distancia2
• Data Programador
  Descriçao
• 05/10/07 Josenildo F. Galdino Codigo
  Original
• Definiçao das variaveis
• xa abscissa do ponto A
• ya ordenada do ponto A
• xb abscissa do ponto B
• yb ordenada do ponto B
• resultado distancia entre os dois pontos A e B.

69
Introdução a Funções MATLAB

• Dados fornecidos pelo usuario
• disp('Calcule a distancia entre os pontos A e
  B')
• xa input('Forneca a abscissa do ponto A ')
• ya input('Forneca a ordenada do ponto A ')
• xb input('Forneca a abscissa do ponto B ')
• yb input('Forneca a ordenada do ponto B ')
• Uso da funçao definida pelo programador
• resultado distancia2(xa, ya, xb, yb)
  Chamada a funçao.
• Exibiçao do resultado
• fprintf('A distancia entre os pontos A e B e
  f\n', resultado)

70
Introdução a Funções MATLAB

• gtgt teste_distancia2
• Calcule a distancia entre os pontos A e B
• Forneca a abscissa do ponto A 1
• Forneca a ordenada do ponto A 1
• Forneca a abscissa do ponto B 2
• Forneca a ordenada do ponto B 2
• resultado
• 1.4142
• A distancia entre os pontos A e B e 1.414214
• gtgt

71
Toolboxes

• Statistics Toolbox
• Symbolic Math Toolbox
• Partial Diferrential Equation Toolbox
• Curve Fitting Toolbox
• Signal Processing Toolbox
• Control System Toolbox
• Communication Toolbox

72
Symbolic Math Toolbox

• O Toolbox de Matemática Simbólica disponibiliza
  uma coleção de diversas funções do MATLAB
  utilizadas para calcular operações básicas, tais
  como derivadas, limites, integrais, expansão da
  serie de Taylor, e outras operações. A
  manipulação simbólica no MATLAB pode ser vista
  como uma evolução do modo como você utiliza o
  MATLAB para processar números.

73
Symbolic Math Toolbox

• A grande vantagem de se utilizar tal processo é
  que podemos obter resultados mais exatos,
  eliminando-se assim a imprecisão introduzida
  pelos valores numéricos. Podemos resolver
  derivadas, integrais, equações diferenciais e
  algébricas utilizando-se esta poderosa
  ferramenta.

74
Symbolic Math Toolbox

• EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
• Deve-se entender por Expressão simbólica as
  expressões que contêm objetos simbólicos que
  podem representar números, funções e operações e
  variáveis.
• Dica As variáveis simbólicas não precisam de um
  valor numérico. Esta variável simbólica
  representa apenas um símbolo de uma expressão
  simbólica.

75
Symbolic Math Toolbox

• EXPRESSÕES SIMBÓLICAS
• Exemplos

76
Symbolic Math Toolbox

• O MATLAB disponibiliza várias funções que
  trabalham com funções polinomiais e que podem ser
  utilizadas para representar funções polinomiais.
  Dentre elas, encontram-se as seguintes funções
• collect
• expand
• factor
• simplify
• simple

77
Symbolic Math Toolbox

• collect
• Organiza os coeficientes
• Sintaxe
• collect( f )
• mostra um polinômio f em sua variável simbólica,
  seja x, e
• organiza todos os coeficientes com a mesma
  potência de x.
• Um segundo argumento pode especificar a variável
  que se deve
• organizar se houver mais de uma variável
  simbólica possível.

78
Symbolic Math Toolbox

• collect(f)
• 1) Escreva a função y (x1)3 na forma
  polinomial
• gtgt clear Limpa a Janela de
  Comandos
• gtgt x sym('x') Define a variavel simbolica
  x
• gtgt y (x 1)3 Define a função y f(x)
• gtgt collect(y) Organiza os coeficientes
• gtgt pretty(ans) Exibe o resultado

x3 3x2 3x 1
79
Symbolic Math Toolbox

• Agora é com você!!!
• Escreva a função y (x 1)(x 2) na forma
• polinomial.

80
Symbolic Math Toolbox

• collect( f, nome da variável simbólica)
• A função collect neste caso aceita um segundo
  argumento que especifica que variável simbólica
  deve ser utilizada para organizar o polinômio.

81
Symbolic Math Toolbox

• collect(f, nome da variável simbólica)
• 2) Escreva a função f(x,z) (x 1)3 z na
  forma polinomial.
• gtgt x sym('x') Define a variável
  simbólica x
• gtgt z sym(z) Define a variável
  simbólica z
• gtgt y (x 1)3 z Define a função y f(x,z)
• gtgt collect(y,x) Organiza os
  coeficientes em x
• gtgt pretty(ans) Exibe o resultado

x3 3 x2 3 x 1 z
82
Symbolic Math Toolbox

• Agora é com você!!!
• Escreva a função y (x 1)3 (z 1)2
• na forma polinomial, em termos de z.

83
Symbolic Math Toolbox

• expand
• realiza a distribuição de produtos para
  polinômios
• e aplica outras identidades que envolvem funções
• de somas, identidades trigonométricas,
  exponenciais
• e logaritmos.
• Sintaxe
• expand( f )

84
Symbolic Math Toolbox

• expand(f)
• 3) Escreva a função y (x1)3 na forma
  polinomial
• gtgt clear Limpa a Janela de
  Comandos
• gtgt x sym('x') Define a variavel simbolica
  x
• gtgt y (x 1)3 Define a função y f(x)
• gtgt expand(y) Realiza o produto polinomial
• gtgt pretty(ans) Exibe o resultado

x3 3x2 3x 1
85
Symbolic Math Toolbox

• expand X collect
• Além de representar funções polinomiais a
  função é bastante útil na manipulação de
  expressões simbólicas trigonométricas,
  exponenciais, hiperbólicas, entre outras funções.
  Esta é uma das características marcantes que
  diferenciam a função expand da collect. A função
  expand é bem mais robusta, porque trabalha com
  muitos tipos de funções, enquanto a função
  collect é restrita apenas a funções polinomiais.
  Podemos, dizer que a função expand é uma evolução
  da função collect, agregando-se novas
  funcionalidades.

86
Symbolic Math Toolbox

• expand
• 4) Obtenha a forma expandida da função
  trigonométrica cos(x y).
• x sym(x) Cria a variável
  simbólica x.
• y sym(y) Cria a variável
  simbólica y.
• expand(cos(xy)) Realiza a operação
• ans Variável padrão do
  matlab
• cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
  Resultado

87
Symbolic Math Toolbox

• Agora é com você!!!
• Obtenha a forma expandida da função
  exponencial exp(x y).

88
Symbolic Math Toolbox

• Factor
• Fatoração
• Sintaxe
• factor(X)
• Esta função obtém a forma fatorada de um
  polinômio. Na sintaxe da função X, pode ser
  apenas a expressão simbólica. Ou um array
  simbólico contendo vários expressões simbólicas.
  No caso de utilizar um array, a função factor
  retorna um array com as expressões simbólicas
  correspondentes.

89
Symbolic Math Toolbox

• Uso da Função factor
• Calcular os fatores primos de um número inteiro.
• Obter a forma polinomial fatorada.
• Simplificar expressões simbólicas.

90
Symbolic Math Toolbox

• Factor(x)
• 5) Calcule os fatores dos seguintes números 15
  e 50.
• gtgt factor(15)
• ans
• 3 5
• gtgt factor(50)
• ans
• 2 5 5

91
Symbolic Math Toolbox

• Factor
• Observação
• O maior valor inteiro que a função factor
  aceita é um numero inteiro de até 16 dígitos, se
  o número tiver uma quantidade de dígitos superior
  a 16. Devemos usar o sym para criar um elemento.

92
Symbolic Math Toolbox

• Factor(x)
• 5) Calcule os fatores do número
• gtgt factor(15)
• ans
• 3 5
• gtgt factor(50)
• ans
• 2 5 5

93
Symbolic Math Toolbox

• Factor(x)
• 5) Calcule os fatores do número
  12345678901234567890
• gtgt factor(sym('12345678901234567890'))
• ans
• (2)(3)2(5)(101)(3803)(3607)(27961)(3541)

94
Symbolic Math Toolbox

• 6) Obtenha a forma fatorada da equação
• y x3 3x2 3x 1
• gtgt x sym('x') Cria a variável
  simbólica x.
• gtgt y x3 3x2 3x 1 Define a função y
  f(x)
• gtgt factor(y)
  Fatoração
• gtgt pretty(ans) Exibe o
  resultado
• (x 1)3

95
Symbolic Math Toolbox

• Agora é com você!!!
• Obtenha a forma fatorada da equação
• y x2 3x 2

96
Symbolic Math Toolbox

• Simplify
• Simplificação simbólica.
• Sintaxe
• R simplify(S)
• A função simplify é uma ferramenta poderosa,
  que em geral aplica várias identidades algébricas
  que envolvem somas, potência inteira, raízes
  quadradas e potência fracionária, como também
  vários identidades que envolvem funções
  trigonométricas, exponencial e funções de Bessel,
  função gama, etc.

97
Symbolic Math Toolbox

• 7) Simplifique a seguinte expressão
• gtgt x sym('x') Cria a
  variável simbólica x.
• gtgt y (x3 8)/(x4 - 16) Define a função
  y f(x)
• gtgt simplify(y)
  Simplificação simbólica
• gtgt pretty(ans) Exibe o
  resultado
• x2 - 2x 4
• -------------------
• x3 - 2x2 4x - 8

98
Symbolic Math Toolbox

• Agora é com você!!!
• Simplifique a seguinte expressão

99
Symbolic Math Toolbox

• 8) Simplifique a seguinte expressão
• gtgt x sym(x) Cria a variável
  simbólica x.
• gtgt y cos(x)2 sin(x)2 Define a função y
  f(x)
• gtgt simplify(y)
  Simplificação simbólica
• gtgt pretty(ans) Exibe o
  resultado
• 1

100
Symbolic Math Toolbox

• 9) Simplifique a seguinte expressão
• gtgt syms x y positive Cria as variáveis
  simbólicas x e y, ambas
  positivas.
• gtgt simplify(log(xy)) Simplificação simbólica
• gtgt pretty(ans) Exibe o resultado
• log(x) log(y)

101
Symbolic Math Toolbox

• Simple
• Busca a forma mais simplificada para a expressão
  simbólica.
• Sintaxe
• r simple( S )
• r,how simple( S )
• A função simple(S) tenta várias simplificações
  algébricas diferentes na expressão simbólica S,
  exibe a representação de menor comprimento para
  S. S é um sym. Se S for uma matriz, o resultado
  indica a representação mais curta da matriz
  inteira que necessariamente não é a representação
  mais curta de cada elemento individual.

102
Symbolic Math Toolbox

• 10 ) Simplifique a expressão y (x 1)(x 2)
• gtgt x sym(x) Cria a variável simbólica x.
• gtgt simple((x1)(x2)) Simplificação
• ans
• x23x2

103
Symbolic Math Toolbox

• Agora é com você!!!
• Simplifique a expressão

104
Symbolic Math Toolbox

• pretty
• Esta função imprime uma expressão simbólica.
• Pretty(expressão simbólica).
• A grande vantagem do uso da função pretty
  quando trabalha-se com matemática simbólica é que
  a exibição da expressão simbólica é a mais clara
  possível.
• Dica Ao trabalhar com matemática simbólica,
  sempre use a função pretty, para tornar mais
  legível a expressão simbólica mostrada na tela.

105
Symbolic Math Toolbox

• LIMITES

106
Symbolic Math Toolbox

• Limites
• ------------------------------------------------
  ----------------------------------------
• Scripte file limites.m
• Este programa calcula o limite de algumas
  funções.
• ------------------------------------------------
  ---------------------------------------
• DESCRIÇAO
• ------------------------------------------------
  ---------------------------------------
• DATA PROGRAMADOR
  DESCRIÇAO DO CODIGO
• 10/10/07 Josenildo F. Galdino
  Código Original
• -------------------------------------------------
  --------------------------------------

107
Symbolic Math Toolbox

• syms x a Cria as variáveis simbólicas x
  e a.
• f 1/(x2) Definição da função f(x)
• pretty(f) Exibição da função
• limit(f,2) Calcula o limite quando x
  tende a 2.
• f1 (25x3 2)/(75x7 -2) Definição da
  função f1(x)
• pretty(f1)
  Exibição da função.
• limit(f1) Calcula o
  limite quando x tende a 0.

108
Symbolic Math Toolbox

• f2 (25x3 2)/(75x7 -2) Definição da
  função f2(x)
• pretty(f2) Exibição da
  função
• limit(f2) Calcula o
  limite quando x tende a 0.
• f3 (x2 - 2)/(x - 2) Definição da
  função f3(x)
• pretty(f3) Exibição da
  função
• limit(f3,2) Calcula o
  limite quando x tende a 2.
• f4 (x2 - a2)/(x2 2ax a2) Definição
  da função f3(x)
• pretty(f4) Exibição
  da função
• limit(f4,a) Calcula o
  limite quando x tende a a.

109
Symbolic Math Toolbox

• g sin(2x)/x Definição da função
  g(x)
• pretty(g) Exibição da função
• limit(g) Calcula o limite
  quando x tende a 0.
• g1 sin(5x)/x Definição da função
  g1(x)
• pretty(g1) Exibição da função
• limit(g1) Calcula o limite
  quando x tende a 0.

110
Symbolic Math Toolbox

• g2 (sin(5x) - sin(3x))/x Definição da
  função g2(x)
• pretty(g2)
  Exibição da função
• limit(g2) Calcula o
  limite quando x tende a 0.
• g3 (1 - sqrt(1 - x2))/(x2) Definição da
  função g3(x)
• pretty(g3)
  Exibição da função
• limit(g3) Calcula o
  limite quando x tende a 0.

111
Symbolic Math Toolbox

• DERIVADAS

112
Symbolic Math Toolbox

• DERIVADAS
• gtgt syms x n Cria a
  variável simbólica x.
• gtgt p x3 4x2 -7x -10 Define a função
  f(x).
• gtgt d diff(p) Calcula
  a derivada de f(x).
• d
• 3x28x-7
• gtgt e diff(p,2) Calcula a
  2ª derivada de f(x).
• e
• 6x8
• gtgt f diff(p,3) Calcula
  a 3ª derivada de f(x).
• f
• 6

113
Symbolic Math Toolbox

• DERIVADAS
• syms x n Cria as variaveis
  simbólicas x e n.
• gtgt g xn Define a função g(x).
• gtgt h diff(g) Calcula a derivada de
  g(x).
• h
• xnn/x
• gtgt h simplify(h) Simplifica o resultado.
• h
• x(n-1)n

114
Symbolic Math Toolbox

• DERIVADAS DE FUNÇÕESTRANSCENDENTAIS
• gtgt syms x Cria as variaveis
  simbólicas x e n.
• gtgt f1 log(x) Define a função f1(x).
• gtgt df1 diff(f1) Calcula a derivada de
  f1(x).
• df1
• 1/x
• gtgt f2 (cos(x))2 Define a função f2(x).
• gtgt df2 diff(f2) Calcula a derivada de
  f2(x).
• df2
• -2cos(x)sin(x)

115
Symbolic Math Toolbox

• DERIVADAS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
• gtgt f4 cos(2x)
• gtgt df4 diff(f4)
• df4
• -2sin(2x)
• gtgt f5 exp(-(x2)/2)
• gtgt df5 diff(f5)
• df5
• -xexp(-1/2x2)

116
Symbolic Math Toolbox

• Calcule a derivada de

gtgt syms x Cria a variável
simbólica x. gtgt p x/(x-1) Define
a função f(x). gtgt diff(p)
Calcula a derivada de f(x). ans
1/(x-1)-x/(x-1)2 gtgt simplify(ans)
Simplifica a expressão da derivada. ans
-1/(x-1)2 gtgt pretty(ans) Exibe a
resposta no formato mais visivel.
1
- --------
2
(x - 1)
117
Symbolic Math Toolbox

• Calcule a derivada de
• em x 1, ou seja,

118
Symbolic Math Toolbox
Cálculo da derivada syms x
Cria a variável simbólica x. p 2 x
x2 Define a função f(x). d diff(p)
Calcula a derivada de f(x). pretty(d)
Exibe o resultado da derivada
Calculo da derivada em um ponto (x 1) g 2
1 Define o polinômio da
derivada polyval(g,1) Calcula a derivada
em x 1 subs(d,1) Valor da função em
x 1
119
Symbolic Math Toolbox

• INTEGRAIS
• gtgt syms x n t Cria as variáveis
  simbólicas x n t
• gtgt int(xn) Calcula a integral de
  xn
• ans
• x(n1)/(n1)
• gtgt int(x3 4x2 7x 10) Calcula da
  integral x3 4x2 7x 10
• ans
• 1/4x44/3x37/2x210x
• gtgt int(x,1,t) Calculo da integral de
  x, no intervalo 1, t .
• ans
• 1/2t2-1/2

120
Symbolic Math Toolbox

• INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
• gtgt syms x Cria a variável simbólica x
• gtgt int(1/x) Calcula a integral de
  f(x) 1/x.
• ans
• log(x)
• gtgt int(cos(x)) Calcula a integral de f(x)
  cos (x)
• ans
• sin(x)
• gtgt int(1/(1x2)) Calcula a integral de f(x)
  1/(1 x2)
• ans
• atan(x)
• gtgt int(exp(-x2)) Calcula a integral de f(x)
  exp(-x2)
• ans
• 1/2pi(1/2)erf(x)

121
Programas em MATLAB

• Resolver a equação quadrática

122
Programas em MATLAB

• ------------------------------------------------
  -----------------------------------------
• Scripte file quadratica.m
• Este programa calcula as raizes da equaçao
  quadratica, sendo
• fornecidos pelo usuario os coeficientes a, b e
  c da equaçao
• ax2 bx c 0
• ------------------------------------------------
  ---------------------------------------
• DESCRIÇAO
• ------------------------------------------------
  ---------------------------------------
• DATA PROGRAMADOR
  DESCRIÇAO DO CODIGO
• 10/10/07 Josenildo F. Galdino
  Código Original
• -------------------------------------------------
  --------------------------------------

123
Programas em MATLAB

• DEFINIÇAO DAS VARIAVEIS
• a - coeficiente do termo x2
• b - coeficiente do termo x
• c - coeficiente do termo x0 ou termo
  independente.
• x1 - raiz da equação quadrática
• x2 - raiz da equação quadrática
• m - variável intermediaria
• n - variável intermediaria

124
Programas em MATLAB

• clc Limpa a area de
  trabalho.
• Obtenção dos parâmetros
• disp('Forneca os coeficientes da equaçao
  quadratica')
• a input('\nForneca o coeficiente a ')
• b input('Forneça o coeficiente b ')
• c input('Forneca o coeficiente c ')
• x linspace(-12,12,300) Gera 300 pontos
  entre -12 e 12.
• y ax.2 bx c Definição da
  função y f(x)

125
Programas em MATLAB

• Cálculo das raízes
• m -b/(2a)
• n sqrt(b2 - 4ac)/(2a)
• fprintf('\nAs raizes da equacao quadratica sao')
• x1 m n
• x2 m - n
• fprintf('\n')

126
Programas em MATLAB

• Exibição do gráfico
• plot(x,y)
  Gráfico em 2-D.
• title('\bf\itEquaçao Quadratica') Titulo do
  gráfico
• xlabel('\bf\itx')
  Eixo horizontal
• ylabel('\bf\ity')
  Eixo vertical

127
Programas em MATLAB

• Forneca os coeficientes da equaçao quadratica
• Forneca o coeficiente a 2
• Forneça o coeficiente b 10
• Forneca o coeficiente c 12
• As raizes da equaçao quadratica sao
• x1
• -2
• x2
• -3

128
Programas em MATLAB
129
ANIMAÇÃO

• Demonstração
• Script-file animacao.m

130
ANIMAÇÃO

• Demonstração
• Script-file animacao1.m

131
ANIMAÇÃO

• Demonstração
• Script-file animacao2.m

132

• OBRIGADO!!!