Bases Matem

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Bases Matemáticas para la Educación PrimariaGuía
de Estudio

• Tema 1 NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

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Cuántos alumnos hay en la clase?

• (Se pregunta a un alumno colocado al frente de la
  clase)
• (1) Halla la respuesta sin decir ninguna palabra,
  mentalmente.
• (2) Escribe la solución en un papel no la digas
  en voz alta.
• (OBSERVAR QUÉ HACE PARA HALLAR LA SOLUCIÓN DEL
  PROBLEMA)
• (3) Explica cómo has encontrado la respuesta y
  justifica que esa es la solución

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• (4) Halla cuántos alumnos hay en la clase. Ahora
  contando en voz alta.
• OBSERVAR LO QUE HACE Y DICE
• Para cuantificar has debido contar
  (enumerar), y para contar, has establecido una
  ordenación.
• (5) Qué lugar ocupas en esa ordenación?

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• Supongamos que tenemos que comunicar el número
  de alumnos de la clase a un extraterrestre, que
  obviamente no conoce el español, ni ninguna
  lengua hablada en la Tierra, ni tampoco los
  símbolos indoarábigos (0, 1, 2, ), ni los
  símbolos romanos, etc.
• (6) Cómo podríais comunicar a este personaje el
  tamaño de la clase?

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Solución del problema de cuantificación

• Cuántos alumnos hay en la clase?
• Decido un orden para hacer la enumeración
  sistemática de los elementos (p.e., de principio
  al final, de derecha a izquierda).
• Cuento uno, dos, tres, (recitado mental, o
  verbal)
• El último número recitado, p. e., noventa y
  uno, es la solución del problema.

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SISTEMAS NUMERALES

• Cuando comunicamos a otras personas, o a nosotros
  mismos, el tamaño o cantidad de elementos de un
  conjunto de objetos discretos podemos hacerlo
  usando diferentes recursos y procedimientos

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• 1) En nuestra cultura occidental, actual, está
  generalizado el uso de las palabras numéricas,
  uno, dos, tres, , y los símbolos numéricos
  indoarábigos, 1, 2, 3, ....
• Estas colecciones ilimitadas de palabras y
  símbolos son las que hemos usado para informar
  del número de alumnos de la clase (su tamaño o
  numerosidad).
• Para ello hemos debido aplicar un procedimiento
  riguroso de conteo, poniendo en correspondencia
  biyectiva (uno a uno) cada alumno de la clase con
  una, y solo una, palabra numérica recitadas en un
  orden establecido.

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• Pastor primitivo quiere saber si han vuelto las
  mismas vacas que han salido

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Principios del conteo (recuento)

• Principio del orden estable. Las palabras
  numéricas uno, dos, tres, ... deben recitarse
  siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.
• Principio de la correspondencia uno a uno. A cada
  elemento del conjunto sometido a recuento se le
  debe asignar una palabra numérica distinta y sólo
  una.
• Principio de irrelevancia del orden. El orden en
  que se cuentan los elementos del conjunto es
  irrelevante para obtener el cardinal del
  conjunto.
• Principio cardinal. La palabra adjudicada al
  último elemento contado del conjunto representa,
  no sólo el ordinal de ese elemento, sino también
  el cardinal del conjunto.

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• 2) Pero antes de aplicar el procedimiento oral, o
  el escrito, hemos usado otro diferente el
  conteo mental, para lo cual usamos una versión
  mental, imaginada, de cada una de las palabras o
  símbolos numéricos perceptibles.
• Debemos reconocer la existencia de unos objetos
  mentales que se corresponden con las palabras y
  los dígitos numéricos, que podríamos llamar
  símbolos numéricos mentales.
• En el conteo mental tenemos que poner también en
  correspondencia cada alumno de la clase con uno y
  solo uno de los símbolos numéricos mentales,
  respetando los principios del recuento.

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• Pastor primitivo quiere saber si han vuelto las
  mismas vacas que han salido

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• 3) En la fase de trabajo en equipo hemos
  utilizado otros medios de expresar el tamaño,
  numerosidad, número de elementos (o cardinal) del
  conjunto de alumnos de la clase.
• Por ejemplo
• La colección de marcas ///, o cuadraditos,
  sobre el papel, tantos como elementos tiene el
  conjunto.
• Una combinación de símbolos para distintos
  agrupamientos parciales ( para indicar diez
  alumnos, / para expresar una unidad).
• Etc.

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Sistemas numerales

• Cada uno de estos sistemas de objetos
  perceptibles usados para expresar la propiedad
  de los conjuntos número de elementos, o
  cardinal, es un sistema numeral.
• Para que efectivamente sirvan a este fin deben
  cumplir una serie de reglas, las cuales fueron
  sintetizadas por el matemático italiano Peano.

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Axiomas de Peano

• A cada objeto le corresponde otro que se llama su
  siguiente o sucesor.
• Existe un primer elemento, 1, que no es sucesor
  de ningún otro elemento.
• Dos elementos diferentes de N no pueden tener el
  mismo sucesor (la función sucesor es inyectiva).
• Todo subconjunto de N que contiene un primer
  elemento y que contiene el sucesor de cada uno de
  sus elementos coincide con N (principio de
  inducción).

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• El 1 es un número natural.
• Si n es un número natural, entonces el sucesor de
  n también es un número natural.
• El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
• Si hay dos números naturales n y m con el mismo
  sucesor, entonces n y m son el mismo número
  natural.
• Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y
  además siempre se verifica que dado un número
  natural cualquiera que esté en A, su sucesor
  también pertenece a A entonces A es precisamente
  el conjunto de todos los números naturales.

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Ejemplos

• En principio cualquier colección ilimitada de
  objetos, cualquiera que sea su naturaleza,
• I, II, III, IIII, IIIII, .
• I, II, III, IV, V
• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .
• Uno, dos, tres, ., once, doce, . Mil,
• Un sistema numeral, siempre está organizado
  siguiendo los axiomas de Peano.
• Estos sistemas numerales se dice que son
  conjuntos naturalmente ordenados.

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NÚMEROS NATURALES

• Ya sabemos lo que son los sistemas numerales, las
  reglas que tiene que cumplir un conjunto de
  objetos para que se puedan usar como medio para
  CUANTIFICAR y ORDENAR colecciones de objetos.
• Pero entonces, qué son los números naturales?
• Una vez que tomamos conciencia de que, además de
  los símbolos indoarábigos, 1, 2, 3, , podemos
  usar una infinita variedad de objetos
  (perceptibles, manipulables, audibles, mentales,
  propiedades abstractas, ) para cuantificar y
  ordenar las colecciones finitas de otros objetos
  debe resultar conflictivo decir que los números
  naturales son los símbolos, 1, 2, 3,

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• La única solución es decir que un número natural
  es un elemento de CUALQUIER SISTEMA NUMERAL y el
  conjunto de los números naturales será cualquier
  sistema numeral, no un sistema numeral
  particular.
• Ahora bien, como todo sistema numeral viene
  caracterizado por una estructura u organización
  recursiva específica (los axiomas de Peano)
  también podemos decir que el conjunto de números
  naturales se caracteriza por la estructura de
  cualquier sistema numeral.
• Cada número particular será un elemento de dicho
  sistema.

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• En la vida cotidiana y en la práctica escolar los
  números naturales se asimilan al sistema de
  símbolos y palabras numéricas, 1, 2, 3, , uno,
  dos, tres, , one, two, three, , porque
  ciertamente estos sistemas numerales constituyen
  sistemas naturalmente ordenados.

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Otros usos de los números

• Uso formal o algorítmico de los números
• Además de los usos como cardinal (para
  cuantificar) y ordinal (para ordenar) los números
  se usan de manera formal o algorítmica (se opera
  con ellos). Los números constituyen estructuras
  algebraicas definidas a partir de operaciones con
  ellos y las propiedades derivadas de dichas
  operaciones.
• Números y medida Al medir una cantidad tomando
  otra como unidad se trata de hallar CUÁNTAS
  unidades hay en la cantidad a medir. Es un uso
  cardinal, aunque requiere aplicar nuevas técnicas
  para la medición.
• Usos no numéricos, los números como códigos o
  etiquetas (D.N.I., teléfonos, )

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Sistemas de numeración

• Tema 1 Números naturales. Sistemas de numeración

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Situación introductoria A

• Un extraterrestre llega a la Tierra. Viene de una
  galaxia lejana y su misión es contactar con los
  terrícolas e intercambiar información. Una vez
  superadas las dificultades de idioma el
  extraterrestre se interesa, entre otras muchas
  cosas, por el sistema de numeración escrito que
  se usa en la Tierra. Los hombres de la Nasa se lo
  explican y él comenta "Ah! Es el mismo sistema
  que utilizamos nosotros, pero nosotros usamos
  solamente cuatro símbolos, el del cero ( ? ), el
  del uno ( ? ), el del dos ( ? ) y el del tres ( T
  )".
• A) Cómo escribe el extraterrestre el número 9?
• B) el 14 C) el 47 D) el 2356

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Situación B

• El Parlamento Europeo, después de varios
  asesoramientos científicos, decide cambiar el
  número de símbolos de nuestro sistema de
  numeración escrito. Las opciones que se barajan
  como mejores son la de utilizar sólo seis
  símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5) o la de utilizar doce
  símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B).
• (1) Mientras el Parlamento discute nosotros vamos
  a escribir los primeros 25 números en esos nuevos
  sistemas.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
BASE 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
BASE 12
(2) Cómo se escribiría el número 151(10 en las
bases 6 y 12?
25
Applet

• http//www.cleavebooks.co.uk/scol/calnumba.htm
• http//nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_3_t_1
  .html

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Necesidad de aumentar el tamaño de las
colecciones de objetos numéricos

• La aparición en el Neolítico de sociedades
  estatales y del entramado administrativo que una
  sociedad de este tipo conlleva plantear la
  necesidad de
• obtener el cardinal de colecciones formadas por
  muchos objetos (colecciones muy numerosas).
• recordar los cardinales correspondientes a muchas
  colecciones

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• La contabilidad de un Estado exige la
  representación de números grandes y el
  almacenamiento de esos números de forma que sean
  fácilmente localizables. Pero eso supone
• la invención de muchas palabras numéricas o la
  utilización de muchos objetos numéricos para
  representar grandes números.
• la búsqueda de sistemas de representación de los
  números (sistemas numerales) que permitan al
  receptor del mensaje entenderlo con rapidez.
• la búsqueda de sistemas de representación de los
  números que permitan guardarlos en memoria de
  forma duradera, accesible y ocupando poco
  espacio.

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• Para resolver estas exigencias, las diferentes
  sociedades han creado sistemas de numeración
  compuestos por un pequeño número de signos que
  combinados adecuadamente según ciertas reglas
  sirven para efectuar todo tipo de recuentos y
  representar todos los números necesarios a esas
  sociedades.

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• Para ello se han basado en dos principios
• los signos no representan sólo unidades sino
  también grupos de unidades. A cada uno de esos
  grupos de unidades se le llama unidad de orden
  superior. Al número de unidades que constituye
  cada unidad de orden superior se le llama base
  del sistema de numeración.
• cualquier número se representa mediante
  combinaciones de los signos definidos en el
  sistema de numeración.

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Algunos ejemplos de sistemas de numeración
escritos

• a) Sistema jeroglífico egipcio

31
b) Sistema chino
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Tipos de sistemas de numeración

• a) Sistema aditivo regular
• En este sistema se definen símbolos para la
  unidad, la base y las potencias de la base. El
  número representado se obtiene sumando los
  valores de los signos que componen su
  representación.
• El sistema egipcio es un ejemplo de sistema
  aditivo regular de base 10

33
a) Sistema aditivo regular
243688?
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b) Sistema multiplicativo regular

• En él se definen símbolos para la unidad, la
  base, las potencias de la base y todos los
  números comprendidos entre la unidad y la base.
• El número representado se obtiene multiplicando
  cada potencia de la base por el valor del símbolo
  que le precede y sumando los resultados junto con
  las unidades.
• Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema
  chino de numeración que es un sistema
  multiplicativo regular de base 10

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b) Sistema multiplicativo regular
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c) Sistema posicional regular

• En este sistema se definen símbolos para la
  unidad y los números comprendidos entre la unidad
  y la base. También se define un símbolo, el cero,
  para indicar la no existencia de unidades. En
  cambio, no se definen símbolos específicos para
  la base, ni para las potencias de la base,
  representándose éstas por medio de combinaciones
  de los símbolos de la unidad y del cero.
• En estas condiciones, cada uno de los signos que
  componen la representación del número,
  dependiendo del lugar que ocupa, hace referencia
  a las unidades o a una determinada potencia de la
  base.
• El número representado se obtiene de la misma
  manera que en un sistema multiplicativo.
• Nuestro sistema de numeración escrito es un
  ejemplo de sistema posicional decimal

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Reglas de los sistemas de numeración posicionales

• Elegido un número b gt1 como base del sistema de
  numeración, se utilizan b símbolos, llamados
  cifras o guarismos (0, 1, 2, ..., b-1) que
  representan el cero y los primeros números
  naturales.
• Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman
  una unidad de 2º orden, y se escribe a la
  izquierda de las unidades de 1er orden.
  (Principio del valor relativo de las cifras)

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• Se continúa el proceso como en 2)
• Cuando no hay unidades de un orden (carencia de
  unidades) se expresa mediante un 0 en la posición
  correspondiente.
• La base b se representa por 10(b (es la unidad de
  2º orden) la unidad de tercer orden, b2 se
  expresará como 100(b .

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Numeración romana

• Los símbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M
  (mil) son los principales' y los símbolos V
  (cinco), L (cincuenta) y D (quinientos) los
  'secundarios'.
• Los símbolos principales no se pueden repetir más
  de tres veces y los secundarios no pueden
  repetirse ninguna vez.
• Todo símbolo situado a la derecha de uno de igual
  o mayor valor se suma. Si un símbolo principal
  está situado a la izquierda de un símbolo de
  mayor valor se resta.
• A la izquierda de un símbolo solo se puede poner
  como símbolo de menor valor el símbolo principal
  inmediatamente anterior.

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• Los millares, diezmillares, cienmillares, etc. de
  los números mayores o iguales que 4.000 se
  escriben como si fueran unidades, decenas,
  centenas, etc., colocándoles una raya horizontal
  por encima.
• Por ejemplo, 583.459 se escribe,
  CDLIX.
• Estamos pues ante un sistema de tipo aditivo,
  aunque con irregularidades, de base 10 y con una
  base auxiliar 5.
• Este sistema todavía lo usamos nosotros para
  indicar ordinales y fechas.

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Estudio personal

• Estudiar los apartados 2.1. y 2.2. (págs. 24 y
  25) y los apartados 3.2 a 3.6 (págs., 29 a 34)
  del libro,
• Godino, J. D. (Director) (2004). Matemáticas para
  maestros. Departamento de Didáctica de las
  Matemáticas. Universidad de Granada. (Recuperable
  en, http//www.ugr.es/local/jgodino/)
• Realizar las actividades del Cuaderno de
  Prácticas en la sesión de Seminario (Material
  multibase y ábacos).
• Resolver personalmente y comprobar posteriormente
  los ejercicios resueltos disponibles en el Tablón
  de Docencia.

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Trabajo en equipo

• Realizar las actividades programadas en el
  Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo) que se
  entregará en la clase de Seminario.
• Las actividades deberán terminarse durante la
  semana y se entregará el Cuaderno cumplimentado
  al comienzo de la siguiente sesión del Seminario.

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Ejercicios
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• 1. Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal
  los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y
  1336

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• Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal los
  números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y 1336
• Solución
• Undécimo décimo cuarto vigésimo séptimo
  quincuagésimo tercero nonagésimo noveno
  centésimo trigésimo quinto tricentésimo
  sexagésimo sexto quingentésimo octogésimo
  cuarto milésimo tricentésimo trigésimo sexto.

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• 2. Expresa los números 457 y 17089 mediante
• a) un ábaco japonés
• b) el sistema de numeración romano
• c) sistema de numeración egipcio
• d) sistema de numeración chino

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• 2. Expresa los números 457 y 17089 mediante
• un ábaco japonés

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• 2. Expresa los números 457 y 17089 mediante
• b) el sistema de numeración romano
• 457 CDLVII 17.089 XVII LXXXIX

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• 2. Expresa los números 457 y 17089 mediante
• c) sistema de numeración egipcio

  457      
    17089  
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• 2. Expresa los números 457 y 17089 mediante
• d) Numeración china

  457      
    17089  
51

• 3. El uso de la base 10 en el sistema de
  numeración indoarábigo se puede suponer que se
  debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos.
  Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo
  mismo, esto es, usaron un sistema de numeración
  basado en el número de dedos de sus manos.
  Cuántos dedos tenían los marcianos en sus manos
  si sabemos que en dicho planeta el número
  diecisiete se escribía 21?

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• 3. El uso de la base 10 en el sistema de
  numeración indoarábigo se puede suponer que se
  debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos.
  Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo
  mismo, esto es, usaron un sistema de numeración
  basado en el número de dedos de sus manos.
  Cuántos dedos tenían los marcianos en sus manos
  si sabemos que en dicho planeta el número
  diecisiete se escribía 21?
• Solución2b 1 17 base 8, (cuatro dedos en
  cada mano)

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• 4. Construye un sistema aditivo de base 12 y
  utilízalo para expresar los números 1.245.674,
  23.478 y 100

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• 4. Solución
• Necesitamos inventar símbolos para la unidad y
  las sucesivas potencias de la base. Estos pueden
  servir
• 1 / 12 a 122 b 123 c 124 d 125
  e etc.

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• a) 1.245.674
• Expresamos el número en base 12 por el
  procedimiento habitual de ir dividiendo
  sucesivamente por 12.Obtenemos
• 1.245.674 5.125 10.122 6.12 2. Como el
  sistema es aditivo cada símbolo se repite el
  número de veces que expresa el coeficiente de las
  potencias de 12, o sea,
• 1.245.674 eeeee bbbbbbbbbb aaaaaa //

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• b) Con igual método el número 23.478 quedaría
  así
• 23478 1.124 1.123 7.122 6 d c
  bbbbbbb//////
•  
• c) 100 8.12 4 aaaaaaaa ////

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• 5. Construye un sistema multiplicativo de base 8
  y utilízalo para expresar los números 32768, 5400
  y 89.
• Haz las transformaciones necesarias para
  convertirlo en un sistema posicional de base 8.
  Vuelve a escribir los números anteriores en el
  nuevo sistema.

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• Solución
• Se deben elegir símbolos para la unidad, la base,
  las sucesivas potencias de la base y los números
  menores que la base. Por ejemplo,
• 1 / 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ?
• 8 ? 82 64 ? 83 512 ? 84 4.096 ?
  85 32.768 ? ...
• El número 32.768 ?
• El número 5.400 expresado en base 8 es 5400 84
  2.83 4.82 3.8. Por tanto, en el sistema
  multiplicativo inventado 5400 / ? ? ? ? ? ?
  ?

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• Para convertirlo en un sistema posicional hay que
  convenir el uso de un símbolo para cero que
  permita expresar la carencia de unidades de un
  cierto orden. Por ejemplo
• 0 ?. El número 5400, en este sistema posicional
  inventado quedaría
• 5400 / ? ? ? ?
• El número 89, expresado en base 8 quedaría 89
  1.82 3.8 1
• En el sistema multiplicativo inventado se
  expresa 89 / ??? /

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• Efectúa los cambios de base siguientes
• a) 3415 (de base 10 a base 3)
• b) 999 (de base 10 a base 7)
• c) 25842 (de base 10 a base 12)
• d) 1001110 (de base 2 a base 10)
• e) ABC6 (de base 13 a base 10)
• f) 33421 (de base 5 a base 3)
• g) 34250 (de base 6 a base 4)
• h) 102102 (de base 3 a base 7).