Slide sem t

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Grafos
Muitos problemas formulados em objetos e conexões
entre eles

• Mapa com rotas aéreas
• maneira mais rápida de x para y
• maneira mais barata de x para y
• interconexões (rotas aéreas) entre
• objetos (cidades)
• Sequenciar tarefas (job scheduling)
• objetos são tarefas a serem executadas
• interconexões indicam seqüência das tarefas

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Grafos (cont.)
História
Euler (1736) - pontes de Königsberg
Baseado na disposição das pontes, mostrou que era
impossível percorrer por todas passando somente
uma vez
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Grafos (cont.)
Kirchoff (1847) - estudo das árvores para
problemas de circuitos
elétricos Hamilton (1859) - problemas de
caminho Jordan (1869) - procura formalizar teoria
de árvores Século XX - desenvolveu
rapidamente Ford e Fulkerson (1962) - aplicação
na teoria de
fluxos de rede
Apesar das tendências em considerar o estudo
de fluxo em rede, muitos outros problemas podem
ser resolvidos através da teoria dos grafos
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Grafos (cont.)
Grafo é um objeto matemático que consegue modelar
tais situações
Grafo
Vértices
Arestas
Conexão entre dois vértices
Objetos com nome e outras propriedades
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Grafos (cont.)
Matematicamente, um grafo G (V, E) V é um
conjunto de vértices E é um conjunto de arestas
(edges) onde cada aresta é um par de
vértices Exemplo (v, w) Um grafo é representado
graficamente usando pequenos círculos para
vértices e retas ou curvas para arestas
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Grafos (cont.)
V ?a, b, c, d, e, f? E ?(a, b), (b, c), (b,
e), (c, e), (c, d), (d, f)? (a, b) é uma aresta
entre vértice a e vértice b Arestas do tipo (a,
a) não são permitidas A cardinalidade ou ORDEM é
igual à quantidade de seus elementos.C(V) 6 Um
grafo pode ser direcionado ou não direcionado Um
grafo é dito direcionado, ou também chamado de
digrafo, quando o sentido das ligações entre os
vértices é importante
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Grafos (cont.)
Caminho de vértice x a vértice y é uma lista
de vértices na qual sucessivos vértices estão
conectados por arestas no grafo
(B,A), (A,F), (F,E), (E,G)
Grafo é conectado se ? um caminho de cada vértice
para qualquer outro vértice
Caminho simples é um caminho no qual
nenhum vértice é repetido (B - A - F - E - G)
Ciclo é um caminho simples com exceção de que o
primeiro e o último vértices são os mesmos (A - F
- E - G - A)
Circuito é um ciclo onde pode haver repetição
de vértices no caminho (A - C - A - G - E - D - F
- A)
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Grafos (cont.)
Adjacência de dois vértices v e w ocorre quando
? uma aresta (v, w) entre v e w
Vértices Maria e Pedro são adjacentes
Esta aresta é dita incidente a ambos os vértices
Adjacência Sucessor - w é sucessor de v se aresta
sai de v e chega em w Exemplo Emerson e Antonio
são sucessores de Alfredo
Grafo direcionado
Adjacência Antecessor - w é antecessor de v se
aresta sai de w e chega em v Exemplo Alfredo e
Cecília são antecessores de
Antonio
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Grafos (cont.)
Grau de um vértice está relacionado com
a incidência das arestas
Grau (Pedro) 3 Grau (Maria) 2
Grau de Emissão/Recepção
Grau Emissão (Alfredo) 2 Grau Emissão (Cecília)
1 Grau Emissão (Renata) 0
Grau Recepção (Antonio) 2 Grau Recepção
(Renata) 1 Grau Recepção (Alfredo) 0
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Grafos (cont.)
Vértice v é fonte se Grau Recepção (v)
0 Exemplo Isadora, Alfredo e Cecília
Vértice v é sumidouro se Grau Emissão (v)
0 Exemplo Emerson e Renata
Um grafo é regular se todos os seus vértices
tem o mesmo grau
Grafo regular-3 Todos os seus vértices tem grau
3
11
Grafos (cont.)
Um subgrafo G (V, E) de um grafo G (V,
E) é um grafo tal que V ? V e E ? E. O subgrafo
é sempre obtido pela supressão de pelo menos um
vértice e suas respectivas arestas incidentes
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Grafos (cont.)
Um subgrafo G1 (V1, E1) de um grafo G (V, E) é um
subgrafo gerador (de G (V, E) se V V1
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Grafos (cont.)
Quando o subgrafo gerador é uma árvore ela é
chamada de árvore geradora (spanning tree)
remover arestas até eliminar os ciclos, mas
mantendo a conexidade
14
Grafos (cont.)
Grafo G (V, E) é conexo quando existe caminho
entre cada par de vértices de G. Caso contrário
é desconexo.
15
Grafos (cont.)
G (V, E) é um grafo conexo Cada aresta e (v,w)
possui um peso d(e) Peso de uma árvore geradora
T (V, ET) é a soma dos pesos das arestas de G
que formam T.
Árvore geradora máxima (Maximum Spanning
Tree) Árvore geradora mínima (Minimum Spanning
Tree)
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Grafos (cont.)
Grafo parcial é um grafo onde os vértices são
iguais mas as arestas não são.
17
Grafos (cont.)
Grafo complementar de G possui a mesma ordem
(cardinalidade) de G mas as arestas
não existentes em G
G
18
Grafos - Aplicações
Verificação de existência de funções inúteis
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema do caixeiro viajante

• Área de venda de um caixeiro viajante
• com várias cidades
• Muitas conectadas (aos pares) por rodovias
• Necessidade de visitar cada cidade

Como estabelecer uma viagem circular (volta ao
ponto de partida) de tal forma que cada cidade é
visitada somente uma vez?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema da Coleta de Correspondência

• ECT mantém vários pontos de coleta
• O motorista tem que coletar passando
• por todos os postos

Como modelar o problema? Como encontrar a melhor
rota?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema do caminho do custo mínimo
Transporte de carga - selecionar caminho de menor
custo entre quaisquer duas cidades
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema dos dissidentes políticos
Prisioneiros divididos em celas. Para
escapar precisa explodir os portões.
Destruir o menor número de portões e garantindo
que todos escapem. Quantos portões devem ser
explodidos?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema da RNP (Rede Nacional de Pesquisa)
Rede de computadores que interliga grande
número de instituições (ensino/pesquisa). Em
algumas cidades há um POP (Ponto de Presença)
Havendo mais de uma rota possível entre
dois POPs como determinar qual a rota mais
apropriada?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema dos canibais e missionários
3 canibais e 3 missionários precisam atravessar
o rio. Barco com capacidade de 2
pessoas. Restrição - número de canibais não podem
ser maior que o número de missionários
Como administrar a travessia?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema de rede de computadores
Projeto de redes de computadores onde os vértices
são máquinas e arestas são conexões entre 2
máquinas juntamente com o custo.
Possibilidade de comunicação sempre a um custo
mínimo Determinar quais ligações inúteis?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema de 3 casas e 3 serviços
É possível conectar cada serviço a cada uma das
três casas sem haver cruzamento de tubulações?
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Grafos - Aplicações (cont.)
Problema de coloração de mapas
Na atualização de mapa político de um
estado, cada município é colorida com uma cor
distinta de seus vizinhos
Minimizar o número de cores do mapa Como colorir
o mapa com o menor número de cores?