Kein Folientitel

1
Portfolioverlustverteilung Modellierung von
Abhängigkeiten bei den Ausfällen kontinuierliche
Bonitätsvariablen

• Neben den gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten
  lassen sich mit Hilfe der bivariaten
  standardisierten Normalverteilung auch gemeinsame
  Übergangswahrscheinlichkeiten in beliebige
  Ratingklassen berechnen.
• Die Integrationsgrenzen über die bivariate
  Verteilungsfunktion ergeben sich bei einem
  Initialrating von BBB für Schuldner 1 und A für
  Schuldner 2 bei Zugrundelegung der
  Übergangswahrscheinlichkeiten aus dem vorletzten
  Beispiel aus folgendem Schema

Aktienrendite Schuldner 1
AAA
AA
1,98
Schuldner 1 bleibt in BBB und Schuldner 2 in A
A
Aktienrendite Schuldner 2
-1,51
BBB
BB
B
CCC
D
BBB
BB
B
CCC
D
A
AA
AAA
2
Risikomaße Allgemeines

• Ein Risikomaß ist eine Kennzahl, die
  aus der Verlustverteilung eines Portfolios
  abgeleitet wird und das Risiko des Portfolios
  beschreiben soll.
• Es existieren viele verschiedene Risikomaße.
• Die wichtigsten sind
• Erwartungswert (erwarteter Verlust)
• Varianz bzw. Standardabweichung (unerwarteter
  Verlust ULP)
• Value-at-Risk (sowie unerwarteter Verlust bezogen
  auf Konfidenzniveau, UL(a))
• Expected Shortfall
• Der Value-at-Risk sowie der Expected Shortfall
  sind Maße für das sog. tail risk, d.h. sie
  beschreiben unter Berücksichtigung eines
  Konfidenzniveaus extreme Verlustereignisse im
  Ausläufer der Verlustverteilung, der hohen
  Verlustbeträgen entspricht.

3
Risikomaße Erwartungswert und Standardabweichung

• Der erwartete Verlust ist formal definiert als
• Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist
  definiert über die Varianz der Portfolioverlustver
  teilung
• Kritik Die Varianz bzw. Standardabweichung
  erfasst Abweichungen nach oben und nach unten gt
  Widerspruch zum Begriff des Risikos schlecht
  bei asymmetrischen Verteilungen

Erwarteter
Verlust
sPULP
Verlust
4
Risikomaße Risikomaße für das Tail Risk
Value-at-Risk

• Implizite Definition
• Sei ein Konfidenzniveau a (0 lt a lt 1) fixiert.
• Dann ist der Value-at-Risk einer
  Verlustverteilung implizit definiert als
• Der Value-at-Risk ist gerade das a.100-Quantil
  der Verteilung der Verlustvariablen .
• Explizite Definition
• Sei ein Konfidenzniveau a (0 lt a lt 1) fixiert.
• Dann ist der Value-at-Risk einer
  Verlustverteilung explizit definiert als
• Bei einer Normalverteilung besteht eine
  11-Beziehung zwischen ULP und VaR So gilt z.B.
  für a 95 1,65 s VaR(95)

5
Risikomaße Risikomaße für das Tail Risk
Value-at-Risk

• Bestimmung VaR(a) für diskrete Verteilungen
• Konstruktion der kumulierten Wahrscheinlichkeiten
  der Portfolioverlustverteilung (Verluste seien
  positiv)
• Bestimmung des kleinsten Verlustbetrags, zu dem
  die kumulierte Wahrscheinlichkeit größer oder
  gleich a ist. Dieser Verlustbetrag ist der
  gesuchte VaR(a).
• Beispiel Ein Portfolio besteht aus zwei Krediten
  an zwei Schuldner A und B in Höhe von jeweils 1
  Mio EUR. Die PD der Schuldner betrage jeweils 3,
  der LGD jeweils 100 und die Ausfallkorrelation
  50. Berechnen Sie den VaR des Portfolios zum
  Konfidenzniveau 98.
• Lösung
• Zur Bestimmung der Portfolioverlustverteilung
  sind folgende Ereignisse zu betrachten
• Fall 1 Schuldner A und Schuldner B fallen aus
• Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses
  Ereignis über den Erwartungswert
• E(1A 1B) rAB sA sB PDA PDB rAB ( PDA
  (1-PDA) PDB (1-PDB) )0,5 PDA PDB
• 50 x (3 x 97 x 3 x 97)0,5 3 x 3
  1,545

6
Risikomaße Risikomaße für das Tail Risk
Value-at-Risk
Fall 2 Schuldner A fällt aus und Schuldner B
fällt nicht aus Berechnung der
Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den
Erwartungswert E(1A (1-1B)) E(1A) E(1A 1B)
3 - 1,545 1,455 Fall 3 Schuldner A fällt
nicht aus und Schuldner B fällt aus Berechnung
der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über
den Erwartungswert E((1-1A) 1B) E(1B) E(1A
1B) 3 - 1,545 1,455 Fall 4 Schuldner A
fällt nicht aus und Schuldner B fällt nicht
aus Berechnung der Wahrscheinlichkeit für
dieses Ereignis über den Erwartungswert
E((1-1A) (1-1B)) 1 - E(1A) - E(1B) E(1A
1B) 1 3 - 3 1,545 95,545 Portfoliover
lustverteilung
VaR(98) kleinster Verlustbetrag mit
kumulierter Eintrittswahrscheinlichkeit größer
gleich 98
7
Risikomaße Risikomaße für das Tail Risk
Value-at-Risk und seine Zerlegung

• Der Value-at-Risk wird für Zwecke des
  Risikomanagements häufig zerlegt in den
  erwarteten und unerwarteten Verlust.
• Der in Zusammenhang mit dem Value-at-Risk
  definierte unerwartete Verlust hängt vom
  Konfidenzniveau ab und ist wie folgt definiert
• Achtung In Literatur und Praxis wird der Begriff
  des unerwarteten Verlusts für verschiedene
  Sachverhalte verwendet
• ULi unerwarteter Verlust für den Einzelschuldner
• ULP unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
  (definiert über Varianz)
• UL(a) unerwarteter Verlust als Teil des VaR zum
  Konfidenzniveau a

Unerwarteter
Erwarteter
Verlust
Verlust zum Konfidenzniveau 99
Tail risk
sPULP
Verlust
VaR
(99)
8
Risikomaße Value-at-Risk in der
Unternehmenssteuerung

• Wahl des Konfidenzniveaus
• Höheres Konfidenzniveau ? höherer Value-at-Risk
• Höheres Konfidenzniveau impliziert insbesondere
  bei Simulationsmodellen weniger Beobachtungen und
  damit größere Fehler bei der Quantifizierung
• Höheres Konfidenzniveau impliziert größere
  Unsicherheiten beim Backtesting.
• Die Wahl des Konfidenzniveaus hängt von der mit
  der VaR-Betrachtung verfolgten Zielsetzung ab.
  Dabei können verschiedene Zielsetzungen im
  Unternehmen verfolgt werden, die zu einer
  Verwendung des VaR bei verschiedenen
  Konfidenzniveaus führen.
• Häufig Verwendung als Vergleich (Benchmark)
  innerhalb des Unternehmens im Rahmen der
  operativen Steuerung gt Konsistenz zwischen
  Bereichen ist wichtig, typischerweise eher
  moderate Konfidenzniveaus, z.B. 90
• Bestimmung des benötigten ökonomischen Kapitals,
  um den Konkurs zu vermeiden gt Abhängigkeit vom
  eigenen Zielrating, strategische Steuerung,
  typischerweise sehr hohe Konfidenzniveaus

9
Risikomaße Value-at-Risk in der
Unternehmenssteuerung
Erwarteter
Verlust
Beispielhaft Verwendung der 1-Jahres-PDs von SP
sPULP
Verlust
AA VaR(99,99)
A VaR(99,95)
BBB VaR(99,63)
10
Risikomaße Value-at-Risk Kritik

• Verhalten der Verlustverteilung oberhalb des VaR
  wird nicht berücksichtigt
• Extremszenarien fehlen
• Beispiel VaR(99)
• Welche Verluste können bei Überschreitung des
  Value-at-Risk auftreten?
• Verschiedene Verteilungen geben verschiedene
  Antworten
• Die für die Bank gefährlichen Extremszenarien
  werden mit dem VaR nicht ausreichend
  quantifiziert
• VaR ist durch Stress-Tests zu ergänzen!

1
1
1
11
Risikomaße Value-at-Risk Kritik

• Der Value-at-Risk ist kein subadditives
  Risikomaß.
• Ein Risikomaß r ist dann subadditiv, wenn für
  zwei Portfolien P1 und P2 gilt
• Intuitiv spiegeln sich in der Subadditivität
  Diversifikationseffekte wider.
• Beispiel für das nicht subadditive Verhalten des
  Risikomaßes VaR
• Zwei Kreditpositionen, die unabhängig
  voneinander ausfallen können
• Kreditposition 1 EUR 1 Mio, LGD
  100 Kreditposition 2 EUR 1 Mio, LGD 100
• Ausfallwahrscheinlichkeit 3 Ausfallwahrscheinl
  ichkeit 3
• gt VaR(95) 0 gt VaR(95) 0

Portfolio aus den Kreditpositionen 1 und 2
kein Ausfall Wahrscheinlichkeit
94,1 Mindestens ein Ausfall
Wahrscheinlichkeit 5,9 gt VaR(95) EUR 1 Mio
gt 0 gt keine Subadditivität

• Wie wäre die Situation bei vollständiger
  Abhängigkeit (z.B. identische Schuldner)?

12
Risikomaße Expected Shortfall (Tail Conditional
Expectation)

• Der Expected Shortfall ES(a) zu einem gegebenen
  Konfidenzniveau ist der Erwartungswert, der unter
  der Bedingung gebildet wird, dass der
  Value-at-Risk bei diesem Konfidenzniveau
  überschritten ist.

Im diskreten Fall enthält der Nenner die Summe
der Eintrittswahrscheinlichkeiten für Verluste,
die größer als der VaR sind.
Erwarteter
Unerwarteter
Verlust
Verlust
Der Expected Shortfall ist ein subadditives
Risikomaß.
VaR
ES
Verlust
(99)
(99)
13
Risikomaße Expected Shortfall (Tail Conditional
Expectation)

• Nachweis der Subadditivität für das Beispiel
• Schuldner 1
• ES(95) (3 x 1 ) Mio Euro / (3) 1 Mio
  Euro.
• Schuldner 2
• ES(95) 1 Mio Euro
• Der Expected Shortfall für das Portfolio aus
  beiden Exposures beträgt
• (0,0009 x 2) Mio EUR / (0,0009) 2 Mio EUR lt
  (1 1) Mio ÉUR gt Subadditivität ist erfüllt

ES(95) für Schuldner 1
ES(95) für Schuldner 2
14
Risikomaße Beispielhafte Berechnung aus der
Verlustverteilung

• In einem Portfolio befinden sich zwei Exposures
  gegenüber Schuldnern, die unabhängig voneinander
  ausfallen.
• Exposure von Schuldner 1 EUR 10.500
• Ausfallwahrscheinlichkeit 2,5
• Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von
  40 einen Wert von 75 und mit einer
  Wahrscheinlichkeit von 60 einen Wert von 30.
• Exposure von Schuldner 2 EUR 10.000
• Ausfallwahrscheinlichkeit 2,0
• Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von
  40 einen Wert von 80 und mit einer
  Wahrscheinlichkeit von 60 einen Wert von 31,5.
• Berechnen Sie die Portfolioverlustverteilung,
  den erwarteten Verlust des Portfolios sowie
  Value-at-Risk, unerwarteten Verlust und Expected
  Shortfall für die Konfidenzniveaus 99,0 und
  99,95.

15
Risikomaße Beispielhafte Berechnung aus der
Verlustverteilung
16
Risikomaße Beispielhafte Berechnung aus der
Verlustverteilung

• Der erwartete Verlust des Portfolios beträgt
  227,8 Euro.
• Unerwarteter Portfolioverlust
• Schuldner 1 Der mittlere LGD beträgt
• 0,40 x 0,75 0,60 x 0,30 48
• Die Varianz des LGD beträgt
• sL2 40 x 0,272 60 x 0,182 0,0486
• Der unerwartete Verlust beträgt damit
• Schuldner 2 Der mittlere LGD beträgt
• 0,40 x 0,80 0,60 x 0,315 50,9
• Die Varianz des LGD beträgt
• sL2 40 x 0,2912 60 x 0,1942 0,056454
• Der unerwartete Verlust beträgt damit

17
Risikomaße Beispielhafte Berechnung aus der
Verlustverteilung

• VaR(99) 7875 Euro.
• UL(99) (7875 227,8) Euro 7647,8 Euro.
• ES (99) (62,4 1,32 1,34 1,27) /
  (0,780,0120,0120,008) Euro 8168,7 Euro
• VaR(99,95) 8000 Euro.
• UL(99,95) (8000 227,8) Euro 7772,2 Euro.
• ES(99,95) (1,32 1,34 1,27)
  /(0,0120,0120,008) Euro 12281,25 Euro

18
Kreditrisikomodelle Kausalmodell oder
statistisches Modell?

• Modellieren die ökonomische Ursache des
  Kreditausfalls über den Firmenwert (vgl. Kap.
  Ratings)
• Ausfallkorrelationen werden durch das
  mikroökonomische Modell bestimmt
• Generell anfälliger auf unplausible
  Modellannahmen
• Beispiele
• CreditMetrics (JP Morgan)
• RiskFrontier (Moodys KMV)

• Modellieren den Ausfall statistisch (ggfs. unter
  Anknüpfung an die Makroökonomie)
• Ausfallkorrelationen kommen über gemeinsame
  (makroökonomische oder latente) Einflussfaktoren
  zustande
• Generell anfälliger auf schlechte Inputdaten
• Beispiele
• CreditRisk (Credit Suisse)
• CreditPortfolioView (McKinsey)

Strukturelle Modelle
Reduzierte Modelle
19
Kreditrisikomodelle Welche Ereignisse
berücksichtigt das Kreditrisikomodell

• Risiko des Ausfalls der Gegenpartei
• Betrachtetes Verlustereignis Realisierter
  Verlust
• Verlustereignis ist immer relevant
• Immer Modellieren die ökonomische Ursache des
  Kreditausfalls über den Firmenwert (vgl. Kap.
  Ratings)
• Buchverlust als tatsächlicher Verlust

• Risiko einer Bonitätsverschlechterung
  (Ratingverschlechterung) der Gegenpartei
• Betrachtetes Verlustereignis Buchverlust bei
  Marktbewertung
• Bei Marktbewertung ist Verlustereignis immer
  relevant bei Verwendung des Buchwerts für die
  GuV (z.B. gemäßigtes Niederstwertprinzip,
  Buy-and-Hold) ist Verlustereignis nur relevant
  bei Veräußerung vor Laufzeitende
• Übergang in den Default als eine mögliche
  Ratingverschlechterung

Default-Mode
Mark-to-Market
20
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Risiko einer
Einzelposition
PD-Rating
Rang
Credit Spread
Migrations- wahrscheinlichkeit
Recovery Rate bei Ausfall
Barwert Neubewertung
Standardabweichung des Wertes der Einzelposition
(abhängig von den Wertveränderungen aufgrund
möglicher Bonitätsverschlechterungen)
21
Kreditrisikomodelle CreditMetrics historische
Übergangsmatrix als Input
22
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Mögliche
Ratingveränderungen eines Bonds

• Beispiel 5-Jahres-Kuponbond
• Kupon 6
• Rating BBB (Senior Unsecured)
• Nominalbetrag 100
• Mögliche Ratings des Bonds in einem Jahr
• AAA 0,02
• AA 0,33
• A 5,95
• BBB BBB 86,93
• BB 5,30
• B 1,17
• CCC 0,12
• Default 0,18

23
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Historische
Recovery Rates als Input
24
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Wertverteilung
einer einzigen Position nach einem Jahr
Aktuelles Rating 8 mögliche Zustände in einem
Jahr Wahrschein- Lichkeiten Bondwert (aufgrund
Forward Rate)
BBB
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
0,02
0,33
5,95
86,93
5,30
1,17
0,12
0,18
109,35
109,17
108,64
107,53
102,01
98,09
83,63
51,13
E 107,09 s 2,99
25
Kreditrisikomodelle CreditMetrics
Berücksichtigung von Korrelationen

• Für die Ermittlung der Ausfallkorrelationen
  werden Korrelationen von Aktienrenditen
  herangezogen.
• Die Veränderungen des Aktienrenditen werden als
  normalverteilt angenommen.
• Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit zweier
  Schuldner

Stochastische Aktienrendite
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
A
AA
BBB
D
CCC
B
BB
-1,53
2,70
3,54
-2,91
-2,75
-2,18
-1,49
26
Kreditrisikomodelle CreditMetrics
Berücksichtigung von Korrelationen

• Wirkung der Korrelation auf die gemeinsame
  Ausfallwahrscheinlichkeit
• r 0 0,0018 x 0,0018 0,00000324
• r 1 0,0018
• r 0,5 0,000122 0,066 x 0,18 x 99,82
  0,18 x 0,18
• Ausfallkorrelation
• r 0,5 gt rAB 0,066
• r 0,915 gt rAB 0,5

27
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Modellübersicht
Ratingdaten, Aktienkurse, Indizes
Benutzerportfolio
PD
-
Rating
Rang
Credit
Spread
Migrations
-
Recovery
Rate
Barwert
Marktvolatilitäten
Modelle
wahrscheinlichkeit
bei Ausfall
Neubewertung
Standardabweichung des Wertes der Einzelposition
(abhängig von
Exposure-Verteilung
Gemeinsame Verteilung
-
den Wertveränderungen aufgrund möglicher
Bonitätsverschlechterun
gen)
Value-at-Risk des Portfolios aufgrund von
Kreditrisiken
28
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Berechnung des
Credit Value-at-Risk mit Monte-Carlo-Simulation

1. Simulation von N multivariat standardnormalverteil
   ten Zufallsvariablen mit der richtigen
   Korrelation
2. Für jedes der N Instrumente im Portfolio
3. Ablesen des Ratings gemäß Z-Werten
4. Einsetzen der Forward-Bewertung gemäß Rating
5. Wenn Default Simulation der Recovery Rate gemäß
   Seniority aus einer Beta-Verteilung mit dem
   historischen Erwartungswert und der historischen
   Standardabweichung
6. Wiederholung der obigen Schritte (z.B. 10000mal)
7. Sortieren und Ablesen des Value-at-Risk

29
Kreditrisikomodelle CreditMetrics Bemerkungen

• Annahme Korrelation der Aktienrenditen ist
  gleich Korrelation der Firmenwertveränderungen
  (gt Kap. Rating Firmenwertmodell)
• Behandlung des Exposures
• Expected Exposure
• Angenommen als extern berechnet
• Aufwändige Berechnung
• Geeignet vor allem für gehandelte Positionen
  (Bonds), weniger für Buchkredite (insbes. Retail)

30
Kreditrisikomodelle CreditRisk Modellübersicht
Sektorenaufteilung Für Korrelationen
PD
-
Rating
Rang
Exposure
Volatilität der Ausfall-
Ausfall
-
Recovery
Rate
-
Nettoexposure
wahrscheinlichkeit
bei Ausfall
wahrscheinlichkeit
Erwarteter Verlust des Portfolios
Value-at-Risk des Portfolios
31
Kreditrisikomodelle CreditRisk Modellannahmen

• Default-Mode Modell
• Versicherungsmathematisch (ohne mikroökonomische
  Moldellierung)
• Anzahl der Ausfälle Poisson(l)
• Problem der Overdispersion
• Poisson Erwartungswert Wurzel aus der Varianz
• Empirisch Erwartungswert lt Wurzel aus der
  Varianz
• Poisson unterschätzt deshalb den Value-at-Risk
• Erweiterung
• l ist selbst stochastisch l Gamma
• Daraus folgt Anzahl der Ausfälle Negativ
  Binomial
• Erwartete Recovery wird vom Exposure abgezogen

32
Kreditrisikomodelle CreditRisk Berechnung des
Value-at-Risk

• Analytische Berechnung der Wahrscheinlichkeit,
  keinen Verlust zu erleiden
• Rekursionsbeziehung für n Verluste
  (Panjer-Rekursion)
• Leichte, performante Implementierung möglich
• Sektorstruktur für Modellierung systematischer
  Hintergrundfaktoren
• Jeder Kredit wird auf orthogonale Sektoren
  aufgeteilt gemäß den wirtschaftlichen
  Hintergrundfaktoren, die seine Bonität
  beeinflussen
• Sektoren sind systematische Hintergrundfaktoren
• 1 idiosynkratischer Sektor für das nicht
  systematische Risiko
• Auswirkungen der Sektorkonzentrationen auf
  Value-at-Risk und Ausfallkorrelationen

33
Kreditrisikomodelle CreditRisk Beispiel für
Sektoraufteilung
Kredit X
30
30
30
10
Europa
Asien
Energie
Ernährung
Idiosynkratischer Sektor
...
20
35
45
Kredit Y
34
Kreditrisikomodelle CreditRisk Auswirkung der
Sektoraufteilung

• Beispiel Portfolio von 25 identischen Krediten,
  3 Sektoren mit systematischem Risiko
• Alle Kredite in einem Sektor
• 3 Sektoren, alle Kredite sind zu 100 in genau
  einem Sektor
• 3 Sektoren, alle Kredite sind in alle drei
  Sektoren aufgeteilt
• a) b) c)
• Erwartungswert 14,2 Mio 14,2 Mio 14,2 Mio
• VaR(99) 55,3 Mio 49,9 Mio 47,4 Mio

35
Kreditrisikomodelle CreditRisk Anmerkungen

• Keine Annahmen bezüglich Ausfallursache
• Einbezug der Volatilität der Ausfallwahrscheinlich
  keit
• Gut skalierbar
• Effiziente analytische Berechnung auf dem
  Computer
• Geringe Datenanforderungen
• Modellerweiterung auf stochastische Recovery
  Rates möglich