Dane INFORMACYJNE

1
(No Transcript)
2
Dane INFORMACYJNE

• Nazwy szkól Gimnazjum im. Janusza Korczaka w
  Chojnie, ID grupy 98/2_MF_G1
• Gimnazjum im.
  Noblistów Polskich w Kleczewie, ID grupy
  98/54_MF_G2
• , Opiekunowie Malgorzata Madejczyk, Maria
  Kosinska
• Kompetencja Matematyczno fizyczna
• Temat projektowy MGP TP049 Tajemnice
  tabliczki mnozenia
• Semestr IV i V rok szkolny 2011/2012

3
Tabliczka mnozenia

• Tabliczka Mnozenia- tabelaryczny sposób
  zestawienia wyników mnozenia przez siebie liczb
  naturalnych. Najczesciej w formie kwadratowej
  tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i
  kolejne kolumny odpowiadaja kolejnym liczbom
  mnozonym przez siebie, a gdzie na
  skrzyzowaniuwierszy i kolumn znajduja sie wyniki
  mnozenia. 

Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010 Tabliczka mnozenia 1010
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4

• Najczesciej spotykana jest tabliczka "do stu", o
  dziesieciu kolumnach i dziesieciu wierszach, w
  której na skrzyzowaniu dziesiatego wiersza i
  dziesiatej kolumny znajduje sie wynik mnozenia
  1010100,
• Spotykane sa takze tabliczki o wymiarach
  wiekszych (np. 1212 lub 2020), a takze
  zestawienia wyników mnozen liczb calkowitych w
  formie innej, niz kwadratowa macierz, ale na
  przyklad w formie zestawienia,
• Za pomoca tabliczki mnozenia mozna przedstawiac
  wyniki dzialan w dowolnych skonczonych strukturach
  algebraicznych, np. tabliczka mnozenia w
  pierscieniu

Tabliczka mnozenia w pierscieniu Z3 Tabliczka mnozenia w pierscieniu Z3 Tabliczka mnozenia w pierscieniu Z3 Tabliczka mnozenia w pierscieniu Z3
0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
5

Trójkatna tabliczka mnozenia
Na poczatku XX wieku stosowano inna trójkatna
tabliczke mnozenia. Dzis jest ona bardzo
popularna w Wielkiej Brytanii. Aby odczytac wynik
trzeba wlozyc olówek w dziurke przy interesujacym
nas dzialaniu i obrócic kartonik.
6

MNOZENIE NA PALCACH NA PODSTAWIE TABLICZKI
MNOZENIA

• Opisany sposób stosujemy dla iloczynów równych
  lub wiekszych od 36.

1.Opis tej metodyPalce obu rak numerujemy
nastepujaco kciuk 6wskazujacy-7srodkowy-
8serdeczny- 9maly- 10 2.Nastepnym etapem jest
zapisywanie i odczytywanie iloczynu dwóch liczb.
Stykajac palce, np. wskazujacy jednej reki z
serdecznym drugiej reki zapisujemy iloczyn 7x8
lub 8x7, w zaleznosci którym palcem wskazalismy
liczbe. 
7

• 3. Algorytm jest prosty. Wskazano palcami iloczyn
  7x8. Otóz palce wyprostowane, to pelne
  dziesiatki jest ich 5, a wiec odczytujemy 5x10
  to liczba 50.Palce zgiete, to jednosci. Jest
  ich reka lewa - 2, a prawa - 3. Mnozymy
  te liczby przez siebie 2x36 i wynik ten
  dodajemy do 50. Tak wiec 7x8 50 6 56

• Ten etap opanowania algorytmu nie jest trudny,
  ale dla uczniów ciekawy. Kilkuminutowe cwiczenia
  prowadza do szybkiego opanowania tej sztuki.

8

• Ponizej podane sa przyklady zapisu niektórych
  iloczynów
• Otóz palce wyprostowane, to pelne dziesiatki
  jest ich 4, a wiec odczytujemy 4x10
  to liczba 40.Palce zgiete, to jednosci. Jest
  ich reka lewa - 4, a prawa - 2. Mnozymy
  te liczby przez siebie 4x28 i wynik ten
  dodajemy do 40. Tak wiec 6x8 40 8 48Otóz
  palce wyprostowane, to pelne dziesiatki jest
  ich 5, a wiec odczytujemy 5x10
  to liczba 50.Palce zgiete, to jednosci. Jest
  ich reka lewa - 4, a prawa -1. Mnozymy te liczby
  przez siebie 4x14 i wynik ten dodajemy do
  50.Tak wiec 6x9 50 4 54

9
Inny sposób mnozenia na palcach
Oto sposób mnozenia "na palcach" liczb wiekszych
od 5. Chcac skorzystac z tej metody, musisz
dobrze juz mnozyc do 25. Rysunek przedstawia
postepowanie przy mnozeniu (68)
Na lewej dloni wyprostowany jest jeden palec, a
cztery pozostale sa zgiete. Na prawej dloni trzy
palce sa wyprostowane, a dwa zgiete. 6 5 1 (1
palec - dlon lewa)8 5 3 (3 palce - dlon
prawa). Aby odczytac wynik mnozenia z dloni,
dodajemy do sumy palców wyprostowanych,
pomnozonej przez 10, iloczyn palców zgietych,
tzn. (1 3)10 42 40 8 48
10
TAJEMNICE TABLICZKI MNOZENIA

• CIEKAWOSTKA NR.1

Dodajac dwie liczby sasiadujace z wybrana liczba
z lewej i z prawej strony. Otrzymamy wynik,
który podzielony przez 2 da nam wybrana
wczesniej liczbe 30 40 7070 2 35 Dla
kilku innych wybranych z planszy liczb bedzie tak
samo.
42 5698 98249
4563108 108254
11

• Taka sama zaleznosc mozemy zauwazyc dodajac
  liczby sasiadujace z wybrana z góry i z dolu

152136 36218
80100180 180290
244064 64232
141832 32216
6480144 144272
12

• Ciekawostka nr.2

• Wybierajac z tabliczki kwadrat 22, np. zlozony z
  liczb 6, 9, 8,12 i mnozac "przeciwlegle" liczby
  otrzymamy taki sam wynik
• 6 12 729 8 72
• Tak samo bedzie dla innych kwadratów tej
  wielkosci.

42x56 2352
36x50 1800
40x45 1800
49x48 2352
13

• Ciekawostka nr.3

Wybierajac z tabliczki mnozenia liczby tworzace
kwadrat o wymiarach 4 4, okazuje sie, ze
dodajac cztery narozne liczby otrzymamy taki sam
wynik jak dodajac liczby ze srodka tego kwadratu
16282849 121 30363025121
14
497070100289 64727281289
14203550119 24273236119
15

• Ciekawostka nr.4
• Wybierajac z tabliczki kwadrat o wymiarach 3x3 i
  mnozac liczby znajdujace sie w naroznikach na
  skos otrzymamy takie same wyniki

30x24 720 18x40 720
16x36 576 24x24 576
16

• Ciekawostka nr.5

• Gdy dodamy dwie pierwsze liczby w wierszach
  otrzymamy czwarta liczbe znajdujaca sie w
  interesujacym nas wierszu liczb.(tylko w liczbach
  do 50 5x10)

81220 101525 121830 142135
17
Uklad kolejnych liczb w danym wierszu jest taki
sam jak uklad kolejnych liczb w odpowiedniej
kolumnie
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
18
Suma liczb danego wiersza jest równa sumie
liczb odpowiedniej kolumny

  ?110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20   ?110
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30              
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40              
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50              
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60              
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70              
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80              
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90              
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100              
19
CIEKAWOSTKI- CD
20

• Trójkat Pascala

Trójkat Pascala  trójkatna tablica liczb
Uwaza sie, ze trójkat ten zostal odkryty na
przelomie XI i XII w. przez Chinczyków i
niezaleznie przez Omara Chajjama XI. W XVII w.
matematyk francuski Blaise Pascal polaczyl studia
nad prawdopodobienstwem z tym trójkatem,
osiagajac tak znakomite wyniki, ze trójkat ten
nazwany zostal trójkatem Pascala.

• Na bokach trójkata znajduja sie liczby 1, a
  pozostale powstaja jako suma dwóch bezposrednio
  znajdujacych sie nad nia. Liczby stojace w n-tym
  wierszu to kolejne wspólczynniki dwumianu
  Newtona. . 

21
11 2
12 3
13 4
33 6
22
Niesamowite wlasnosci trójkata Pascala

• Na skrajnych bocznych (zerowy) rzedach trójkata
  sa jedynki.
• W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzedzie
  sa kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
• W drugim rzedzie róznice miedzy sasiednimi
  liczbami sa kolejnymi liczbami naturalnymi (sa
  to liczby trójkatne). Liczby trójkatne podaja
  liczbe okregów ulozonych w ksztalt trójkata (1,
  3, 6, 10, ...).
• W trzecim liczby piramidalne, podaja liczbe kulek
  ulozonych czworoscian foremny (1, 4, 10, 20, 35)
• W czwartej liczbe kul w "czworoscianie"
  w przestrzeni czterowymiarowej.
• Uogólniajac, w n tym rzedzie bocznym znajduja sie
  liczby n- komórkowe.
• Wracajac do rzedu zerowego i uogólniajac mozemy
  policzyc liczbe elementów trójkacie w przestrzeni
  jedno- i zero- wymiarowej.
• Kazdy element trójkata zawiera liczbe róznych
  dróg, jakimi mozna do niego dotrzec z wierzcholka
  poruszajac sie do sasiednich elementów w lewo w
  dól oraz w prawo w dól.
• Po usunieciu z trójkata wszystkich liczb
  parzystych pozostale liczby nieparzyste ukladaja
  sie w geometryczny wzór trójkata Sierpinskiego

23
(No Transcript)
24

• Najbardziej znana z cech trójkata Pascala
• Sumy liczb w poziomych rzedach to kolejne potegi
  liczby 2.

25
Przekatne trójkata pascala- ciekawostki

• 1.Pierwsza przekatna to oczywiscie same
  jedynki, nastepna przekatna ma liczby
  naturalne, trzecia przekatna utworzona zostala
  z liczb trójkatnych, tj. kolejnosc stanowi wzór
  punktów tworzacych trójkat. Dodajac kolejny
  wiersz z kropkami i sumujac wszystkie punkty,
  mozna znalezc nastepna liczbe w sekwencji 

26
Blaise Pascal
27

• Blaise Pascal, wym. bl?z paskal, pol. Blazej
  Pascal (ur. 19 czerwca 1623 w Clermont-Ferrand,
  zm. 19 sierpnia 1662 w Paryzu) francuski
  matematyk, fizyk i filozof religii. Byl niezwykle
  uzdolnionym dzieckiem, wyedukowanym przez ojca.
  Jego wczesne dziela powstawaly spontanicznie,
  lecz w istotny sposób przyczynily sie do rozwoju
  nauki. Mial on znaczacy wklad w konstrukcje
  mechanicznych kalkulatorów i mechanike plynów
  sprecyzowal takze pojecia cisnienia i prózni,
  uogólniajac prace Torricellego. W swoich
  opracowaniach bronil metody naukowej.
• Pascal byl przede wszystkim matematykiem, wniósl
  znaczacy wklad w powstanie i rozwój dwóch nowych
  dzialów wiedzy. Juz jako szesnastolatek napisal
  prace obejmujaca zagadnienia geometrii rzutowej,
  pózniej zas wraz z Pierre'em de Fermatem rozwazal
  kwestie teorii prawdopodobienstwa, wywierajac tym
  samym niemaly wplyw na rozwój nowoczesnej
  ekonomii i nauk spolecznych.
• W nastepstwie doswiadczonego przezen w roku 1654
  mistycznego przezycia porzucil dzialalnosc
  naukowa, poswiecajac sie filozofii i teologii. Z
  tego okresu jego zycia pochodza dwa najbardziej
  znane dziela Pascala Prowincjalki i Mysli. Przez
  cale zycie borykal sie z problemami zdrowotnymi
  zmarl w wieku 39 lat.

28

•  2. Czwarta przekatna  ma liczby
  czworoscienne  Czworoscian ma piekna
  i unikalna wlasciwosc wszystkie
  cztery wierzcholki sa polozone w takiej samej
  odleglosci od siebie. Jest to jedyna bryla
  Platona (platonska) niezawierajaca równoleglych
  plaszczyzn.
• Interesujace fakty- Posiada 4 plaszczyzny-
  Kazda plaszczyzna ma 3 krawedzie i stanowi
  trójkat równoboczny- Posiada 6 krawedzi- Ma 4
  wierzcholki, gdzie spotykaja sie 3 krawedzie

29

• Liczbe czworoscienna mozna zrozumiec,  jezeli
  wyobrazimy sobie stos kul w ksztalcie
  czworoscianu. Policzyc trzeba, ile kul potrzeba
  do zbudowania stosu o danej wysokosci. 
•  - Dla wysokosci 1 potrzebna jest tylko jedna
  kula.- Dla wysokosci 2 potrzebne sa 4 kule (1
  na wierzchu i 3 na spodzie).- Dla wysokosci 3
  potrzeba 10 kul.- Dla wysokosci 4 potrzeba 20
  kul.

30
Liczby parzyste i nieparzyste w trójkacie pascala

• Jezeli oznaczymy oddzielnie liczby parzyste
  i nieparzyste, to otrzymamy uklad podobny
  do trójkata Sierpinskiego

• Trójkat Sierpinskiego, czyli niekonczacy sie
  uklad trójkatów

31
Ciag Fibonacciego

•      Ciag mozna otrzymac, idac w góre i na bok
  i dodajac liczby, tak jak pokazano to
  na ilustracji otrzymamy ciag Fibonacciego przez
  dodanie do siebie dwóch poprzednich liczb.

32
Leonardo Fibonacci

• Leonardo Fibonacci , matematyk wloski, w swojej
  ksiazce Liber abaci zajal sie problemem
  dotyczacym rozmnazania sie stada królików.
• Zasady tego eksperymentu mentalnego sa proste
  zaczynamy od jednej pary, kazda samica królika
  wydaje na swiat potomstwo w miesiac po kopulacji
  konkretnie jednego samca i jedna samice. W
  miesiac po urodzeniu królik moze przystapic do
  reprodukcji.
• Jak w takiej sytuacji bedzie wygladal rozwój
  naszej farmy, ile królików bedzie liczyla po
  jednym roku? Przy koncu ostatniego miesiaca
  mozemy sie spodziewac krótkiego sparingu w
  pierwszej parze królików. Pod koniec drugiego
  miesiaca samica urodzi pare mlodych tak wiec na
  farmie beda juz dwie pary. W trzecim miesiacu
  bedziemy mieli juz trzy pary, gdyz pierwsza
  samica wyda na swiat kolejne potomstwo, a
  urodzone wczesniej przystapi do kopulacji itd. W
  latwy sposób mozna obliczyc, ze liczebnosci w
  kolejnych miesiacach beda wynosic
  1,1,2,3,5,8,13,21,34...
• Kolejne jego elementy stanowia sume dwóch
  wczesniejszych np. 21138.
• Szereg liczb obrazujacy m.in. rozród królików
  nosi nazwe Ciagu Fibonacciego.
• Stosunek fi ma scisly zwiazek z ciagiem
  Fibonacciego. Stosunek dwóch kolejnych liczb
  wyrazów w ciagu w miare wzrastania jest coraz
  blizszy wartosci fi.

33
kombinacje

• Kombinacje
• Trójkat takze pokazuje, jak wiele kombinacji
  obiektów jest mozliwych.Przyklad Mamy 16 kul.
  Na ile róznych sposobów mozna wybrac 3 z nich
  (pomijajac, w jakim porzadku sie je
  wybiera)?Odpowiedz idz do rzedu 16 (górny rzad
  to 0), a nastepnie wzdluz 3. miejsca w bok
  i wartosc tam zamieszczona jest odpowiedzia
  560. Oto fragment rzedu 16
• 1      14      91      364       1     
  15      105     455     1365     1     16    
  120     560     1820     4368    

34
wielomiany

• Trójkat Pascala moze takze wskazac wspólczynniki
  w dwumianowym rozwinieciu

35

• Milosnicy tabliczki mnozenia spotykaja sie co
  roku na Mistrzostwach Polski w tabliczce mnozenia

Historia  Pierwsze Mistrzostwa odbyly sie w 1998
roku w Szczecinku (zachodniopomorskie) i tu
organizowano je najczesciej, choc goscily tez w
róznych latach w Kolobrzegu, Wroclawiu i
Braniewie. Co roku odbywaja sie w weekend na
przelomie maja i czerwca. Liczba uczestników z
230 w I edycji wzrosla do prawie 500 w rekordowej
VI edycji w 2003 roku, a liczba szkól z 30 do
prawie 60.  Skrót regulaminu  W zawodach
startuja uczniowie z klas II-IV szkól
podstawowych. Dziewczeta i chlopcy z kazdego
rocznika klasyfikowani sa osobno. Równolegle
prowadzone sa rozgrywki dla opiekunów
(nauczycieli i rodziców) oraz dla
dziennikarzy. Zestaw gier co roku nieznacznie sie
zmienia. Na pamiatke kazdy z uczestników moze
zabrac specjalna koszulke z logo zawodów, numer
startowy i swoja karte startowa. Najlepsi
otrzymuja nagrody rzeczowe. 
36

• Przykladowe zadania

Przykladowe zadania  PRYMUSNa stanowisku leza
zakryte zestawy kart z dzialaniami (3 stosy po 3
karty). Zawodnik oblicza sume iloczynów w stosie,
zapisuje na kartce i zakrywa karty z tego stosu.
To samo robi kolejno z pozostalymi stosami. Na
koniec oblicza pisemnie laczna sume zapisanych
wyników. Po zakonczeniu zadania podnosi reke, co
powoduje zatrzymanie czasu. Za kazdy blad i za
kazda dodatkowo zapisana liczbe dolicza sie 30
sekund karnych. SZERYFPrzy kazdym stanowisku
gra 4 graczy.  Wszyscy opieraja rece na stole.
Prowadzacy wyklada kolejno na stól karty z
wynikami lub dzialaniami z zakresu tabliczki
mnozenia do 100 i jednoczesnie podaje pewna
liczbe. Jesli liczba z karty jest podzielna przez
wymieniona, gracze przykrywaja karte reka. Osoba,
której reka jest na spodzie, otrzymuje 1 pkt.
Jesli gracz oderwie reke od stolu w wypadku, gdy
wylozona liczba nie ma zadanej podzielnosci,
otrzymuje (-1) pkt. Po zakonczeniu rozgrywki
wynik zawodnika zostaje wpisany do karty
startowej.
37
EKSPRESW sali przygotowane sa stanowiska do gry
dla 4 druzyn. Stanowisko sklada sie z dwóch lawek
znajdujacych sie w pewnej odleglosci. Na
pierwszej znajduje sie stos potasowanych kart, a
na drugiej pudelko z przegródkami. Druzyny
ustawiaja sie na linii startu. Konkurencja ma
forme sztafety. Nastepny zawodnik moze ruszyc ze
startu, gdy zostanie klepniety przez
poprzedniego. Zawodnik, który odbyl swoja
kolejke, musi ustawic sie na koncu. Po
wystartowaniu zawodnik podbiega do pierwszej
lawki na której rozrzucone sa karty z dzialaniami
i wynikami, znajduje pare kart dzialanie-wynik,
przebiega do drugiej lawki i wklada wybrana pare
do jednej przegródki pudelka. Potem wraca na
linie startu. Zawodnik moze w danej kolejce
wlozyc do pudelka tylko jedna pare kart. Kart raz
wlozonych do pudelka nie wolno przekladac. Czas
mierzony jest do momentu, gdy druzyna zglosi
ukonczenie zadania lub do wyczerpania limitu
czasu. Kazda blednie ulozona para lub para
niewlozona do pudelka oznacza doliczenie 30
sekund karnych. Tak uzyskany wynik wpisuje sie do
karty startowej. Za zrzucenie ze stolu kart
przeciwnika dolicza sie 30 sekund karnych za
kazda karte.
38
Podzielnosc liczb

• Podzielnosc liczb2 - Liczba jest podzielna
  przez 2 jezeli w rzedzie jednosci ma
  cyfre0, 2, 4, 6, lub 8. 3 - Liczba jest
  podzielna przez 3 jezeli suma jej cyfr tworzy
  liczbe podzielna przez 3.4 - Liczba jest
  podzielna przez 4 jezeli jej dwie ostatnie cyfry
  tworza liczbe podzielna przez 4.. 5 - Liczba
  jest podzielna przez 5 jezeli w rzedzie jednosci
  ma cyfre 0 lub 5.. 6 - Liczba jest
  podzielna przez 6, gdy równoczesnie dzieli sie
  przez 2 i przez 3 7 - Aby dowiedziec sie czy
  dana liczba dzieli sie przez 7, skreslamy jej
  ostatnie trzy cyfry, a od tak powstalej liczby
  odejmujemy liczbe skreslona, jesli ta róznica
  dzieli sie przez siedem to i liczba jest
  podzielna przez 7. 8 - Liczba jest podzielna
  przez 8, gdy równoczesnie dzieli sie przez 2 i
  przez 4 9 - Liczba jest podzielna przez 9 jezeli
  suma jej cyfr tworzy liczbe podzielna przez 9.
  10 - Liczba jest podzielna przez 10, gdy
  równoczesnie dzieli sie przez 2 i przez 5 11 -
  Jezeli róznica pomiedzy suma cyfr stojacych na
  miejscach nieparzystych (liczac od prawej) i suma
  cyfr stojacych na miejscach parzystych jest
  liczba podzielna przez 11 to i badana liczba jest
  podzielna przez 11. 12 - Liczba jest podzielna
  przez 12, gdy równoczesnie dzieli sie przez 4 i
  przez 3 13 - Aby dowiedziec sie czy dana liczba
  dzieli sie przez 13, skreslamy jej ostatnie trzy
  cyfry, a od tak powstalej liczby odejmujemy
  liczbe skreslona, jesli ta róznica dzieli sie
  przez 13 to i liczba jest podzielna przez 13. 14
  - Liczba jest podzielna przez 14, gdy
  równoczesnie dzieli sie przez 2 i przez 7 15 -
  Liczba jest podzielna przez 15 podczas gdy
  jednoczesnie dzieli sie przez 5 i przez 3.25 -
  Liczba jest podzielna przez 25 jezeli jej dwie
  ostatnie cyfry tworza liczbe 25, 50, 75 lub sa
  zerami.
• 100 - Liczba jest podzielna przez 100 jezeli jest
  zakonczona dwoma zerami.

39
Wiersz o tabliczce mnozenia

• Dla kazdego, jak marzenie,jest przez zero (0)
  liczb mnozenie!Zawsze wynik masz gotowy -zero -
  no i klopot z glowy!
• Gdy przez jeden (1) bedziesz mnozycmozesz
  problem ten odlozyc!Bo iloczyn równy
  liczbie,która mnozyc Ci dzis przyjdzie!
• Zle kojarzy Ci sie dwójka (2)?Nie pros tu o rade
  wujka.Liczby dwie jednakie dodaj...na gadanie
  czasu szkoda!
• Gdy przez dziesiec (10) mnozyc pragnieszbardzo
  latwo to odgadniesz -liczby bierz
  jednocyfrowe,dopisz zero i ...gotowe!
• Szóstka liczba jest parzysta,co jest sprawa
  oczywista,gdy przez trójke (3) ja (6)
  pomnozeosiemnascie (18) mam - mój Boze!
• Zas gdy mnoze ja (6) przez cztery (4)razem mam
  dwadziescia cztery (24).Gdy piec (5) szóstek (6)
  sobie dodamto trzydziesci (30) mam - niech
  skonam!

40

• Szesc (6) razy szesc (6) - droga dziatwo,to
  trzydziesci szesc (36) -jak latwo!Siedem (7)
  szóstek (6)? Co z wynikiem?To czterdziesci dwa
  (42) pewnikiem!
• Szesc (6) ósemek (8) - koty, losiedaje nam
  czterdziesci osiem (48).Dziewiec (9) szóstek (6)
  - co za szmery?Jasne, ze piecdziesiat cztery
  (54)!
• To o szóstce koniec piesni.Niech juz Wam sie o
  tym nie sni!Dzis spiewamy o siódemce,wiele slów
  jest w tej piosence!
• Siedem (7) trójek (3) - chwytaj krede,daje nam
  dwadziescia jeden (21).A dwadziescia osiem (28)
  brachu,siedem (7) czwórek (4) - i po strachu.
• Gdy siódemek (7) piec (5) zsumuje,
  mamtrzydziesci piec (35) - nie truje!Siedem (7)
  szóstek (6) zas królewno,to czterdziesci dwa
  (42) na pewno!
• Pomnóz siedem (7) razy siedem (7)gdy chcesz miec
  czterdziesci dziewiec (49).Gdy siódemek (7)
  osiem (8) zbierzeszmasz piecdziesiat szesc (56)
  bankierze.

41

• A siódemek (7) dziewiec (9) razem,to
  szescdziesiat trzy (63)- licz gazem!To juz final
  tej piosenki.Cwicz mnozenie przez siódemki.
• To ósemka -jest na topie!Bierz sie do liczenia
  chlopie.Osiem (8) trójek (3) - bez obrazyto
  dwadziescia cztery (24) razem.
• A trzydziesci dwa (32) - bez szpanuosiem (8)
  czwórek (4) daje Panu.Gdy ósemek (8) piec (5)
  polaczejest czterdziesci (40) - nic nie placze.
• Szesc (6) ósemek (8) patrzy na Cie-masz
  czterdziesci osiem (48) bracie.Gdy dziewiatek (
  9) siedem (7) skladasz,to szescdziesiat trzy
  (63) posiadasz.Dziewiec (9) pomnóz poprzez osiem
  (8).Siedemdziesiat dwa (72) mlokosie!
• Zbierz dziewiatek (9) dziewiec (9)
  razem-osiemdziesiat (81) jeden wskazesz.Szkoda
  czasu na gadanie,Rozpocznijmy obliczanie.

42
Sito Eratostenesa

• Sito Eratostenesa - algorytm wyznaczania liczb
  pierwszych z zadanego przedzialu Ze zbioru liczb
  naturalnych z przedzialu , tj. , wybieramy
  najmniejsza, czyli 2, i wykreslamy wszystkie jej
  wielokrotnosci wieksze od niej samej, to jest .
•  23-4-56789101112131415161718192021222324252627282
  93031323334353637383940414243-44-45464748495051525
  354555657585960Z pozostalych liczb wybieramy
  najmniejsza niewykreslona liczbe (3) i usuwamy
  wszystkie jej wielokrotnosci wieksze od niej
  samej , przy czym nie przejmujemy sie tym, ze
  niektóre liczby (na przyklad 6 czy 12) beda
  skreslane wiecej niz raz.
•  23-4-56789101112131415161718192021222324252627282
  93031323334353637383940414243-44-45464748495051525
  354555657585960Wedlug tej samej procedury
  postepujemy dla liczby 5.
•  23-4-56789101112131415161718192021222324252627282
  93031323334353637383940414243-44-45464748495051525
  354555657585960Nastepnie dla 7, 11, 13 az do
  sprawdzenia wszystkich niewykreslonych wczesniej
  liczb.
•  23-4-56789101112131415161718192021222324252627282
  93031323334353637383940414243-44-45464748495051525
  354555657585960Wykreslanie powtarzamy do momentu,
  gdy liczba , której wielokrotnosc wykreslamy,
  bedzie wieksza niz.
• Dla danej liczby wszystkie niewykreslone liczby
  mniejsze, badz równe sa liczbami pierwszymi.
•  23-4-56789101112131415161718192021222324252627282
  93031323334353637383940414243-44-45464748495051525
  354555657585960

43

• Eratostenes (gr. ??at?s????? Eratosthenes ur.
  276 p.n.e. w Cyrenie, zm. 194 p.n.e.) grecki
  matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta.
• Wyznaczyl obwód Ziemi (zob. opis eksperymentu)
  oraz oszacowal odleglosc od Slonca i Ksiezyca do
  Ziemi. Twierdzil, ze, plynac na zachód od
  Gibraltaru, mozna dotrzec do Indii. Jako pierwszy
  zaproponowal wprowadzenie roku przestepnego,
  czyli wydluzonego o jeden dodatkowy dzien w
  kalendarzu.
• Najwazniejsze dziela Eratostenesa to
• Geographica trzytomowe dzielo zawierajace
  podstawy geografii matematycznej i geografii
  fizycznej (zachowane we fragmentach)
• Catasterismi dzielo astronomiczne
• Peri komodias rozprawa o dawnej komedii
• Byl równiez badaczem twórczosci Homera ustalil
  date zdobycia Troi na rok 1184 p.n.e., czyli
  nieodbiegajaca od wspólczesnych szacunków.
• Podal sposób znajdowania liczb pierwszych sito
  Eratostenesa. Przejal po Apolloniosie z Rodos
  zarzadzanie Biblioteka Aleksandryjska.
• W wieku 80 lat, nie mogac pogodzic sie z utrata
  wzroku, zaglodzil sie na smierc

44
Krzywa Kocha

• Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez
  podzielenie go na 3 czesci i zastapienie
  srodkowej zabkiem (o ramieniu dlugosci równej 1/3
  odcinka) takim, ze wraz z usuwana czescia tworzy
  trójkat równoboczny. Krok ten jest powtarzany w
  nieskonczonosc dla kazdego fragmentu odcinka.
• Krzywa Kocha w kroku zerowym (k0) jest
  odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe
  czesci, a srodkowa zastapia dwa odcinki dlugosci
  1/3 l, nachylone wzgledem niej pod katem 60.
  Wraz z wycietym fragmentem moglyby one utworzyc
  trójkat równoboczny.

45
Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k1), po
transformacji zawiera 4 odcinki, kazdy równy 1/3
l. W kolejnym kroku kazdy z tych odcinków
ponownie zostanie podzielona 3 czesci, a srodkowa
znów zastapimy dwoma odcinkami. Krzywa Kocha w
kroku drugim (k2) zawiera juz 16 odcinków, kazdy
dlugosci 1/9 l. W kolejnym kroku (k3) powstanie
64 odcinków, kazdy dlugosci 1/27 l itd.
46
Na poczatku XVII wieku John Neper (1550-1617)
opublikowal dzielo o logarytmach i opisal
przyrzad wspomagajacy mnozenie za pomoca
logarytmów. Przyrzad ten zwany byl sztabkami
Nepera. Idea dzialania byla prosta, acz
rewolucyjna. Mnozenie sprowadzono do serii
dodawan. Pomysl ten jest wykorzystywany jest
zreszta w dzisiejszych komputerach. Za twórce
pierwszej mechanicznej maszyny liczacej uznaje
sie Wilhelma Schickarda (1592-1635).
47
Hotel Hilberta

• Ulamek 0,(9) (lub 0,999...) jest zapisem w którym
  cyfry 9 wystepuja na kolejnych miejscach po
  przecinku, miejsc jest "w nieskonczonosc"
  numerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi, a
  pierwsze miejsce ma numer JEDEN. 
• Ulamek 0,(9) (lub 0,999...) jest hotelem Hilberta
  (skrót hH)
• Miejsca po przecinku to pokoje w hH, a cyfry 9 to
  goscie hotelowi.
• Gosci jest tyle samo co pokoi i oznacza to, ze w
  zapisie 0,999...nie ma takiego miejca po
  przecinku na którym nie wystepowalaby cyfra 9. 
• hotel Hilberta ma komplet,  jest zbiorem PELNYM.

48

•  Twierdzenie 
•  Jesli którys gosc opusci hH
• 0,999... - 9/10n
•  to suma szeregu 0,999... 9/101  9/102
   9/103 ... 0,(9)
• ulegnie zmniejszeniu, bowiem 
• 0,999... - 9/10n  gt 0,999... 
•   powyzsze jest dowodem na to iz
• suma szeregów nieskonczonych zalezy od ILOSCI
  elementów.
•  Wyobrazmy sobie, ze jestesmy portierem w Grand
  Hotelu, w którym jest nieskonczona liczba pokoi.
  Wszystkie pokoje sa juz zajete, gdy przychodzi do
  nas kolejny klient chcacy wynajac pokój.
  Wydawaloby sie, ze sytuacja jest bez wyjscia i
  musimy klienta odprawic z kwitkiem. Na szczescie
  nasz hotel ma nieskonczona liczbe pokoi wiec
  mozemy wykonac sprytny trik Klienta z pokoju
  numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z
  pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie mozna
  powiedziec ze dokonujemy przekwaterowania
  klientów z pokojów n do pokojów n1. W ten sposób
  wszyscy nasi wczesniejsi klienci maja gdzie
  mieszkac, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego
  mozemy zakwaterowac naszego nowego goscia. Tak
  wiec mimo ze hotel byl pelen, znalazlo sie
  miejsce dla nowego klienta...

49
bibliografia

• www.wikipedia.pl
• www.bryk.pl
• www.sciaga.pl
• www.matma.pl
• www.swiat-matematyki.pl
• WSiP, Ciekawa Matematyka II Liceum
• Matematyczny jezyk piekna, Fernando Corbolan

50
Prezentacje przygotowali98/2_MF_G1

• Aleksandra Drzyzga Paulina Myszoglad
  Katarzyna Wójcik Lena Debczak Patrycja
  Piotrowska Emilia Pohorecka Kornelia Makowska
  Emilia Wyrwinska Michal Zatorski Lukasz
  Zakrzewski Przemyslaw Kawenski Piotr Korban

51
oraz98_54_G2

• Karolina Garczynska
• Agata Grzelaczyk
• Magdalena Jankowiak
• Karina Lewandowska
• Agata Majewska
• Natalia Okupniarek
• Kinga Piekarska
• Sabina Wisniewska
• Angelika Zwolinska
• Lukasz Szafranski
• Jakub Twardowski
• Dawid Rogalinski

52
DZIEKUJEMY ZA OBEJRZENIE PREZENTACJI