Aproximacn

1
Aproximacní a interpolacní krivky
2
Interpolace

• Krivka prochází prímo zadanými body

3
Interpolace polynomem

• Lineární 2 body
• Kvadratická 3 body
• Polynom n-tého stupne n1 bodu

4
Lineární interpolace
5
Kvadratická interpolace
6
Interpolace polynomem 4 stupne
Interpolované body (-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1)
(2,-5) Rovnice 16a -8b 4c -2d e 4 a
- b c -d e -3
e 3 a b c d e 1 16a
8b 4c 2d e -5 Rešení a0.458 b-0.75
c-2.95 d1.25 e3 Funkce 0.458x4-0.75x3-
2.95x21.25x3
7
Spline krivka

• Krivka se skládá z úseku vyjádrených polynom
  nižšího stupne, než odpovídá poctu bodu. Krivky
  na sebe v hranicních bodech hladce navazují

8
Lineární spline

• Polynomy prvního stupne.
• V hranicních bodech na sebe navazují spojite.
• Není zarucena spojitost ani první derivace.
• Cesky se tomu ríká lomená cára

9
Kvadratický spline

• Krivka jsou úseky parabol.
• V hranicních bodech na sebe paraboly hladce
  navazují mají spojitou první derivaci.
• Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou)
  spojité.
• Je nejpoužívanejší, pokud se rekne jen spline,
  myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)

10
Kvadratický spline
11
Spline krivky vyšších stupnu

• Kubický funkce po cástech 3-tího stupne
  (kubika), zarucuje spojitost první a druhé
  derivace
• Obecný (n-tého stupne), zarucuje spojitost (n-1).
  derivace.

12
Aproximacní krivky

• Nemusí procházet prímo zadanými body.
• Formálne lze za aproximacní krivku považovat
  libovolnou krivku.
• Problém je nalézt takové vyjádrení, které bude
• Jednoduché
• Bude dostatecne dobre aproximovat danou krivku

13
Aproximace metodou nejmenších ctvercu

• Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího
  stupne, než by byl potreba pro interpolaci bodu).
• Vypocítám takové parametry, aby soucet ctvercu
  odchylek v zadaných bodech byl minimální.
• ?(yi-f(xi))2? min

14
Metoda nejmenších ctvercu
15
Bézierova aproximace (Bézierova krivka)

• Aproximace polynomem daného stupne n-tý stupen
  pro n1 bodu P0,P1,,Pn
• Krivka prochází krajními body P0 a Pn
• Tecna v pocátecním bode P0 je rovnobežná s
  vektorem P0P1.
• Tecna v koncovém bode Pn je rovnobežná s vektorem
  Pn-1 Pn
• Celá krivka leží v konvexním obalu bodu P0, ,Pn

16
Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)
17
Vyjádrení Bézierovy krivky

18
Lineární Bézierova krivka

• B(t) (1-t).P0 t.P1
• Parametrická rovnice úsecky

19
Kvadratická Bézierova krivka

• B(t) (1-t)2P0 2t(1-t)P1 t2P2

20
Kubická Bézierova krivka

• B(t) (1-t)3P0 3t(1-t)2P1 3t2(1-t)P2 t3P3

21
Bézierovy krivky vyšších rádu

• Príklad vzorce pro krivku 5.stupne

22
B-spline

• Úseky Bézierových krivek nižších stupnu (obvykle
  kvadratické a kubické krivky) budou v krajních
  bodech na sebe hladce navázány.

23
Príklad B spline krivky
6 rídících bodu ? 2 paraboly (2 Bézierovy krivky
2, stupne)