Resoluci

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Resolución, la regla de inferencia y el cálculo

• Raúl Monroy

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Resolución la regla de inferencia

• Sistema de inferencia con sólo una regla
• Modus Ponens y Modus Tollens son casos especiales
  de resolución
• Cuidado nunca resolver sobre proposiciones
  distintas simultáneamente
• Una deducción por resolución de P, dado ?, es una
  secuencia de cláusulas i) rematada con P y ii)
  donde cada miembro está en ? o es resultado de
  aplicar resolución a 2 cláusulas que aparecen
  antes en la secuencia

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Resolución el método

• Idea básica Si, dado un conjunto de premisas, ?,
  se desea mostrar la proposición, P, entonces
  añade a ? la negación de P y busca una
  refutación i.e., muestra que ??P es
  inconsistente
• Restricción Aplica sólo a términos de primer
  orden en forma clausular

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Forma normal clausular (CF)

• Un conjunto de fórmulas se encuentra en forma
  clausular sii cada fórmula es una cláusula
• Una cláusula es una disyunción de literales
• Una literal es una constante objeto o la negación
  de una constante objeto
• N.B. use un procedimiento de normalización

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Forma normal conjuntiva (CNF)

• Lema El procedimiento de forma normal
  conjuntiva, aplicado a una fórmula, termina
  produciendo otra, equivalente, en forma normal
  conjuntiva

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Forma clausular

• Romper la conjunción de cláusulas en cláusulas
  independientes
• Lema El proceso forma clausular, aplicado a una
  fórmula en forma normal conjuntiva, termina
  produciendo otra en forma clausular

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Propiedades del método de resolución

• Proposición 1 El método de resolución es
  correcto
• Si existe una deducción resolución de P a partir
  de ?, entonces ? P
• Demostración por inducción en la longitud de la
  deducción resolución

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• Lema Si la cláusula C C1\L?C2\?L que
  resulta de una aplicación de la regla de
  resolución es falsa bajo una evaluación E,
  entonces la conjunción de las hipótesis de la
  regla, C1?C2, es falsa bajo E.
• Corolario si podemos derivar ? usando
  resolución, entonces las premisas implican
  lógicamente ? y por lo tanto no pueden
  satisfacerse.

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• Proposición 2 El método de resolución es
  completo
• Teorema Si ? no puede satisfacerse, hay una
  deducción por resolución de ( ?)

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• Demostración de Proposición 2
• El caso en que ? está en ? es simple el otro
  caso se deriva del siguiente
• Proposición Si ? no puede satisfacerse, y tiene
  k literales en exceso, entonces hay una deducción
  por resolución de ( ?)
• exceso(C)
• 0 si C lt 1
• C - 1 si C gt 1
• exceso ? exceso(Ci)

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• Base k 0, simple, no hay cláusulas
  no-unitarias
• Inductivo k gt 0, la hipótesis se cumple para
  cualquier ?, que no puede satisfacerse, con
  menos de k literales exceso, demuestre el
  resultado para ? con k literales exceso (NB no
  olvide que ? no puede satisfacerse)

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Lógica de proposiciones Semántica

• Semántica La semántica de una lógica es una
  definición de la veracidad de las oraciones en un
  lenguaje de la lógica en términos de una
  interpretación

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Interpretación

• Una interpretación, I, para un lenguaje, L, es
  una definición de cada uno de los símbolos no
  lógicos de L en términos de algún dominio, v.gr.
• Sb,p,q D?, ?
• I(b) ?, I(p) ?, I(q) ?

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Modelo y consecuencia lógica

• Una interpretación, I, para un lenguaje, L,
  satisface o es modelo de una oración, P, si P es
  verdadera en I. En símbolos,
• Sean P y G una oración y un conjunto de
  oraciones, P es una consecuencia lógica de G sii
  cada interpretación que es modelo de todas las
  oraciones en G también es un modelo de P. En
  símbolos,

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Semántica de la lógica de proposiciones

• La semántica de la lógica proposicional es una
  definición de la veracidad de una oración con
  respecto a una interpretación
• I(?P) ? sii I(P) ??
• I(P1 ? P2) ? sii I(P1) ? y I(P2) ?
• I(P1 ? P2) ? sii I(P1) ? o I(P2) ?
• I(P1 ? P2) ? sii I(P1) ? o I(P2) ?
• I(P1 ? P2) ? sii I(P1) es equivalente a I(P2)

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• P es universalmente válida, o tautológica, si es
  verdadera en cualquier interpretación
• Si por el contrario P es falsa en toda
  interpretación, decimos que es una contradiccion

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Teoría

• Una teoría es un conjunto de oraciones el cual
  está cerrado bajo consecuencia lógica.
• Una teoría, G, es completa sii, para cada
  oración, P, P o bien ?P es miembro de G
• Una teoría, G, es inconsistente sii, para alguna
  oración P,
• y

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Enfoque sintáctico versus enfoque semántico

• Satisfacción e inferencia están relacionadas por
  dos propiedades
• Corrección
• Calidad de cobertura
• Corrección y calidad de cobertura no son
  conceptos cuyo sentido es absoluto en Lógica

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Conclusiones

• Algunos cálculos son menos estructurados que
  otros
• Cálculos estructurados permiten la construcción
  de procedimientos de demostración, algunos de los
  cuales a su vez permiten construir un
  procedimiento de decisión
• Lógica de proposiciones es soluble