CONCEPTOS DE CONFIABILIDAD

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CONCEPTOS DE CONFIABILIDAD
2
Objetivo Presentar los conceptos indispensables
para entender la confiabilidad

• Propósitos
• presentar el concepto de tiempo de vida y falla
• exponer el concepto de distribución de
  probabilidad
• definir confiabilidad
• definir MTBF - MTTF
• explicar el tiempo de misión
• visualizar la velocidad de falla gráficamente
• presentar los elementos de estadística
  descriptiva
• obtener una distribución empíricamente

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POR QUÉ CONFIABILIDAD?

• El cliente es más crítico y más consciente de las
  características del producto
• Las compañías que sobreviven en los negocios son
  aquellas capaces de controlar la confiabilidad de
  sus productos
• Los costos de la mala calidad de productos sin
  confiabilidad pueden ser muy altos

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CONFIABILIDAD PARA QUÉ?

• Cuál es la vida promedio del producto?
• Cuántas fallas espera el próximo año?
• Cuánto nos costará desarrollar y dar servicio a
  este producto?
• Cómo podemos hacerlo más efectivo en costo?

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TIEMPO DE VIDA Y FALLA

• La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida
  de un producto. Durante este período el cliente
  obtiene las características ofrecidas
  intencionalmente.
• Cuando cesa la capacidad del producto para
  entregar la característica ofrecida al cliente,
  se considera que ha habido una Falla del
  producto. Esto representa el término del tiempo
  de vida.

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MODELOS DE TIEMPO DE VIDA

• Para modelar el tiempo de vida se asigna una
  medida La frecuencia relativa o la probabilidad
  con que ocurrirá ese tiempo.
• La regla que asigna valores de frecuencia
  relativa o probabilidades a los valores de una
  variable se llama Distribución de Probabilidad

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

• Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)
• Predice el comportamiento de cualquier situación
  probabilística
• Probabilidad de t de caer en algún punto del
  rango t1 a t2

El área total bajo la curva siempre es 1 o 100
t1
t2
8
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Histograma
PDF Weibull
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DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD

• Si acumulamos las probabilidades desde el inicio
  hasta un tiempo t1, obtenemos la Distribución de
  Probabilidad Acumulada CDF ó F(t).
• F(t1) P(t ? t1)

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DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD

• Función de Distribución Acumulada
• La Probabilidad de una variable es menor o igual
  a un valor específico, e.g., t1
• Cuando la variable es tiempo de falla, esto
  representa la no confiabilidad o la probabilidad
  de que una unidad falle antes del tiempo t1

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DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD
Función de Densidad de Probabilidad
Función de Distribución Acumulada
1
No confiabilidad, F(t)
0
t1
t1
0
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DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD

• Confiabilidad es la probabilidad de que un
  sistema ejecute su función de intención sin
  fallar para un intervalo específico, bajo
  condiciones establecidas.
• Se define como la Probabilidad de Supervivencia
  en un determinado tiempo.
• R(t) 1 - F(t)
• Algunos autores presentan como sinónimos
  Supervivencia y Confiabilidad

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DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD
Función de Densidad de Probabilidad
Función de Confiabilidad
1
0
0
0
t1
t1
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MTBF - MTTF

• Si el tiempo de vida para una característica de
  calidad es una variable aleatoria y conocemos su
  distribución de probabilidad , podemos calcular
  una medida de localización, por ejemplo el valor
  de su media.
• El valor medio del Tiempo de Vida se denomina
  Tiempo Promedio entre Fallas, MTBF es el acrónimo
  en Inglés, y se refiere a una medición básica de
  confiabilidad para artículos que se pueden
  reparar.
• MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas,
  esto es para artículos que no pueden ser
  reparados.

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MTBF - MTTF
98.932
La media estimada del tiempo de vida está marcada
con la línea punteada es de 98.932, se obtuvo
calculando el promedio de los tiempos
La media calculada para esta distribución Weibull
es función de sus parámetros h2 y b2
1.77245
16
TIEMPO DE MISIÓN

• Tiempo de Misión se refiere al tiempo intentado
  durante el cual el producto entrega la
  característica de calidad satisfactoriamente.
• El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y
  sirve para establecer una meta de logro por parte
  del producto en cuanto a sus características.

Tiempo de Misión
Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de
misión)
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VELOCIDAD DE FALLA

• La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también
  Tasa de Falla es la fracción de fallas probables
  entre la proporción de supervivientes al tiempo
  t. Cuando se conoce la Distribución de
  Probabilidad de t, se calcula a partir de
• h(t) PDF / R(t)
• Es una medida de la mortalidad entre los
  artículos que quedan.

La tasa de falla representa la propensión a la
falla de un producto como una función de su edad
o tiempo en operación. La tasa de falla en
cualquier tiempo dado es la proporción que caerá
en la siguiente unidad de tiempo respecto a
aquellas unidades que han sobrevivido a este
tiempo.
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TASA DE FALLA O TASA DE RIESGO
Por ejemplo, 1000 motores eléctricos se ponen a
prueba en el tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos
están trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos
fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50
fallaron en las siguientes horas como lo ilustra
la figura.
No. de sobrevivientes
1000 400
350 300
tiempo
0 2000
2100 2200
horas
La tasa de falla para los motores a las 2000
horas es
h(2000) (número de fallas por hora posteriores
a las 2000 horas)
número de sobrevivientes a las 2000 horas
(50/100)/400 0.00125 unidades/hora
Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas
es h(2100) (50/100)/350 0.0014 unidades/hora
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TINA DE BAÑO

• Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una
  población a través del tiempo se observa un
  comportamiento descrito como la Tina de baño

h(t)
Fallas infantiles
Fallas por deterioro
Fallas constantes
t
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ESTADISTICA DESCRIPTIVA

• La Estadística Descriptiva se orienta a
  proporcionar una descripción útil, clara e
  informativa de una masa de datos numéricos.
• Esto se hace al considerar tópicos como
• la colección y procesamiento de datos originales,
  
• presentación tabular y gráfica,
• fuentes de datos,
• distribución de frecuencias,
• medidas de tendencia central y
• medidas de dispersión.

Un histograma es una descripción útil, clara e
informativa de la distribución de frecuencias
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ESTADISTICOS
Un estadístico es cualquier función de las
observaciones en una muestra aleatoria, que no
dependa de parámetros desconocidos
La media muestral, la varianza muestral, la
desviación estándar muestral y los coeficientes
de variación, sesgo y curtosis son algunos de los
estadísticos más comunes.
Obsérvese que como un estadístico es una función
de los datos provenientes de una muestra
aleatoria, es a su vez una variable aleatoria.
Es decir, si se obtuvieran dos muestras
aleatorias diferentes provenientes de la misma
población y se calcularan las medias muestrales,
podría esperarse que los valores obtenidos fueran
diferentes.
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Estadística Descriptiva
Medidas Descriptivas
Descripción
POBLACION
MUESTRA
Otras medidas son la mediana y la moda, la media
tiene propiedades estadísticas mejores
Medida de tendencia central
MEDIA
Medida de dispersión
la desviación estándar es la raíz cuadrada de la
varianza
VARIANZA
La Normal tiene un rango 0.05ltCVlt0.25 La
exponencial CV 1
Medida del grado de variabilidad
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV S
x

• a3lt0 cola izquierda
• a30 simétrica (v.gr.Normal)
• a3gt0 cola derecha

COEFICIENTE DE SESGO
Medida de Simetría
Medida de Agudeza
COEFICIENTE DE CURTOSIS

• a4lt0 - aguda que la Normal
• a40 aguda como Normal
• a4gt0 aguda que la Normal

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Estadística Descriptiva

• Porqué son importantes los estadísticos?
• Describen completamente los datos
• Coeficiente de Variación CV
• comúnmente utilizado para describir propiedades
  mecánicas de los materiales.
• aproximadamente 15 para fractura
• aproximadamente 7 para resistencia a la cedencia
  
• ayudan a determinar la distribución apropiada
• la distribución normal tiene un rango 0.05 lt CV lt
  0.25
• Exponencial CV 1

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Estadística Descriptiva

• Porqué son importantes los estadísticos?
• Coeficiente de sesgo
• medida de simetría
• ?3 lt 0 distribución sesgada a la izquierda(tiene
  una cola a la izquierda)
• ?3 0 distribución simétrica
• Distribución Normal ?3 0
• ?3 gt 0 distribución sesgada a la derecha (tiene
  una cola a la derecha
• Coeficiente de curtosis
• medida de agudeza (puntiaguda)
• ?4 lt 3 distribución menos aguda que la Normal
• ?4 3 distribución Normal
• ?4 gt 3 distribución más aguda que la Normal

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Estadística Descriptiva

• Porqué son importantes los estadísticos
• los tres ayudan a determinar los parámetros de la
  distribución
• CV
• La Exponencial tiene un CV constante
• El parámetro de forma de la distribución Weibull
  es bien estimado con el coeficiente de variación
  CV
• coeficientes de sesgo y curtosis
• la relación entre ellos ayuda a determinar la
  distribución que mejor se ajusta

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EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
l
-
l


t
)
(

PDF
e
t
f
Distribución Exponencial
l
-
-


t
1
)
(


CDF
e
t
F
l


-
t
)
(

DAD
CONFIABILI
e
t
R
l
h


)
(
FALLA

DE
TASA
t
1

MEDIA
l
?? 0.003, MEDIA 333
?? 0.002, MEDIA 500
?? 0.001, MEDIA 1,000
27
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
b
ö
æ
-
b
1
t
ö
æ
b

ç
-
t

ç
h

ç


Distribución Weibull 2 parámetros
ø
è
)
(

PDF
e
t
f

ç
h
h
ø
è
b
ö
æ
t

ç
-

ç
h
-


ø
è
1
)
(


CDF
e
t
F
b
ö
æ
t

ç
-

ç
h


ø
è
)
(

DAD
CONFIABILI
e
t
R
-
b
1
ö
æ
b
t

ç


h
)
(
FALLA

DE
TASA
t

ç
h
h
ø
è
ö
æ
1

ç

G

h
1
MEDIA

ç
b
ø
è
28
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Abra el archivo Distribución.xls
Señale la columna de tiempo y pongala en orden
ascendente
Veamos cómo se construyen las curvas de
distribución usando el EXCEL
29
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Agregue un renglón inicial con cero y una columna
con un contador que inicie en cero
Obtenga R(t) por la diferencia R(t) 1-F(t)
Agregue una columna donde estime F(t) usando la
fórmula de Kaplan Meier ( F(t) i/N)
Note que puede estimar la Confiabilidad de 90
para un tiempo de 35.389
La fórmula de Kaplan Meier se recomienda para
muestras grandes
30
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Se estima la tasa de falla para los tiempos
observados, con el inverso del número de
supervivientes 1/(N1-i)
Por último se estima el intervalo de confianza
normal al 95 para la confiabilidad
31
EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN
Gráficas de Confiabilidad R(t) y de la Función
Acumulada F(t) generadas en EXCEL
Recuerde que R(t) 1- F(t)
32
EJEMPLO DE DISTRIBUCION

• Use el archivo distribución.mtw

Ahora en Minitab...
33
Cálculo de R(t) para un tiempo
Distribution Analysis Variable tiempo
Censoring Information
Count Uncensored value
60 Nonparametric Estimates Characteristics of
Variable Standard 95.0
Normal CI Mean Error lower
upper 98.9320 8.4776 82.3162
115.5478 Median 75.8120 IQR 83.4620
Q1 49.5260 Q3 132.9880 Kaplan-Meier
Estimates Number Number
Survival Standard 95.0 Normal CI
Time at Risk Failed Probability Error
Lower Upper 9.5200 60
1 0.9833 0.0165 0.9509 1.0000
27.9780 59 1 0.9667
0.0232 0.9212 1.0000 28.8550 58
1 0.9500 0.0281 0.8949
1.0000 29.3740 57 1
0.9333 0.0322 0.8702 0.9965 34.8990
56 1 0.9167 0.0357
0.8467 0.9866 35.3890 55 1
0.9000 0.0387 0.8241 0.9759
39.6550 54 1 0.8833
0.0414 0.8021 0.9646 43.4610 53
1 0.8667 0.0439 0.7807
0.9527 43.8810 52 1
0.8500 0.0461 0.7597 0.9403 45.3520
51 1 0.8333 0.0481
0.7390 0.9276 45.7350 50 1
0.8167 0.0500 0.7188 0.9146
46.0760 49 1 0.8000
0.0516 0.6988 0.9012 46.6130 48
1 0.7833 0.0532 0.6791
0.8876 49.0890 47 1
0.7667 0.0546 0.6596 0.8737 49.5260
46 1 0.7500 0.0559
0.6404 0.8596 49.6190 45 1
0.7333 0.0571 0.6214 0.8452
52.3110 44 1 0.7167
0.0582 0.6026 0.8307
Para un tiempo de 35.389 la confiabilidad es del
90
34
INTERPRETACION DE RESULTADOS
Observamos las gráficas de las distribuciones
empíricas de riesgo y confiabilidad
Las asignaciones de probabilidades se basan sólo
en las frecuencias observadas, y no suponen
ningún modelo especial.
35
PUNTOS CLAVE

• tiempo de vida y falla
• distribución de probabilidad
• confiabilidad
• MTBF - MTTF
• tiempo de misión
• velocidad de falla
• estadística descriptiva
• distribución empírica

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REFERENCIAS

• Statistical Methods for Reliability Data, Meeker
  and Escobar, 1998
• Handbook of Reliability Engineering and
  Management by Ireson, Coombs, and Moss, McGraw
  Hill, 1990
• Engineering Statistics Handbook, capitulo 8, en
  http//www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm
• How To Plan An Accelerated Life Test -- Some
  Practical Guidelines., Meeker and Hahn, ASQ
• Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y
  2, Dimitri Kececioglu, Prentice Hall, 1991
• Electronic Component Reliability, Finn Jensen,
  Wiley, 1998
• Reliability Review, ASQ
• Brian Henningers accelerated test project
• Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y
  WEIBULL 5.0 (Reliasoft)
• Otras fuentes - Mechanical Prediction Library,
  Reliability Tips, Brian Henninger, Doug Kemp, Ken
  Zagray, Bill Wunderlin, Alex Cambon, University
  of Maryland Accelerated Testing Course - Modarres