ACP Analyse en Composantes Principales

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ACP Analyse en Composantes Principales
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Description multidimensionnelle de données
numériques

• Dans la plupart des applications, on travaille
  non pas avec une seule variable, mais avec un
  nombre de variable souvent élevé.
• Létude séparée de chacune de ces variables
  nest pas suffisante.
• -gtIl faut donc analyser les données en tenant
  compte de leur caractère multidimensionnel

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Les méthodes multifactorielles d'Analyse des
Données

• ACP Analyse en Composantes Principales, pour
  les tableaux de variables quantitatives.
• AFTD Analyse Factorielle d'un Tableau de
  Distances, pour les tableaux de distances.
• AFC Analyse Factorielle des Correspondances,
  pour les tableaux de contingence.
• ACM Analyse des Correspondances Multiples, pour
  les tableaux de variables qualitatives.
• STATIS Structuration des Tableaux A Trois
  Indices de la Statistique
• AFM  Analyse Factorielle Multiple
• DACP  Double Analyse en Composante Principale
• La liste n'est pas exhaustive.

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Présentation générale de l'ACP

• L'étude séparée de chacune de ces variables
  donne quelques informations mais est insuffisante
  car elle laisse de côté les liaisons entre elles,
  ce qui est pourtant souvent ce que l'on veut
  étudier.
• C'est le rôle de la statistique
  multifactorielle, que d'analyser les données dans
  leur ensemble, en prenant en compte toutes les
  variables.
• L'Analyse en Composantes Principales est alors
  une bonne méthode pour étudier les données
  multidimensionnelles, lorsque toutes les
  variables observées sont de type numérique, de
  préférence dans les mêmes unités, et que l'on
  veut voir sil y a des liens entre ces variables.

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Le principe dACP

• La mise en oeuvre mathématique de l'ACP peut être
  divisée en 6 étapes principales
• 1. Préparer les données pour le traitement
• 2. Calculer la matrice des coefficients de
  corrélations des variables
• 3. Extraire les valeurs et vecteurs propres de
  cette matrice
• 4. Classer les vecteurs propres dans l'ordre
  décroissant des valeurs propres associées
• 5. Calculer la matrice des composantes principales

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Le principe dACP -

• 1 - Préparer les données pour le traitement
• Les observations de p variables sur n individus
  sont rassemblées dans uns matrice X à n lignes et
  p colonnes.

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Le principe dACP

• Le problème est que si on analyse directement la
  matrice X, les résultats seraient faussés par les
  valeurs relatives des variables (Par exemple si
  les valeurs ont été mesurées dans des unités
  différentes). Préparer les données pour le
  traitement consiste donc à transformer le tableau
  de données pour réduire ces effets.
• On peut alors travailler sur une version
  centrée-réduite Xcr de la matrice X.
• Pour centrer la matrice X, on soustrait à chacune
  des valeurs la moyenne de sa variable.
• Pour réduire la matrice centrée, on divise
  chacune des valeurs par l'écart-type de sa
  variable.

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Le principe dACP

• 5. Matrice des composantes principales
•     La matrice appelée matrice des composantes
  principales est celle qui contient les
  coordonnées des individus dans l'espace formé par
  les composantes principales.
•     Soit CP la matrice des composantes
  principales. On a alors
• CP Xrc . u

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ACP - Avantages

• Simplicité mathématique Sur le plan
  mathématique, l'ACP est donc une méthode simple à
  mettre en oeuvre. Les seuls véritables outils
  mathématiques utilisés dans l'ACP sont le calcul
  des valeurs/vecteurs propres d'une matrice, et
  les changements de base.
• Simplicité des résultats Grâce aux graphiques
  qu'elle fournit, lACP permet d'appréhender une
  grande partie de ses résultats d'un simple coup
  d'oeil.
• Puissance L'ACP a beau être simple. Elle offre,
  en quelques opérations seulement, un résumé et
  une vue complète des relations existant entre les
  variables quantitatives d'une population d'étude.
• Flexibilité L'ACP est une méthode très souple,
  puisqu'elle s'applique sur un ensemble de données
  de contenu et de taille quelconques.

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Projet

• Le but du projet - Compresser une image noire
  blanche
• Le programme prend en entrée une image et à la
  sortie on obtiendra un certain nombre des
  coefficients qui présentent les niveaux de gris
  les plus importants dans l'image.

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Projet - Réalisation

• 0 - Choix du format d'image
• Pour la raison de la simplicité de lecture et
  écriture d'une image, on choisit le format pgm
  qui est représenté par un fichier texte.
• Exemple une image Pgm de taille 4x4
• P2
• 4 4
• 255
• 125 156 100 80
• 16 150 255 20
• 154 123 120 20
• 125 123 255 80

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Projet - Réalisation

• 1 - Preparer les données pour algorithme ACP
• Comme on a vu dans la partie de principe d'ACP,
  ACP prend en entrée un tableau dont chaque ligne
  est un individu et chaque colonne est une
  variable.
• Dans notre cas, le tableau aura une seule ligne
  (cas on a une seule image en entrée) et les
  variables seront les niveau de gris, donc il y a
  256 variables qui correspondent aux 256 niveaux
  de gris d'une image noire et blanche. La valeur
  de chaque variable est donc le nombre de fois que
  le niveau de gris apparaît dans l'image.

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Projet - Réalisation

• 2. Calculer la matrice des coefficients de
  corrélations des variables
• 3. Extraire les valeurs et vecteurs propres de
  cette matrice
• 4. Classer les vecteurs propres dans l'ordre
  décroissant des valeurs propres associées
• 5. Calculer la matrice des composantes principales

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Projet - Réalisation

• Exemple on reprend limage dans l'exemple
  ci-dessous

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Projet - Résultats

• L'image en entrée

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Projet - Résultats

• En fonction de nombre de coefficient, on obtient
  les résultats suivants
• Pour 9 coefficients

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Projet - Résultats

• Pour 20 coefficients

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Projet - Résultats

• Pour 50 coefficients

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Projet - Résultats

• Pour 100 coefficients