NUMERICK

1
NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESu
NAP13
Metoda konecných prvku, bázové funkce,
integrace Generování síte, casove promenná
geometrie Nesítové metody (meshfree)
Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské
techniky CVUT FS 2010
2
MKP, Galerkin
NAP13
V kapitole NAP5 byla popsána metoda vážených
reziduí MVR a trochu detailneji speciální prípad,
metoda konecných prvku MKP. Postupy byly
demonstrovány na 1D problému stanovení rozložení
tlaku pri toku v potrubní síti (obycejná
diferenciální rovnice s druhými derivacemi typu
d2p/dx2f). Pro zopakování
1) Diferenciální rovnici nahradíme požadavkem
anulování váženého residua
2) Integrací per partes snížíme rád derivací v
integrandu (výsledkem je slabá formulace)
3) Rešení p(x) nahradíme aproximací lineární
kombinací bázových (též tvarových) funkcí
4) Galerkinova metoda použije váhové funkce
stejného typu jako bázové funkce WjNj
j1,2,,N
5) Rešení soustavy algebraických rovnic
3
MKP, Galerkin
NAP13
Dvou a trídimenzionální problém se reší stejne
jako 1D, napr.Poissonova rovnice
1) anulování váženého residua
2) Integrace per partes se ve 2D a 3D nazývá
Greenova veta
3) Rešení p(x,y) nahradíme lineární kombinací
bázových funkcí
4) Galerkin
j1,2,,N
Nekdy se váhové funkce Wj konstruují jinak než
funkce bázové (treba asymetrické váhové funkce
orientované proti smeru proudení). Pak se hovorí
o metode Galerkin-Petrov.
4
MKP, Galerkin
NAP13
Predchozí postup (1 až 5) je zcela obecná
Galerkinova metoda a nemusí to ješte být metoda
konecných prvku. Ta je specifická konstrukcí
bázových a váhových funkcí založených na pokrytí
vyšetrované oblasti geometricky jednoduchými
elementy, napr. ve 2D trojúhelníky s uzly ve
vrcholech
Každému uzlu je prirazena práve jedna bázová
funkce (napr. uzlu i funkce Ni(x,y)), která je v
tomto uzlu rovna jedné a ve všech ostatních
uzlech nule (ríká se, že taková funkce má
vlastnost Kroneckerova delta)
Uvnitr každého elementu je Ni definována jako
interpolacní polynom urcený hodnotami v uzlech
elementu. U trojúhelníku se tremi uzly to bude
lineární polynom
jehož 3 koeficienty jsou jednoznacne dány
predepsanými hodnotami 1,0,0 ve vrcholech.
Bázová funkce Ni je tedy ruzná od nuly jen v tech
elementech, které obsahují uzel i.
5
MKP, Galerkin
NAP13
Výsledná bázová funkce je spojitá (lineární
prubeh podél strany elementu je jednoznacne
urcený dvojicí uzlu sdílených sousedními
elementy). Ale na rozhraní elementu
(trojúhelníku) už nemá Ni spojité první derivace,
které se pri prechodu mezi elementy mení skokem.
Tato nespojitost nevadí u problému kde v
integrandu pocítaných koeficientu výsledné
soustavy rovnic jsou jen první derivace. U
problému s diferenciálními rovnicemi se ctvrtými
derivacemi (napr. skorepiny) budou v integrandu i
po provedení operací per partes stále ješte druhé
derivace bázových funkcí a je nutné spojitost
alespon prvních derivací zajistit. V prednášce
NAP5 musely být u 1D nosníku použity Hermiteovské
kubické bázové funkce, ve 2D trojúhelníkových
elementech to už musí být polynomy pátého stupne.
Krome zpusobu definice funkcí Ni je pro konecné
prvky charakteristický zpusob výpoctu integrálu
koeficientu soustavy, napr.
Koeficienty jsou pocítány jako soucet numericky
vycíslených integrálu pres jednotlivé elementy.
Je tedy zrejmé, že správne definovaná sít
elementu nesmí mít prekrývající se elementy
(jejich príspevky by se pocítaly dvakrát) ani v
ní nesmí být žádné díry.
6
Generátory sítí
NAP13
Pro libovolne vygenerovanou množinu uzlových bodu
lze vytvorit odpovídající sít kontrolních objemu
a konecných prvku napr. metodou Voronoj polygonu
(ve 2D i ve 3D)
Metoda kontrolních objemu Metoda konecných prvku
Voronoi polygon Delaunay triangulace
Voronoi kontrolní objem uzlu i. Množina bodu x,y
majících vzdálenost k i menší než vzdálenost ke
kterémukoliv jinému j
i
j
7
Promenná geometrie
NAP13
Komplikace pri aplikaci MKP i CVM zpusobují
inherentne nestacionární prípady s casove
promennou geometrií, které vyžadují dynamické
generování síte konecných elementu nebo objemu.
Typické príklady

• Pístový motor (promenná poloha pístu, eventuálne
  ventilu). Pro každou polohu pístu se bud
  modifikuje stará sít (metody typu Arbitrary
  Lagrangian-Eulerian ALE Encyclopedia of
  Comp.Mechanics 2004, které prizpusobují sít
  pohybujícímu se rozhraní) nebo se generuje nová
  sít (ANSYS YouTube). Podobný prípad je zaplnování
  formy nebo expanze škrobu.
• Jednošroubové extrudery, kompresory a turbiny ci
  míchací zarízení, charakterizované menící se
  vzájemnou polohou stacionárních narážek míchadla
  ci statoru a lopatek rotující turbiny. Pro rešení
  se výpoctová oblast rozdelí na rotující zónu (s
  rotujícím souradným systémem kde se uplatní
  Coriolisovy a odstredivé síly
  ) a stacionární zónu. Na hranici zón
  jsou modelovány silové interakce, ve Fluentu
  napr. metodami MRF (Multiple Reference Plane) se
  zjednodušujícím predpokladem stacionárního toku,
  nebo metodou klouzající síte SM (Sliding Mesh)
  respektující nestacionární charakter toku a
  casove promenná napetí i rychlosti na rozhraní.
• Tretím prípadem jsou extrudery, pricemž zvlášte
  komplikovaný prípad predstavují dvoušroubové
  extrudery

(komplikace pusobí nutnost modelovat tok ve velmi
malých šterbinách mezi šrouby a mezi pláštem)
J.-F. Hétu, F. Ilinca Immersed boundary finite
elements for 3D flow simulations in twin-screw
extruders. Computer and Fluids, 2012
8
Promenná geometrie MKP
NAP13
Prípady s volnou hladinou nebo s interakcí
tekutina/pružná stena (FSI), když geometrie
pohybujícího se rozhraní není apriori známá, se
zpravidla reší metodami typu ALE (uzly/elementy
alespon cástecne sledují pohyb materiálových
bodu). Prípady typu extruder, míchadlo, kdy je
geometrie rozhraní kapalina/tuhá fáze známá, se
mohou rešit fixní sítí elementu, viz zmínené
metody MRF a SM používané v programu Fluent (tj.
v metode kontrolních objemu). Princip aplikací,
které využívají metodu konecných prvku, spocívá v
tom, že se celý objem míchadla nebo extruderu
pokryje fixní sítí ctyr nebo šestistenných
elementu a teprve uvnitr této síte se pohybuje
sít ploch, které reprezentují napr. rotující
šroub extruderu. Existuje rada subvariant
IB-BCE Immerse Boundary, Body Conformal
Enrichment (viz. napr. Hétu J.F., Illinca F.
Immersed Boundary Finite Elements for 3D flow
simulations in twin-screw extruders. Computers
Fluids, 2012). Prakticky totéž je MPT (Mesh
Partitioning Technique), viz. Gupta M. MPT for 3F
simulation of extrusion. ANTEC 2008. Základem je
fixní konecneprvková sít, pres kterou precházi
pohyblivé rozhraní (popsané technikou Level-Set
function) jehož prusecíkem se sítí elementu je
vnorená hranice. Na rozhraní jsou v každém
casovém kroku docasne generovány nové elementy
(každý element je celý bud kapalina nebo teleso).
FDM Fictious Domain Methods (viz. napr.
Bertrand F. et al. Adaptive Finite Element
simulations of fluid flow in twin-screw
extruders. Computers and Chemical Engineering, 27
(2003), pp. 491-500, nebo A. S. Fard et al. FDM
and XFEM for Stokes flow inside complex
geometries. Int. J. Numer. Meth. Fluids 2012
6810311052). Omezující podmínky na pohybujícím
se rozhraní jsou modelovány pomocí Lagrangeových
multiplikátoru. MST Mesh Superposition Technique
(viz. napr. Connelly R.K., Kokini J.L.
Examination of the mixing ability of single and
twin screw mixers using 2D FEM simulation with
particle tracking, J. Food Engineering 79 (2007),
pp.956-969, nebo Emin M.A. Schuchmann
H.P.Analysis of the dispersive mixing efficienty
in twin-screw extrusion. J.Food Engineering 115
(2013),pp.132-143). Metoda je v hrubých rysech
popsána na následující folii.
9
Promenná geometrie MST
NAP13
V metode superpozice sítí (Mesh Superposition
Technique) se generují dve konecneprvkové síte
fixní a dynamická (rotující). V každém case a pro
každý bod (x,y,z) je tím urceno zda bod leží ci
neleží v pohyblivé síti (H0 oznacuje bod v
tekutine, H1 bod, který je soucástí rotujícího
telesa). V každém bode (a v každém konecném
elementu) se reší rovnice transportu hybnosti
a rovnice kontinuity
kde druhý clen je pokutová funkce zajištující
stabilitu rešení a spojitost tlaku (? je
penalizacní parametr jehož zvýšení rešení
vyhlazuje). ANSYS POLYFLOW používá defaultní
hodnotu ?0.01, kvadratické bázové funkce pro
rychlosti a konstantní tlaky v jednotlivých
elementech. Poznámka MST je vlastne jen
zjednodušená verze FDM, která místo pokutové
funkce používá Lagrangeovy multiplikátory.
10
Promenná geometrie MST
NAP13
Connelly R.K., Kokini J.L. Examination of the
mixing ability of single and twin screw mixers
using 2D FEM simulation with particle tracking,
J. Food Engineering 79 (2007), pp.956-969
Rešení jedno a dvoušroubového extruderu
konecneprvkovým programem ANSYS Polyflow
(zobecnená Newtonská kapalina model Carreau).
Poznámka stávající verze MST Polyflow ješte
neumí modelovat viskoelasticitu.
jednošroubový extruder se modeluje snadno (a
mnohem presneji) v rotujícím souradném systému
(šroub stojí, válec rotuje)
dvoušroubový extruder se musí modelovat MST (i za
cenu ztráty presnosti na povrchu šroubu). Nebylo
ani možné použít presnejší metodu klouzající síte
SM, protože rotory se prekrývají
11
Meshless nesítové aproximace funkcí
NAP13
Nutnost generování síte je v rade aplikací vážnou
komplikací (rozvoj mikrotrhlin, nespojitosti,
pohyblivé rozhraní, molekulární dynamika,
biomechanika). To je motivem pro vývoj metod,
které pro definici bázových Ni i váhových Wi
funkcí (ekvivalentní název tvarové a testovací
funkce) nepotrebují sít elementu a Ni, Wj
definují jen na základe souradnic uzlových bodu.
Friedrich
12
Meshless nesítové aproximace funkcí
NAP13
Existují desítky metod, které lze do kategorie
nesítových zaradit, napr. SPH (Smoothed Particle
Hydrodynamics viz predchozí prednáška), Lattice
Boltzman (podobne jako SPH vychází z modelu
cástic), RKPM (Reproducing Kernel Particle
Method, Liularge deformation Mooney), MLPG
(Meshless Local Petrov Galerkin), RBF (Radial
basis function, wave equation). Všechny tyto
metody formálne aproximují hledané funkce
integrály konvolucního typu
Doporucená literatura Shaofan Li, Wing Kam Liu
Meshfree Particle Method, Springer Berlin 2007
(v této monografii je rozebírána vetšina výše
uvedených metod a jejich aplikací z mechaniky
elastoplastických materiálu, rázových jevu,
lomové mechaniky, proudení, biologických systému,
napr. tok a deformace cervených krvinek, dynamika
srdecních chlopní). Prehledový clánek
integrálních aplikací Atluri S.N., Shen S. The
meshless local Petrov Galerkin (MLPG) method,
CMES, vol.3, No.1, (2002), pp.11-51. Ukázka
použití kolokacní metodyShu C., Ding H., Yeo
K.S. Local radial basis function-based
differential quadrature method and its
application to solve two dimensional
incompressible Navier Stokes equations,
Comp.Methods Appl.Mech.Engng, 192 (2003),
pp.941-954
V této prednášce budeme analyzovat trochu blíže
jen nekteré zpusoby konstrukce nesítových
interpolacních funkcí (Shepardovy funkce,
klouzavé ctverce MLS moving least squares, RBF
radial base functions), které lze použít v
integrálech u slabých formulací PDE, tj. u metod
Galerkinovského typu, popsaných v predchozích
odstavcích, ale i v kolokacních metodách, kde
jako testovací funkce se použije Diracova delta
funkce (tj. kdy se požaduje anulování reziduí
rešených rovnic v uzlových bodech).
13
Shepardovy fkce
NAP13
Nejjednodušší koncept aproximacních nesítových
funkcí predstavují Shepardovy funkce, kde Ni(x)
jsou bázové a wi(x) jsou váhové funkce
To, že je aproximace presná pro konstantu, plyne z
ale pro každé x musí být alespon jedna funkce w
ruzná od nuly
Shepardovy funkce jsou úplné jen v prostoru
konstantních funkcí, tzn. jsou schopny presne
popsat jen konstantní funkce (viz následující
príklad). Nicméne jsou spojité a
diferencovatelné. Váhové funkce wi(x) se vztahují
ke každému uzlovému bodu a jsou to bud Gaussovské
funkce (typu exp(-x2)) nebo splajny 4-tého stupne
kde ri je polomer kruhu nebo koule, v níž je
váhová funkce definována (mimo tuto oblast je wi
nulová). Pozn. Koeficienty mocnin 1,-6,8,-3
zajištují nulové derivace splajnu v pocátku i na
hranici d1.
Štíhlost bázových funkcí (ri) lze volit, cím
širší je funkce w (cím vetší r), tím je
aproximace méne lokální a hladší, viz následující
príklad.
14
Shepardovy fkce príklad
NAP13
Príklad, který ukazuje, že Shepardova aproximace
je hladká krivka, která ale neinterpoluje uzlové
hodnoty a není schopna presne popsat ani lineární
prubeh (presne umí popsat jen konstantu)
15
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Nejcasteji se používají nesítové aproximace
v ponekud složitejší variante MLS (moving least
squares) klouzavé metode nejmenších ctvercu.
Princip metody spocívá v nahrazení prubehu F(x)
regresním polynomem (nekdy jen konstantou, casto
lineárním, nekdy kvadratickým polynomem), jehož
koeficienty se stanoví regresí uzlových hodnot
metodou nejmenších ctvercu (N-uzlových hodnot)
kde w(x) jsou váhové funkce, p(x) bázové
polynomy, vektor dimenze M (napr. p1(x)1,
p2(x)x, a jsou koeficienty regresního polynomu
(vektor dimenze M), a ?l uzlové hodnoty
aproximované funkce
16
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Specifikum MLS je v tom, že v každém bode x
oblasti ? (a nemusí to být práve uzlový bod) se
konstruuje jiný regresní polynom s koeficienty
a(x), které závisí na x. Výsledkem je následující
vyjádrení aproximacní funkce
kde matice AMxM a BMxN jsou definovány takto
(M-pocet bázových polynomu, N-pocet dat)
17
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Odvození MLS Prepišme kriterium souctu ctvercu
z vektorové do složkové notace (x je libovolný,
ale vzhledem k optimalizaci pevný bod)
což je soustava algebraických rovnic pro
koeficienty ai(x)
j1,2,,M
odkud již prímo vyplývají výše uvedené vztahy.
18
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Tvarové funkce Nl(x) získané metodou MLS jsou
funkce hladké a tudíž derivovatelné (nekdy
prílišná hladkost až vadí, treba pri rešení PDE
se skokem se menícími koeficienty). Hladkost
ješte neznamená, že by MLS byla napríklad schopná
presne nahradit polynomy libovolného stupne.
Bázové funkce Nl(x) jsou schopny presne popsat
jen obecné polynomy stupne m (cím vyšší m tím
vyšší rád presnosti aproximace) a tento stupen m
je dán volbou použité báze p(x), napr. M1
p1
pouze polynom nultého stupne m0 M3 (2D)
p1,x,y
polynom prvního stupne m1 4 (3D)
p1,x,y,z M6 (2D) p1,x,y,x2,xy,y2
polynom druhého stupne m2 10(3D)
p1,x,y,z,x2,y2,z2,xy,xz,yz
To, že MLS bázové funkce jsou schopny presne
popsat polynomy až do stupne m plyne automaticky
z jejich definice (stací uvažovat konstantní
koeficienty ai)
Pro diferenciální rovnice s druhými derivacemi
(napr. pro transportní rovnice) stací m1, tj.
stací, když numerická aproximace dokáže presne
popsat libovolné lineární rešení. Casto funguje i
varianta m0 (tj. když bázové funkce dokáží
presne popsat alespon konstantní rešení), což je
speciální prípad Shepardových funkcí.
19
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
V metode MLS hrají klícovou roli váhové funkce
wi. Kdyby to nebyly funkce, ale konstanty
(napríklad wi1) byla by matice A i vektor B
konstantní, nezávislá na souradnici x. Tato
varianta byla odvozovaná již v prednášce o
regresní analýze NAP2 (jen pozor na odlišnou
symboliku). Výsledkem (pro konstantní váhy wi) je
ovšem globální aproximace rešení napr. jedinou
lineární funkcí na celé oblasti rešení, což ovšem
znamená vymazání všech lokálních odchylek.
Použití regresní analýzy v klouzavém okénku,
kterážto technika byla vysvetlena rovnež v
prednášce NAP2, sice umožní vystihnout lokální
vlastnosti a k metode MLS s váhovými funkcemi
wi(x) má velmi blízko, jenomže aproximacní funkce
není dostatecne hladká. Tudíž Technika
nejmenších ctvercu s klouzajícím okénkem je možná
vynikající pro filtraci dat (metoda Savitzky
Golay popisovaná v NAP2), ale je méne vhodná pro
definici bázových funkcí použitelných v
integrální formulaci problému.
20
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Porovnání techto trí typu aproximací (MLS,
globální regrese, klouzavé okénko) ukážeme na 1D
príkladu a lineární bázové polynomy
Koeficienty aproximacního polynomu v libovolném
bode x jsou rešením soustavy rovnic
Jako váhové funkce použijeme dríve uvedený splajn
21
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
hladká krivka je MLS (Moving Least Squares) pro
r0.2
r0.2 xlinspace(0,1,1000) xv0.05 0.12 0.2
0.35 0.37 0.39 0.45 0.55 0.61 0.75 0.9
0.92 fi1 2 2 2.5 5 7 6 2 2 8 9
10 nlength(xv) hold off figure(1) plot(xv,fi,'b
') hold on for i11000 Xx(i)
a110a120a220b10b20 for l1n
Ww(l,X,xv,r) a11a11W
a12a12Wxv(l) a22a22Wxv(l)2
b1b1Wfi(l) b2b2Wxv(l)fi(l)
end Aa11 a12a12 a22 Bb1b2
ainv(A)B f(i)a(1)a(2)X end plot(x,f)
zelená cára je lineární regrese ze 3 sousedu
r-polomer váhových funkcí, xv,fi vektory
souradnic a hodnot ? (12 uzlových bodu) a
vykreslení (hvezdicky)
Výpocet aproximace metodou MLS. Váhová funkce w
je definována jako Mfile
L3 for i11000 Xx(i) if Xgtxv(L-1)
Lmin(n,L1) end A3
xv(L-2)xv(L-1)xv(L) xv(L-2)xv(L-1)xv(L)
xv(L-2)2xv(L-1)2xv(L)2
Bfi(L-2)fi(L-1)fi(L)fi(L-2)xv(L-2)fi(L-1)x
v(L-1)fi(L)xv(L) ainv(A)B
f(i)a(1)a(2)X end plot(x,f,'g')
Lineární regrese ze trí sousedních uzlových bodu
(klouzavé okénko)
22
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Váhové funkce (definované jako splajny 4-stupne
(M-funkce))
function weigw(i,x,xv,r) dabs(x-xv(i))/r if
dlt1 weig1-6d28d3-3d4 else
weig0 end
for i11000 Xx(i) a110a120a220
for l1n Ww(l,X,xv,r)
a11a11W a12a12Wxv(l)
a22a22Wxv(l)2 B(1,l)W
B(2,l)Wxv(l) end Aa11 a12a12 a22
Cinv(A)B sumn(i)0 for l1n
N(i,l)C(1,l)XC(2,l)
sumn(i)sumn(i)N(i,l) end end figure(2) for
l13 plot(x,N(,l)) hold
on end plot(x,sumn,'g')
Bázové (nazývané též tvarové) funkce pocítané dle
23
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Zde použité váhové funkce jsou splajny se stejne
širokou základnou (r0.2)
w1
w2
w3
w12
N1
N3
N2
Grafické znázornení prvních trí tvarových funkcí.
Zelená cára je soucet všech tvarových funkcí (1,
tím je dokumentováno, že LMS presne reprezentuje
konstantu).
24
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Shrnme predchozí výsledky MLS
To je nevýhoda MLS aproximace, protože nelze
jednoduše zajistit splnení Dirichletových
okrajových podmínek viz následující folie
25
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Kdyby tvarové funkce splnovaly podmínku
Kroneckerova delta, stacilo by zajistit
Dirichletovu okrajovou podmínku tak, že
požadovaná hodnota ? na hranici by byla prímo
uzlový parametr a v Galerkinove formulaci by
mohla být hodnota odpovídající váhové funkce w
nulová. Napríklad pri rešení dríve uvedené
Poissonovy rovnice pro tlak p, který je predepsán
na celé hranici ? oblasti ?, by slabá formulace
vypadala takto
Pokud tvarové funkce vlastnost Kroneckerova delta
nemají, musí se použít metoda pokutové funkce
nebo metoda Lagrangeova multiplikátoru (ta je
dost podobná, místo voleného penalizacního
parametru ? je optimalizovaný multiplikátor ?)
26
Klouzavé ctverce MLS
NAP13
Galerkinova metoda rešení PDE vyžaduje umet
pocítat integrály derivací tvarových funkcí dle
souradnic x,y,z. Derivace libovolného rádu se
pocítají prímo z definice tvarových funkcí
(uvedomte si, že na rozdíl od metody konecných
prvku zde nejsou žádná rozhraní mezi elementy a
tudíž mizí problémy nespojitostí).
a parciální derivace invertované matice A se
pocítají na základe identity
Výrazy pro derivace vyšších rádu lze nalézt napr.
v clánku Atluri S.N., Shen S. The meshless local
Petrov Galerkin (MLPG) method, CMES, vol.3, No.1,
(2002), pp.11-51
27
Radiální bázové funkce RBF
NAP13
Nepríjemnou vlastností predchozích tvarových
funkcí (metoda MLS-moving least squares, jejímž
speciálním prípadem jsou Shepardovy funkce, ale i
další príbuzné interpolacní funkce) je to, že
nemají vlastnost Kroneckerova delta, což
komplikuje numerickou realizaci Dirichletových
okrajových podmínek. Existuje ale jedna výjimka,
a tou je interpolace radiálními bázovými funkcemi
RBF, napr.
Kompaktní nosic (kruh nebo koule)
Ri-radiální bázová funkce i-tého uzlu s
kompaktním nosicem
xi
x
ri
Wu Z. Compactly supported positive definite
radial functions. Adv.Comp.Math. 4, pp.389-396
(1995)
Poznámka Budte opatrní pri ctení odborné
literatury kde je pod pojmem radiální bázová
funkce RBF míneno casto neco, co nemá kompaktní
nosic a muže to být funkce, která není omezená a
utíká do nekonecna (viz další folie).
28
Radiální bázové funkce RBF
NAP13
RBF interpolacní funkce ovšem nemusí mít
kompaktní nosic (tj. nemusí být koncentrované jen
kolem svého uzlu). Typickými príklady jsou RBF
(multiquartic funkce)
(thin plate spline)
Aproximace, která interpoluje N hodnot ?i v
uzlových bodech i1,,N je lineární kombinací
techto RBF
a N koeficientu ?1,, ?N je dáno rešením soustavy
lineárních algebraických rovnic
Tvarové funkce jsou tedy
a vlastnost Kroneckerovo delta plyne z
29
Radiální bázové funkce RBF
NAP13
Interpolacní funkce je jednoznacná, pokud matice
soustavy Rij není singulární, což se nekdy muže
stát (napr. když první uzlový bod je v centru a
ostatní uzlové body leží na povrchu jednotkové
koule , budou v prvním
rádku i sloupci samé nuly, takže determinant
matice soustavy bude nulový). Nepríjemnou
vlastností RBF je ale predevším neschopnost
popsat presne konstantní funkce (i lineární
kombinace ?, která nabývá v uzlech konstantní
hodnoty, se mezi temito uzly stále trochu vlní).
Tuto nectnost lze odstranit pridáním konstanty
N1 neznámých koeficientu této modifikované
interpolacní funkce musí splnovat N
interpolacních podmínek
a také podmínku
Pozn. pro presnou aproximaci konstanty ?(x)?1
musí být všech N koeficientu ?i rovno nule.
30
Radiální bázové funkce RBF
NAP13
Predchozí koncept lze snadno zobecnit a doplnit
lineární kombinaci RBF o lineární kombinaci
polynomu
kde napr.
pro M3. Krome N interpolacních podmínek je
tedy treba mít M dalších rovnic
napr.
Dukaz toho, proc je treba formulovat dodatecné
podmínky výše uvedeným zpusobem a že je tím
zajišten presný popis všech polynomu až do stupne
m, uvádí Charles A. Micchelli Interpolation of
Scattered Data Distance Matrices and
Conditionally Positive Definite Functions.
Constr. Approx. (1986) 211-22. Pro mne je to
príliš složité. Nabízím 100 Kc tomu, kdo mi to
vysvetlí inženýrským zpusobem (proste tak, abych
tomu rozumel).
31
Aplikace
NAP13
Friedrich
32
Aplikace
NAP13
Friedrich
33
Aplikace
NAP13
Local topology each point is associated with
nearest NF points

This is Hardy multiquadrics radial base function
Friedrich
34
Aplikace
NAP13
35
Aplikace
NAP13
Benchmark-pure convection
36
Aplikace
NAP13
FLUENT 6.2