Sangakus?

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Sangakus?
Sangakus
Des mathématiques divines?
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• Quest que cest?
• Doù viennent-ils? Petite histoire...
• Des constructions surprenantes et difficiles
• Des sources de problèmes pour les classes
• A la manière de
• Aller plus loin (ou ailleurs) avec linversion.

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Qu est-ce que des sangakus?
Tablettes en bois gravées de problèmes
mathématiques, accrochées en offrande dans les
temples japonais du XVIIième au XIXième siècle.
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Exemples
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Doù viennent-ils? Petite histoire
Durant le XVIe siècle le Japon fut la proie de
guerres féodales. Vers 1543 les portugais
abordent le Japon suivis bientôt par les
espagnols, les hollandais et les anglais. Les
premières églises furent fondées et les Jésuites
convertissent au christianisme. Au début du XVIIe
siècle, les guerres féodales prennent fin et les
Tukugawa , vainqueurs, sinstallent à Edo qui
deviendra Tokyo. Les shoguns, craignant que
lexpansion du christianisme soit un prélude à
une invasion occidentale, interdisent la
prédication de la doctrine chrétienne et la
découverte d une chrétienne dans lentourage du
shogun régnant déclenche la persécution et
lexpulsion des chrétiens. La doctrine chrétienne
est alors jugée incompatible avec lordre
intérieur.
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Petite histoire suite
Les occidentaux désertent peu à peu le Japon et
le commerce avec l extérieur périclite. En
1635,le shogun interdit à tout Japonais de se
rendre à létranger, sous peine de mort Le japon
se referme sur lui même. Le shintoïsme est alors
religion officielle au Japon (jusquen 1945).
Le shintoïsme est un polythéisme qui admet
 huit cent myriades de Dieu , les kamis. La
période disolement du Japon prendra fin en 1854
avec l arrivée du capitaine Perry à la tête du
flotte de guerre américaine pour que des traités
commerciaux soient signés.
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Petite histoire (suite)
Cette période d isolement fût finalement une
période florissante pour les arts et les
mathématiques. Auparavant, les mathématiques
sétait peu développées au Japon. Dès le VIeme
siècle , les mathématiques chinoises sétaient
introduites au Japon et au VIIIeme siècle la
plupart des résultats chinois darithmétique,
dalgèbre et de géométrie, le théorème de
Pythagore , les nombres relatifs ... étaient
connus des mathématiciens japonais.
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Et les mathématiques...
Mais le véritable développement des mathématiques
au Japon (wasam) commence au début du XVIIeme
siècle avec Shigeyoshi Mori , puis avec son élève
Mitsuyoshi Yoshida (1598-1672). Tous deux
traitent essentiellement de calcul et de logique.
Quand le shogunat des Tokugawa séffondre en
1867, le gouvernement fait adopter les
mathématiques occidentales ou yosam. Les
mathématiques japonaises deviennent alors
anecdotiques.
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Et les sangakus...
Cest pendant cette période de prospérité des
mathématiques que se développa la pratique des
sangakus, tablettes mathématiques , la plupart
des gens étant attirés par la beauté de la
géométrie. Certaines de ces tablettes sont
dailleurs de véritables objets dart. On
trouvait déjà depuis plusieurs siècles des
gravures sur bois dans les sites religieux
(shintoïstes ou bouddhistes), mais cétaient
surtout des représentations de chevaux les
fidèles trop pauvres ne pouvant en offrir des
vivants aux dieux . Puis on a vu apparaître vers
le milieu du XVIIeme siècle les sangakus. Ils
sont dorigines diverses, faits par des enfants
ou des adultes, des samouraïs ou des fermiers,
des hommes ou des femmes. Certains traitent donc
de problèmes de géométrie élémentaire, dautres
utilisent les théories des mathématiciens de
lépoque et on trouve ainsi des résultats qui
anticipent des théorèmes découverts
ultérieurement en Occident .
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Où les trouve-t-on?
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Des constructions surprenantes et difficiles
La plupart des sangakus traitent de la géométrie
mais les problèmes traités sont bien différents
de ceux traités en occident les cercles, les
ellipses, les inscriptions de figures à
lintérieur dautres figures sont
fréquents. Certains problèmes sont élémentaires
dautres nécessitent des techniques avancées de
calcul ou de géométrie affine et certains
problèmes provenant dune élite, utilisent les
théories des mathématiciens japonais de lépoque
et anticipent des résultats découverts
ultérieurement en occident. La plupart des
tablettes sont livrées sans démonstrations..
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Théorème de Casey
Déterminer la relation qui unit les rayons et le
côté du carré ? (sangaku trouvé en 1874 à Gumma)
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Problème de Malfatti
Inscrire dans un triangle trois cercles tangents
entre eux deux à deux et tangents chacun à deux
côtés du triangle
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Cercles inscrits tangents
Quel est le rayon du n-ième petit cercle en
fonction du rayon du grand cercle ?
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Théorème des six sphères de Soddy
Quel est le nombre de petites sphères que lon
peut tracer? Problème mentionné sur une tablette
de1822
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Exemples simples
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Dautres exemples
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Troisième exemple
Relation entre les rayons des trois cercles
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A la manière de
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A vous
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Bibliographie et sites

• Tangente n 53
• Pour la Science N249 juillet 1998

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