El concepto de Computabilidad y la M

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El concepto de Computabilidad y la Máquina de
Turing

• Introducción a la Ingeniería en Computación
• UTM
• Ing. Moisés E. Ramírez G.

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Alan Turing (1912-1954)

• Una pregunta acechaba a Turing, y era el hecho de
  que Debe existir al menos en principio algún
  método definido, o proceso mediante el cual toda
  cuestión matemática pueda ser demostrada?
  (entscheidugsproblem)
• Para contestar a esta pregunta necesitaba una
  definición del concepto método, y para ello
  analizó que era lo que hacía una persona para
  transformar un proceso metódico, y buscar una
  forma de hacer esto mecánicamente. Expresó el
  analisis en términos de una máquina teórica que
  sería capaz de transformar con precisión
  operaciones elementales previamente definidas en
  símbolos en una cinta de papel. En Agosto de 1936
  presenta el concepto final de la Maquina de
  Turing en su artículo On Computable Numbers
  (1936).
• En este artículo determinó la naturaleza y las
  limitaciones teóricas de las máquinas lógicas
  antes de que se construyera siquiera una sencilla
  computadora por completo programable

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• En Princeton, desarrolló una máquina de cifrado,
  y estudió sobre este campo debido a la utilidad
  de ello en la Guerra con Alemania.
• Trabajando secretamente para el Colegio de
  Cifrado y Código Gubernamental o también llamado
  Departamento de Criptoanálisis. Turing fue
  reclutado por Inglaterra, en Bletchley Park, para
  descifrar los mensajes que componía la máquina
  alemana Enigma, y, como consecuencia, los aliados
  construyeron la máquina Colossus.
• Es en este periodo cuando toma contacto con la
  más avanzada tecnología electrónica de la época y
  planea la Máquina de Turing Universal en su forma
  electrónica, de hecho había inventado las
  computadoras digitales.

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• En 1950, Turing publica el artículo Computing
  Machinery and Intelligence en la revista Mind, en
  el que introducía el célebre Test de Turing. Este
  artículo estimuló a los pensadores sobre la
  filosofía e investigación en el campo de la
  Inteligencia Artificial.
• Turing tuvo la visión de una computadora con
  memoria que implementaría las funciones
  aritméticas mediante programación en vez de con
  componentes electrónicos, y que podría desempeñar
  todo tipo de tareas (por ejemplo, manejo de
  archivos, álgebra, jugar ajedrez, encriptamiento,
  etc.) Hacia 1947, concibió la idea de las redes
  de cómputo y el concepto de subrutina y
  biblioteca de software.
• En vez de publicar los principios fundamentales
  de cómputo que había descubierto, se dedicó a
  estudiar fisiología y neurología, y en un reporte
  interno del NLP (Laboratorio Nacional de Física,
  Inglaterra) de esa época, describe las ideas
  básicas de lo que hoy se conoce como una red
  neuronal.

5
Test de Turing

• En 1950, Alan Turing publicó en la revista Mind
  el artículo Computing Machinery and Intelligence
  en el que introducía el concepto de Test de
  Turing.
• Este artículo puede considerarse el precursor de
  muchos de los desarrollos actuales en el campo de
  la Inteligencia Artificial.
• El test consistía en juzgar el nivel de
  inteligencia de una máquina. Se supone un juez
  situado en una habitación, y una máquina y un ser
  humano en otras. El juez debe descubrir cuál es
  el ser humano y cuál es la máquina, estándoles a
  los dos permitidos mentir al contestar por
  escrito las preguntas que el juez les hiciera. La
  tesis de Turing es que si ambos jugadores eran
  suficientemente hábiles, el juez no podría
  distinguir quién era el ser humano y quién la
  máquina.

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Qué es computabilidad?

• Consiste en ser capaz de encontrar la
  representación adecuada para la descripción de un
  problema o fenómeno.
• Para tal representación es necesario
• Un conjunto finito de símbolos.
• Hacer asociaciones entre conceptos y elementos
  del lenguaje (de símbolos)
• Encontrar las combinaciones adecuadas de símbolos
  para evitar ambigüedad.
• Definir una manera de confirmar tal descripción
  para que terceros puedan reproducirla y llegar a
  los mismos resultados.

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El concepto de modelo

• Modelo es una especificación, generalmente en
  términos de un lenguaje matemático, de los pasos
  necesarios para reproducir un subconjunto
  determinado de la realidad. La representación del
  modelo surge siempre a partir de su descripción.
• Es posible siempre pasar de la descripción de un
  modelo a su representación? Todo lo que es
  descriptible puede ser representable?
• Aparentemente la exactitud de la descripción hace
  depender a la exactitud de la representación.
• Existen procesos que pueden ser descritos con
  gran exactitud, pero su representación o modelado
  no es posible.

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Teoría de la computabilidad

• La Teoría de la Computabilidad consiste en
  encontrar maneras de representar descripciones de
  procesos, de tal manera que se pueda asegurar si
  existe o no una representación.
• Se dice que un algoritmo es una manera formal y
  sistemática de representar la descripción de un
  proceso.

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La máquina de Turing

• En el artículo On Computable Numbers, Turing
  construyó un modelo formal de computador, la
  Máquina de Turing, (con esto resolvió el
  entscheidungsproblem (planteado por, David
  Hilbert) y demostró que había problemas tales que
  una máquina no podía resolver. La máquina de
  Turing es el primer modelo teórico de lo que
  luego sería un computador programable. Con el
  tiempo a este tipo de máquina se la conoció como
  máquina de estado finito, debido a que en cada
  etapa de un cálculo, la siguiente acción de la
  máquina se contrastaba con una lista finita de
  instrucciones de estado posibles.
• La máquina no se debe confundir con un
  aparato físico. Se trata más bien de una
  construcción matemática.

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Componentes de la máquina de Turing

• Una cinta de longitud infinita dividida en celdas
  (cada celda puede tener solamente un símbolo
  tomado de un diccionario de símbolos
  predefinido).
• Un control finito que tiene la capacidad de
  examinar el algún símbolo de alguna celda y tomar
  una decisión que depende del símbolo observado y
  del estado en que se encuentre el control finito.
• El control es finito porque puede estar
  solamente en alguno de los estados posibles,
  habiendo solamente un número finito de ellos.
• Se supone un diccionario de símbolos finto.

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S1 S3 S7 S8 S98 S49 S23 S89 S64 S2 S4 S9 S9 ...

Control Finito Control Finito

• Se puede observar la cinta de longitud infinita,
  que en este caso se encuentra en la primera celda
  de la cinta con el símbolo S1.
• Se debe entender a la máquina como un ser vivo
  que reacciona de maneras preestablecidas ante
  estímulos provenientes del exterior (en este caso
  la cinta).
• Un estímulo lo será si ocurren dos sucesos
• Que el control finito se encuentre en cierto
  estado E1
• En la celda actual existe un símbolo S1

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• Entonces la máquina reaccionará a este estímulo
  que consistirá en
• Pasará a un nuevo estado (puede ser el mismo que
  tenía antes).
• Escribirá un nuevo símbolo en el lugar recién
  leído (puede ser el mismo que el anterior).
• Moverá el control finito una celda a la derecha
  (D) o a la izquierda (I).

Estímulos Estímulos Reacciones Reacciones Reacciones

Estado actual Símbolo Actual Estado Nuevo Símbolo Nuevo Movimiento
E1 S1 E2 S4 I
E3 S6 E1 S4 D
... ... ... ... ...
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Ejemplo de una MT

• La máquina tiene 7 estados. Los estados finales
  son E5 y E6, el estado final es E0.
• Maneja 6 símbolos 0,1,X,Y,Z,B
• El objetivo de este problema es darse cuenta de
  que es posible programar la máquina para que se
  comporte de tal forma que pueda lograr algún fin
  previsto. Esto es la representación de algún
  proceso que fue adecuadamente codificado en la
  máquina.
• El resultado final de la máquina será un conjunto
  de celdas que tendrán la solución encontrada.

Estado Actual Simbolo Actual Nuevo Estado Nuevo Símbolo Mov. del control
E0 0 E1 X D
E0 1 E6 1 D
E1 0 E1 0 D
E1 Y E1 Y D
E1 1 E2 Y I
E2 Y E2 Y I
E2 X E3 X D
E2 0 E4 0 I
E3 Y E3 Y D
E3 B E5 Z I
E3 1 E6 1 D
E4 0 E4 0 I
E4 X E0 X D
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Qué pasa en la siguiente cinta
0 0 1 1 B B

Ctrl
Estado Actual Cinta Actual Cinta Modificada
E0 0 0 1 1 B B X 0 1 1 B B
E1 X 0 1 1 B B X 0 1 1 B B
E2

• .

15
Al número le resta 1

• 0 1 1 1 D
• 0 0 2 0 D
• 1 0 2 0 D
• 1 1 1 1 D
• 1 _ 3 _ I
• 2 0 2 0 D
• 2 1 1 1 D
• 2 _ 3 _ I
• 3 0 3 1 I
• 3 1 F 0 I
• Cinta
• 1 0 1 0 _ _

• Complemento a 2
• x _ 0 _ D
• x 1 0 0 D
• x 0 0 1 D
• 0 0 0 1 D
• 0 1 0 0 D
• 0 _ 1 _ I
• 1 0 F 1 D
• 1 1 1 0 I
• 1 _ F 1 D
• Cinta
• _ 1 0 1 0 _ _

16
.

• Cuenta los unos
• I _ 0 _ D
• 0 0 0 0 D
• 0 1 1 0 D
• 0 _ F _ D
• 1 1 1 1 D
• 1 0 1 0 D
• 1 _ 2 _ D
• 2 1 2 1 D
• 2 _ 3 1 I
• 3 1 3 1 I
• 3 _ 4 _ I
• 4 0 4 0 I
• 4 1 4 1 I
• 4 _ 0 _ D
• Cinta ? _ 1 0 1 0 _ _ _ _ _ _

• Complemento a 2
• 0 _ 1 _ D
• 0 0 1 1 D
• 0 1 1 0 D
• 1 1 1 0 D
• 1 0 1 1 D
• 1 _ 2 _ I
• 2 0 F 1 I
• 2 1 2 0 I
• 2 _ F 1 I
• EdoI0
• EdoFF
• Cadenas
• _ 0 1 1 0 1 0 _ _