Kein Folientitel

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2. Marktpreisrisiko
2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung
? Portfolio ? Marktparameter ?
Beoboachtungszeitraum ? Liquidationszeitraums
? Wahrscheinlichkeitsniveau
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Festlegung des Portfolios ? Portfolio
Zusammenfassung von Finanzinstrumenten
(z.B. Kauf oder Verkauf von Aktien, Anleihen,
OTC-Optionen, Gewährung von Krediten) ?
Gesamtportfolio ? Teilportfolio ? Frage der
Aggregation ? Bildung der Teilportfolios in
Abhängigkeit der Organisationsstruktur
(z.B. nach Regionen und Produkten) ? Zerlegung
von komplexen Finanzinstrumente in ihre
Bestandteile
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Identifikation der Marktparameter ?
Marktparameter (?) (z.B. Währungskurse,
Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes, implizite
Volatilitäten) ? Funktion zur Bestimmung des
Portfoliowertes in Abhängigkeit der Parameter
(z.B. Optionspreisformel von Black-Scholes)
Festlegung des Beobachtungszeitraums ?
Beobachtungen der Vergangenheit Zeitreihe ?
Frage, wie viele und welche Werte aussagekräftig
für Zukunft ? ? Anzahl der einbezogenen Werte
meist 90 - 250 ? Bankenaufsicht Interne Modelle
mit Beobachtungszeitraum von mind. 1 Jahr ! (250
Tage/52 Wochen)
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Festlegung des Liquidationszeitraums/Haltedauer
? Betrachtungszeitraum, für den Wertveränderungen
aufgrund von Markteinflüssen beobachtet werden ?
Annahme Positionen werden während Haltedauer
nicht verändert (stattfindende Handelsaktivitäten
werden vernachlässigt) ? Haltedauer abhängig von
Möglichkeit der Glattstellung ? Glattstellung
durch Verkauf der Position oder Hedging ?
Glattstellung abhängig von Liquidität der
einzelnen Märkte ? Handelsaktivitäten - häufig
Haltedauer von 1 Tag (overnight) ?
Bankenaufsicht Interne Modelle mit Haltedauer
von mind. 10 Tagen! (bei Optionen auch kürzer)
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Festlegung des Wahrscheinlichkeitsniveaus ? VaR
Verlustpotential, das mit einer bestimmten
Wahrschein-lichkeit P während der Haltedauer
nicht überschritten wird ? VaR
Verlustpotential, das mit einer bestimmten
Wahrschein-lichkeit p (p 1 - P) während der
Haltedauer überschritten wird ? P
Konfidenzniveau ? p Quantil ? Berechnung des
Verlustes aus Normalverteilung in Abhängigkeit
von ? und ? ? Konfidenzniveau P meist
zwischen 95 - 99 ? Bankenaufsicht Interne
Modelle mit Konfidenzniveau von 99 !
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2.2 Varianz- Kovarianz-Ansatz ? verschiedene
Verfahren, die sich hinsichtlich der
Modellvariablen unterscheiden (Wertänderungen,
Rendite, Marktparameter) ? jede der
Modellvariablen Zufallsgröße mit bekannter
Verteilung ? Darstellung der Berechnungsverfahre
n ? in Realität Verteilung der Zufallsgröße
unbekannt ? statistische Verfahren zur Ermittlung
der Verteilung
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2.2.1 Varianz-Kovarianz- Ansatz mit
Wertänderungen ? Annahme Wertänderung (?V Vt
- Vt-1) während Haltedauer einer Position ist
normalverteilt! ? Normalverteilung ??V
Mittelwert der Wertänderung ??V
Standardabweichung, Preisvolatilität ? bei
vorgegebenem Konfidenzniveau Bestimmung des VaR
durch Quantil
lt 2.1 gt Ein Investor hält am 31.3.95 eine
Position von 100 Millionen CHF (Gegenwert 121,33
Mio DM). In den letzten drei Monaten hatten die
täglichen Erträge aus dieser Position einen
Mittelwert von 46.093,75 DM und eine
Standardabweichung von 268.697,96 DM. Das VaR zu
einer Wahrscheinlichkeit von 97,5 kann nun über
das 2,5-Quantil bestimmt werden.
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? Annahme Wertänderungen eines Portfolios
normalverteilt ?? ? Annahme Wertänderungen
der Assets in Portfolio gemeinsam sind
normalverteilt !!
lt 2.2 gt Ein Investor hält am 31.3.95 zwei
Positionen 1. Position vgl. vorne 2. Position
Shortposition in Höhe von 50 Mio USD (Gegenwert
69,19 Mio DM) Tägliche Erträge der letzten 3
Monate Mittelwert von 2.679,69 DM (je 1 Mio
USD) Standardabweichung von 11.315,68 DM (je 1
Mio USD)
U1 100, V1 121,33 Mio DM, ??V1 460,94 DM,
??V1 2.686,98 DM U2 -50, V2 -69,19 Mio DM,
??V1 -2.679,69 DM, ??V2 11.315,68 DM
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U1 100, V1 121,33 Mio DM, ??V1 460,94 DM,
??V1 2.686,98 DM U2 -50, V2 -69,19 Mio DM,
??V1 -2.679,69 DM, ??V2 11.315,68 DM
? Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios
??PF U1 ??V1 U2 ??V2
??PF 100 460,94 (-50) (-2.679,69)
0,1801 Mio DM
? Standardabweichung der Wertänderungen des
Portfolios Intuition!!???? ??PF U1
??V1 U2 ??V2
??PF 100 2.686,98 (-50) 11.315,68
-297.086 ? i.d.R. falsch!!!
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? Analyse der Varianz eines Portfolios muß die
Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten der
Assets berücksichtigen !
Kovarianz ?
Korrelationskoeffizient (-1 ? ? ? 1)
? Varianz des Portfolios
? Standardabweichung der Wertänderungen des
Portfolios
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Möglichkeitenkurve in Abhängigkeit von ?
? keinerlei Diversifikationseffekt bei ? 1,
bei perfekter positiver Korrelation
? maximaler Diversifikationseffekt bei ? -1 ?
Portfolio-Volatilität von 0 und sichere Rendite
? i.d.R. hyperbelförmiger Verlauf der
Möglichkeitenkurve (-1 lt ? lt 1)
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? bei gegebener Korrelation ?12 -0,5870
??PF 0,7555 Mio DM
VaR des Portfolios zu einer Wahrscheinlichkeit
von 97,5
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? Übertragung auf beliebig große Portfolios
? Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios
? Standardabweichung der Wertänderungen des
Portfolios
? VaR des Portfolios
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? Nachteil Theoretische Fundierung der
Normalverteilung der Wertänderungen kaum möglich
2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen ?
Renditen der Assets in Portfolio gemeinsam sind
normalverteilt !!
? Rendite während der Haltedauer
? gemeinsame Normalverteilung der Renditen
bestimmt durch
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? Wert der N Assets des Portfolios VT (V1,
V2, ..., VN)
? Anteilsvektor vT (v1, v2, ..., vN) mit
? alternativer Anteilsvektor nach Lintner
? Mittelwert der Renditen des Portfolios
? Standardabweichung der Wertänderungen des
Portfolios
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(No Transcript)
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lt 2.3 gt Ein Investor hält am 31.3.95 zwei
Positionen 1. Position Long-Position über 100
Mio CHF ( 121.33 Mio DM) 2. Position
Shortposition über 50 Mio USD ( 69,19 Mio
DM) Tägliche Rendite der letzten 3 Monate -
CHF Mittelwert von 0,0387 Standardabweichung
von 0,2260 Tägliche Rendite der letzten 3 Monate
- USD Mittelwert von -0,1794
Standardabweichung von 0,7807 Korrelation der
Renditen ?r1,r2 -0,5845
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? Rendite-Quantil bei Wahrscheinlichkeitsniveau
von 97,5
? VaR
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? Normalverteilungsannahme der Renditen nicht
unproblematisch!
? Ränder der tatsächlichen Häufigkeitsverteilung
werden durch Normalverteilung unterschätzt
? Häufigkeitsverteilung hat um den Mittelwert
höhere Werte als die Normalverteilung
? Verteilung oft linksschief (mehr Beobachtungen
in der linken als in der rechten Seite)
? Renditen sind zeitlich korreliert
? Aufgabe der Normalverteilungsannahme
vernichtet Vorteil, daß Risiko relativ einfach
durch Mittelwert und Standardab-weichung
Zeitreihenanalyse um Volatilität der Verteilung
der Zufalls-variablen zu prognostizieren
beschreibbar!
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2.3 Darstellung der Schätzverfahren
? Varianz-Kovarianz-Ansatz Zufallsvariable ?
normalverteilt
? Spezifizierung der unbekannten Verteilung
durch Schätzung von ?, ?, ? (Kovarianzmatrix)
? Zeitreihenanalyse, um Volatilität der
Verteilung der Zufalls-variablen zu
prognostizieren (für Haltedauer 1 Tag)
? Verfahren - Empirische Schätzungen -
Exponentielles Glätten - ARCH und GARCH
Modelle - Implizite Volatilitäten
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2.3.1 Empirische Schätzungen
? Annahme Entwicklung der Parameter gemeinsam
folgt einem stationären stochastischen Prozeß
ohne zeitliche Korrelation
? Beobachtungswerte eines Parameters
Realisation der Zufallsvariable
? Schätzung des Mittelwertes durch empirischen
Mittelwert,
? Schätzung der Volatilität durch empirische
Standardabweichung
der Zeitreihe
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? Betrachtung mehrerer Parameter
? z.B. Zeitreihen zweier Parameter ?1 und ?2
? Bestimmung des empirischen Korrelationskoeffizi
enten
mit
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? Wahl des Beobachtungszeitraums!! ?
Fiktiver Kursverlauf mit steigender Volatilität
? Grundannahmen?! - konstante Mittelwerte und
Volatilitäten der einzelnen Parameter - Werte
einzelner Parameter unkorreliert im Zeitablauf
- verschiedene Parameter unkorreliert im
Zeitablauf
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Korrelationsschätzungen (B 90 Tage) am
Beispiel USD/DEM mit JPY/DEM in der Zeit vom
12.5.1993 bis zum 31.07.95 ? ? zwischen 0,07 und
0,72