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Cuánta metalógica introducir en un primer curso
de lógica simbólica?

• Federico Marulanda IIFs
• federico_at_filosoficas.unam.mx

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Presuposiciones

• El curso en cuestión es un curso en lógica
  simbólica deductiva, y por ende no cubre ni la
  lógica informal, ni la lógica inductiva y la
  probabilidad
• El curso debe cubrir la lógica proposicional y la
  lógica de predicados
• El curso aborda tanto la semántica de los
  lenguajes de dichas lógicas, como sus sistemas
  deductivos
• El límite natural del material a cubrir es la
  prueba de completud de la lógica de predicados
  ésta no entra en el curso, pero forma parte
  central de su secuela
• El curso está dirigido principalmente a
  estudiantes de filosofía (avanzados de pregrado o
  principiantes de posgrado), o a estudiantes de
  pregrado en matemáticas, ciencias de la
  computación, ingenierías, etc.

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Lógica Proposicional (LP)

• Los componentes básicos de LP son
• la sintáxis del lenguaje proposicional (i.e., las
  leyes de formación del lenguaje)
• la semántica de este lenguaje
• el cálculo proposicional

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• Surgen dos preguntas
• Pregunta 1 Qué introducir primero, el aspecto
  semántico, o el deductivo?
• Pregunta 2 Qué tipo de sistema deductivo
  utilizar? (e.g. sistemas axiomáticos, o de
  deducción natural, o al estilo de Gentzen)
• Mi objetivo aquí no es el de responder ninguna
  de estas dos preguntas (la primera con
  repercusiones filosóficas, la segunda prácticas).

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• Antes de contiuar, cabe subrayar que, en un
  curso como el que nos ocupa, la mención de
  aspectos metalógicos está subordinada a la
  elucidación completa de las lógicas en cuestión,
  sus lenguajes, la relación de éstos con el
  lenguaje natural, y sus semánticas.
• La discusión de la metalógica es un bono
  adicional que un instructor bien organizado puede
  ofrecer a sus estudiantes.

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Aspectos metalógicos de LP

• La legibilidad única de las fórmulas del lenguaje
  proposicional.
• Esto puede o no ser evidente, dependiendo de la
  sintáxis del lenguaje escogido. Usualmente no lo
  es (e.g., no es usual utilizar notación polaca
  invertida).
• Para demostrar la legibilidad única, se apela a
  una prueba inductiva. Luego este sería un punto
  para introducir pruebas por inducción matemática,
  y para resaltar la naturaleza inductiva de las
  leyes de formación del lenguaje (i.e., de la
  definición de fbf).

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• Pero tal vez sea deseable evitar entrar en una
  discusión de la inducción en un momento tan
  temprano del curso.
• Un argumento inductivo involucra (i) una
  cuantificación universal y (ii) estrictamente
  hablando, razonamiento conjunto-teorético.
  Ninguno de estos elementos es introducido, si lo
  es, hasta más adelante en el curso.
• Sin embargo, por medio de algunos ejercicios, y
  sin tener que probarlo estrictamente, puede
  entenderse por qué el lenguaje elegido de la
  lógica proposicional goza de legibilidad única.

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Aspectos metalógicos de LP

• 2. La completud expresiva del conjunto de
  conectivas escogido.
• Es natural preguntarse si las conectivas del
  lenguaje son suficientes para expresar
  proposiciones complejas que reflejen todas las
  posibles combinaciones de valores de verdad de
  las proposiciones atómicas.
• Una prueba rigurosa de que sí lo son involucra
  la noción de función de verdad, y hace uso de la
  inducción.
• Sin embargo, una prueba menos rigurosa puede
  consistir en la descripción de un método con el
  cual generar, dada una combinación cualquiera de
  valores de verdad de algunas variables
  proposicionales, una fórmula que contenga
  únicamente las conectivas del lenguaje, y cuya
  tabla de verdad sea la buscada.
• Este sería un primer resultado metalógico
  establecido. Otros se siguen con facilidad (i.e.,
  que ciertos conjuntos más reducidos de constantes
  lógicas son expresivamente completos, y que otros
  no).

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Aspectos metalógicos de LP

• 3. La correctud del cálculo proposicional
• Las nociones fundamentales de correctud y
  completud son fácilmente explicables en relación
  con la semántica y sistema deductivo de la lógica
  proposicional, luego puede ser éste un buen
  momento para introducirlas.
• Pero basta con introducir informalmente dichas
  nociones, o es aconsejable probarlas?
• La prueba de correctud no es especialmente
  difícil. Es un argumento inductivo, pero la
  inducción no representa complicaciones.
• Ahora, si el sistema deductivo que se ha
  utilizado es de deducción natural, el argumento
  es tedioso, pues hay que tratar caso por caso
  cada regla de inferencia. Pero se pueden tratar
  unos casos representativos, y dejar los otros
  como ejercicios.

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Aspectos metalógicos de LP

• 4. La completud del cálculo proposicional
• La prueba de este hecho es, como es bien sabido,
  más complicada que la de correctud mientras que
  es fácil evaluar las reglas de inferencia del
  cálculo proposicional y concluir que ninguna
  puede llevarnos de verdades a falsedades, no es
  obvio ver que las mismas reglas son suficientes
  para probar todos los argumentos válidos.
• Existen diferentes estrategias de prueba de
  completud para LP, algunas mas directas que
  otras. Si alguna estrategia sencilla es aplicable
  al cálculo empleado en el curso, tal vez sea
  apropiado discutirla.
• Es usual, sin embargo, omitir esta prueba de un
  primer curso en lógica simbólica (y de hecho
  pocos textos introductorios la incluyen). Tal vez
  el lugar mas natural para exponer la prueba sea
  como prolegómeno a la prueba de completud de la
  lógica de primer orden, que estamos suponiendo
  pertenece a un curso más avanzado.

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Aspectos metalógicos de LP

• 5. La decidibilidad de LP
• Es trivial demostrar que LP es decidible para
  cualquier forma de argumento (con un número
  finito de premisas), sólo hay que verificar un
  número finito de interpretaciones para establecer
  si la forma es inválida (si el argumento contiene
  n símbolos proposicionales, hay que contemplar un
  máximo de 2n interpretaciones para determinar si
  validez).
• Este hecho obvio cobra relevancia, sin embargo,
  ante la indecidibilidad de la lógica de
  predicados por esto no sobra mencionarlo.

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La lógica de predicados (LPO)

• Se discuten los mismos elementos básicos que en
  el caso de LP
• la sintáxis del lenguaje
• la semántica del mismo
• el cálculo de predicados

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• Sin embargo, la estructura del lenguaje de LPO
  hace que la discusión sea más complicada . En
  particular, para enunciar la semántica de LPO se
  apela a nociones de la teoría de conjuntos.
• Parece conveniente, pues, hacer un interludio
  matemático entre la discusión de LP y la de PLO,
  para introducir, por lo menos, una teoría
  inocente de conjuntos.
• A discutir las relaciones de membresía y de
  subconjunto, la extensionalidad de los conjuntos,
  las operaciones básicas sobre los conjuntos, el
  conjunto vacío, la cardinalidad, el conjunto
  potencia, el producto cartesiano de conjuntos,
  los pares ordenados y n-tuplos ordenados
  definidos como conjuntos.
• De posible interés la paradoja de Russell, o la
  de Cantor, y la necesidad de formular la teoría
  de conjuntos axiomáticamente (como una teoría en
  un lenguaje de primer orden)

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• Si decide hacerse el interludio matemático,
  puede aprovecharse el momento para discutir más
  explícitamente la inducción (i.e., explicar las
  definiciones inductivas o recursivas, y dar
  ejemplos de pruebas por inducción no sólo sobre
  los números naturales, sino sobre una variedad de
  estructuras)

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Metalógica en LPO

• Legibilidad única de las fórmulas del lenguaje de
  primer orden.
• La demostración de este teorema puede ser usada
  como una primera aplicación del metodo de prueba
  por inducción, y complementaría y completaría la
  discusión paralela en LP.

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Metalógica en LPO

• 2. La correctud del cálculo de predicados
• La prueba no difiere significativamente de la
  prueba correspondiente en LP, salvo (i) que hace
  referencia a verdad-en-un-modelo y no a las
  tablas de verdad, y (ii) que tiene que incluir
  los casos correspondientes a las leyes de
  inferencia para los cuantificadores.
• Probar algunos de los casos permite repasar la
  semántica del lenguaje, así como las pruebas por
  inducción.

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Metalógica en LPO

• 2. La completud de la lógica clásica de primer
  orden.
• Fue una suposición inicial que esta difícil
  prueba no hace parte de el tipo de clase que nos
  ocupa. (Luego tampoco lo hacen los teoremas de
  compacidad, y de Löwenheim-Skolem).
• Por supuesto, puede y debe mencionarse que LPO
  es completa, sin ofrecer una prueba.
• Por qué debe mencionarse? No solamente para
  hacer la analogía y desanalogía con LP y LSO,
  como para adelantar lo que se estudiaría en un
  curso mas avanzado.

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Metalógica en LPO

• 3. La no-decidibilidad de la LPO.
• Este es otro hecho metalógico acerca de LPO que,
  aunque su prueba (el teorema de Church) esté
  fuera del alcance del curso, pues requiere
  elementos de la teoría de funciones recursivas,
  es importante mencionar.
• De hecho, es difícil evitar mencionarlo, pues
  salta a la vista que, a diferencia de LP, no
  existe en PLO un método que garantice determinar,
  en todos los casos, si un argumento es válido o
  inválido.
• Si además de no ser decidible, PLO no fuera
  completa, su utilidad deductiva, y lo que es más,
  su estatus como lógica, se verían comprometidos.

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Metalógica en LPO

• 3. La no-decidibilidad de la LPO.
• Aunque la prueba de no-decidibilidad de LPO no
  forme parte del curso, no es difícil ver que el
  hecho de que la invalidez de ciertos argumentos
  sólo puede ser demostrada apelando a modelos cuyo
  universo tiene cardinalidad infinita hace
  imposible formular un algoritmo efectivo que
  arroje en todos los casos un veredicto de
  validez.

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Metalógica en LPO

• 3. La no-decidibilidad de la LPO.
• La discusión de lo anterior puede incluir
  mención ya que no la prueba del hecho que si
  el lenguaje de primer orden únicamente contiene
  predicados monádicos (e identidad), la lógica
  correspondiente sí es decidible (el teorema de
  Löwenheim-Behmann).