Aucun titre de diapositive

1
Master 1 Outils statistiques
Introduction aux plans d'expériences
2
Plan du cours
Introduction aux plans dexpériences Problématiqu
e Notion despace expérimental Plans factoriels
complets à deux niveaux 2k Plan à deux
facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de
plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans
factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p Construction des plans fractionnaires Group
e des générateurs daliases Calcul des
contrastes Technique pour désaliaser
3
Problématique
Les systèmes peuvent être complexes. Ils sont
pilotés par de nombreux paramètres de conception
et de réglages (X1, X2, Xi,).
L'objet des plans dexpériences (experimental
designs) est de quantifier l'influence des
paramètres sur la réponse à partir de résultats
d'expérimentations.
4
Problématique
Pour cela, il existe plusieurs stratégies
d'expérimentation Les plans complets Cette
stratégie consiste à tester toutes les
combinaisons des paramètres sélectionnés (très
long et coûteux) Les plans réduits Cette
stratégie consiste à tester une partie de toutes
les combinaisons des paramètres. Les plans
Taguchi Génichi Taguchi a proposé une sélection
de plans réduits (non traité ici).
5
Problématique

• Cette catapulte a été conçue de manière à ce que
  lon puisse facilement modifier 5 des paramètres
  de construction ou dutilisation 
• bandage de lélastique
• accrochage de lélastique
• position du bol sur le bras
• angle de butée de percussion
• angle darmement

Catapulte et ses différents réglages
6
Problématique
En résumé
But Optimiser la distance de tir!
7
Problématique
Méthode classique on fixe le niveau de toutes
les variables sauf une et on mesure la réponse y
en fonction de plusieurs valeurs non fixées x1
8
Problématique

• Méthode des plans dexpériences
• On fait varier les niveaux de tous les facteurs à
  la fois à chaque expérience, mais de manière
  programmée et raisonnée.
• Choquant? Non!!
• Avantages (mais pas toujours intuitifs)
• Diminution du nombre dessais.
• Nombre de facteurs étudiés très grand
• Détection des interactions entre facteurs
• Détection des optimaux
• Meilleure précision sur les résultats
• Optimisation des résultats
• Modélisation des résultats
• DANS CE COURS, LE BUT SERA SURTOUT LA RECHERCHE
  DES
• FACTEURS INFLUENTS (PAS FORCEMMENT DE LOPTIMAL)

9
Plan du cours
Introduction aux plans dexpériences Problématiqu
e Notion despace expérimental Plans factoriels
complets à deux niveaux 2k Plan à deux
facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de
plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans
factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p Construction des plans fractionnaires Group
e des générateurs daliases Calcul des
contrastes Technique pour désaliaser
10
Notion despace expérimental
La valeur donnée à un facteur pour réaliser un
essai est appelée niveau. Lorsqu'on étudie
l'influence d'un facteur, en général, on limite
ses variations entre deux bornes. La borne
inférieure est le niveau bas. La borne supérieure
est le niveau haut.
11
Notion despace expérimental
12
Notion despace expérimental
Eventuellement modéliser la réponse
13
Plan du cours
Introduction aux plans dexpériences Problématiqu
e Notion despace expérimental Plans factoriels
complets à deux niveaux 2k Plan à deux
facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de
plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans
factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p Construction des plans fractionnaires Group
e des générateurs daliases Calcul des
contrastes Technique pour désaliaser
14
Plans factoriels complets à deux niveaux
PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces
plans possèdent un nombre de niveaux limité à
deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons
de niveaux sont effectuées au cours de
l'expérimentation. Ces plans peuvent être
utilisés indistinctement pour les variables
continus et pour les variables discrètes.
Exemple Le rendement dune réaction dépend de t
et de P.
A B C D 60C 80C 60C 80C 1 bar 1bar 2
bars 2 bars
15
Plans factoriels complets à deux niveaux
P
C
D
2
A
B
1
60
80
t
On peut démontrer que la meilleure stratégie
consiste à choisir les 4 points aux extrémités du
domaine expérimental.
16
Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais T (facteur 1) P(facteur 2) rendement
1 2 3 4 - - - - 60 70 80 90
Niveau - 60C 1 bar
Niveau 80C 2 bars
Facile meilleur rendement 80C, 2 bars
17
Plans factoriels complets à deux niveaux
P
Moyenne des réponses au niveau haut de t
80
90
y3
y4
1
70
80
Effet moyen de t
y1
y2
-1
60
70
-1
1
t
Moyenne des réponses au niveau bas de t
Effet moyen de P
18
Plans factoriels complets à deux niveaux
Ajoutons la moyenne
19
Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais T (facteur 1) P(facteur 2) rendement
1 2 3 4 - - - - 60 70 80 95
Niveau - 60C 1 bar
Niveau 80C 2 bars
Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur
20
Plans factoriels complets à deux niveaux
Effet moyen de t
Effet moyen de P
Interaction température pression
21
Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais Moyenne T (facteur 1) P(facteur 2) Interaction rendement
1 2 3 4 - - - - - - 60 70 80 95
diviseur 4 4 4 4
Effet 76,5 6,25 11,25 1,25
22
Plans factoriels complets à deux niveaux
Plan complet à trois facteurs 23
N essai M F1 F2 F3 Rep.
1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - - - - 38 37 26 24 30 28 19 16
23
Plans factoriels complets à deux niveaux
N essai M F1 F2 F3 I12 I13 I23 I123
1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
div. 8 8 8 8 8 8 8 8
Effet 27,5 -1 -6 -4 -0,25 -0,25 0,25 0
Sans effet
24
Plans factoriels complets à deux niveaux
Construction des plans dexpériences Signes du
facteur 1 - - - Signes du facteur 2 - -
- - Signes du facteur 3 - - - -
Etc
25
Plans factoriels complets à deux niveaux
26
Plans factoriels complets à deux niveaux
Sans influence
27
Plans factoriels complets à deux niveaux
1,3,9,11 identiques puisque les facteurs 2 et 4
sont sans influence
28
Plans factoriels complets à deux niveaux
Tout se passe comme si lon avait répété quatre
fois un plan à trois facteurs
29
Plans factoriels complets à deux niveaux
Meilleur résultat Concentration maïs
faible Présence de précurseur Absence de glucose
30
Plans factoriels complets à deux niveaux
Notation matricielle
N essais Moyenne T (facteur 1) P(facteur 2) Interaction TP
1 2 3 4 - - - - - -
transposée
31
Plans factoriels complets à deux niveaux
Matrice vecteur Y des réponses
Matrice vecteur E des effets
soit
XtY4E
EXtY/n
Une fois généralisée
32
Plan du cours
Introduction aux plans dexpériences Problématiqu
e Notion despace expérimental Plans factoriels
complets à deux niveaux 2k Plan à deux
facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de
plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans
factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p Construction des plans fractionnaires Group
e des générateurs daliases Calcul des
contrastes Technique pour désaliaser
33
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Pour 7 facteur, 27 128 essais!!! Pour diminuer
le nombre des essais en conservant la possibilité
d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels
fractionnaires à deux niveaux sont introduits.
34
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Plan complet à trois facteurs 23
Plan fract. 23-1
N essai M F1 F2 F3 Rep.
1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - - - - 38 37 26 24 30 28 19 16
N essai M F1 F2 F3 Rep.
2 3 5 8 - - - - - - 37 26 30 16
On expliquera ce choix plus tard
35
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p

Plan complet Plan fract.
I Fact1 Fact 2 Fact 3 27,5 -1 -6 -4 27,5 -0,75 -6,25 -4,25
Très proches finalement mais quel est le prix à
payer??
36
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Reprenons les calculs de E3 et E12
e3 E3 E12
E3 et E12 sont dits aliasés, e3 peut être appelé
aliase ou contraste ou simplement effet.
37
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Nombre dexpériences divisé par 2. Prix à payer
Les effets calculés ne sont plus  purs , ils
sont mélangés ou aliasés avec les
interactions. Ici les interactions étaient
négligeables donc Interprétations dune
façon générale plus complexe!!
e3 ? E3
38
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Hypothèses dinterprétation 1. Les interactions
du troisième ordre ou plus sont considérées comme
négligeables. 2. Si un contraste est nul, cela
peut signifier que les effets aliasés sont
nuls que les effets aliasés se compensent (cas
rare) 3. Si deux effets sont faibles, on
supposera que leur interaction lest aussi 4. Si
deux effets sont forts, on se mefiera de leur
interaction qui peut également être forte.
39
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
N essai I F1 F2 F3 I12 I13 I23 I123
5 2 3 8 - - - - - - - - - - - -
1 6 7 4 - - - - - - - - - - - - - - - -
1er demi plan
2e demi plan
Identiques pour les facteurs 1 et 2
Notation de Box
Si on considère le ½ plan sup. 3 12
équivalent à e3E3E12 Si on considère le ½ plan
inf. 3 -12 équivalent à e3E3-E12
40
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Sur le premier ½ plan e1 E1 E23 e2 E2
E13 e3 E3 E12 eM I E123
Sur le deuxième ½ plan e1 E1 - E23 e2 E2
- E13 e3 E3 - E12 eM I - E123
Une colonne de signes multipliée par elle-même
donne une colonne de signes I 12 22 32
41
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Générateur daliases Pour le ½ plan sup.
I 123 I x 1 123 x 1 1 1223 1 23 2 13
3 12
générateur daliases
On comprend maintenant le choix des essais 5, 2,
3, 8. On a pris les essais correspondant aux
signes de linteraction 123.
42
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Méthode dangereuse? Non, on peut toujours
réaliser la deuxième moitié du plan sil y a un
doute. Au mieux, seulement la moitié des
expériences est réalisée. Outils qui sadapte
parfaitement à lacquisition progressive des
données
43
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Contruction des plans fractionnaires 2 facteurs
-gt 3 facteurs (23-1 fractionnaire)
N essai M F1 F2 I12
1 2 3 4 - - - - - -
N essai M F1 F2 F3
1 2 3 4 - - - - - -
3 12
On prend une interaction dordre élevé. Ici
I12 Générateur daliases 123
44
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Contruction des plans fractionnaires 3 facteurs
-gt 5 facteurs (25-2 fractionnaire)
I F1 F2 F3 I23 I123
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
I F1 F2 F3 F4 F5 234 1235
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4 23 5123
On prend deux interactions dordre élevé. Ici I23
et I23 Deux générateurs daliases I 234 et I
1235
45
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
46
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Groupe des générateurs daliases des plans 2k-p
Ces deux générateurs daliases I 234 et I
1235 sont dits indépendants. Ils traduisent le
fait que 234 1235 I Si lon multiplie entre
eux les générateurs daliases indépendants, on
obtient I x I 1235 x 234 I 1223245 145 I
234 1235 145 Tous ne présentent que des
signes Le générateur I 145 est dit dépendant
47
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Calcul des contrastes
I 234 1235 145 I x 1 234 x 1 1235 x 1
145 x 1 1 1234 235 45 e1 E1 E1234
E235 E45
48
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Générateur daliases faisons une
parenthèse Imaginons 4 123 5 12 6 23 7
13 Ce qui donne comme GA indépendants I 1234
125 236 137 Les générateurs daliases
dépendants se calculent à partir des générateurs
indépendants en les multipliant 2 à 2, 3 à 3, et
4 à 4
49
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Multiplication 2 à 2 1234 x 125 345 1234 x 236
146 1234 x 137 247 125 x 236 1356 125 x 137
1267 Multiplication 3 à 3 1234 x 125 x 236
2456 1234 x 125 x 137 567 125 x 236 x 137
567 1234 x 236 x 137 3467 Multiplication 4 à
4 1234 x 125 x 236 x 137 1234567
50
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Le GGA devient I 1234 125 236 137 345
146 247 1356 2357 1267 2456 1457
567 3467 1234567 Ouf! Heureusement on
néglige les interactions dordre supérieur à 2
dans les calculs des contrastes.
51
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Notion de résolution On appellera plan de
résolution III, un plan fractionnaire dans lequel
les facteurs principaux seront aliasés aux
interactions dordre 2. Cest le cas dun plan
23-1 défini par I 123 e1 E1 E23 e2 E2
E13 e3 E3 E12 On appellera plan de
résolution IV, un plan fractionnaire dans lequel
les facteurs principaux seront aliasés aux
interactions dordre 3. Cest le cas dun plan
24-1 défini par I 1234 Exemple
52
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Un exemple le gâteau danniversaire
La réponse est la hauteur du cake mesurée en
millimètres. Plus, il sera haut meilleur sera le
résultat. Comme on ne veut pas préparer 32
gâteaux, on décide d'exécuter un plan factoriel
fractionnaire 25-2 en aliasant le facteur 4 sur
l'interaction 123 et le facteur 5 sur
l'interaction 13.
53
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
-


-
Générateur daliases indépendants 1234 et
135 Générateur daliases dépendant 1234 x 135
245 I 135 245 1234
54
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
I 135 245 1234 I x 1 135 x 1 245 x 1
1234 x 1 1 35 1245 234 e0 E0 E135
E245 E1234 ? E0 e1 E1 E35 E1245 E234 ?
E1 E35 e2 E2 E45 E134 E1235 ? E2 E45
e3 E3 E15 E124 E2345 ? E3 E15 e4 E4
E25 E123 E1345 ? E4 E25 e5 E5 E13
E24 E12345 ? E5 E13 E24 e12 E12 E34
E235 E145 ? E12 E34 e14 E14 E23 E125
E345 ? E14 E23
Les contrastes sont simplifiés en tenant compte
des hypothèses d'interprétation (Hypothèse 1)
55
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
e0 ? E0 30 e1 ? E1 E35 -11 e2 ? E2 E45
1 e3 ? E3 E15 -2 e4 ? E4 E25 1 e5 ? E5
E13 E24 12 e12 ? E12 E34 2 e14 ? E14
E23 1
Cinq contrastes sont faibles. D'après l'hypothèse
2, on peut conclure que les effets et les
interactions aliasés dans ces contrastes sont
tous faibles. On néglige les facteurs Durée (2),
Farine (3) et Sucre (4).
56
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
En revanche les contrastes e1 et e5 ne sont pas
négligeables. Il faut donc se méfier de
l'interaction E15 qui pourrait être forte
(Hypothèse 4). Cette interaction est aliasée
avec le facteur 3 dans le contraste e3. Comme ce
contraste est faible, l'interaction l'est aussi
(Hypothèse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2
facteurs influents sur la hauteur du gâteau, la
Température (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y
a pas d'interaction entre ces deux facteurs. Si
l'on veut un gâteau de bonne hauteur, il faut
travailler à 160C (niveau bas) et avec 4 oeufs
(niveau haut).
57
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Technique pour désaliaser Un exemple Un plan
fractionnaire 25-2 On construit un plan de base
23 que lon aliase avec les facteurs
supplémentaires 4 123 et 5 13 Le groupe de
générateur daliases devient I 1234 135
245 On obtient après simplification
58
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Semblent non significatifs
e2 ? E2 E45 ? 0 soit E2 ? 0 et E45 ? 0 e4 ? E4
E25 ? 0 soit E4 ? 0 et E25 ? 0 e12 ? E12 E34
? 0 soit E12 ? 0 et E34 ? 0 e14 ? E14 E23 ? 0
soit E14 ? 0 et E23 ? 0
Semblent significatifs
e1 ? E1 E35 -2,18 e3 ? E3 E15 -3,33 e5 ?
E5 E13 E24 -4,55
Il est difficile de conclure car linteraction 35
peut être différente de zéro étant donné que les
effets 3 et 5 sont influents. De même pour les
interactions 15 et 13
59
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Il faudrait pouvoir calculer les contrastes
e1 ? E1 - E35 e3 ? E3 - E15 e5 ? E5 - E13
Générateur daliases I -135
parce quon obtiendrait
E1 (e1 e1)/2 E35 (e1 - e1)/2
Nous devons donc bâtir un plan complémentaire
4 123 et 5 -13 Avec comme GGA I 1234
-135 -245
60
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux
2k-p
Conclusion Seuls deux facteurs sont influents et
une forte interaction existe entre ces deux
facteurs
E1 E2 E3 E4 E5 E15 E25 E35 E45 E12E34 E13E24 E14E23 I E1234 -1,34 ? 1 -0,78 ? 1 -0,07 ? 1 -0,87 ? 1 -3,84 ? 1 -3,26 ? 1 0,97 ? 1 -0,84 ? 1 0,22 ? 1 0,09 ? 1 -0,71 ? 1 -0,68 ? 1 25,45 ? 1