UN SISTEMA DE DEDUCCI

1
UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL
CÁLCULO PROPOSICIONAL

• Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
• Academia de Filosofía, UACM
• Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
• parv_at_servidor.unam.mx

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ANTECEDENTES

• Una primera versión del sistema de reglas de
  deducción natural para el cálculo proposicional
  que presento a continuación fue elaborada por los
  profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la
  primera mitad de la década de los 90s. Hasta la
  fecha no he sabido de alguien más que proponga un
  sistema similar a aquél.
• La elaboración de ese sistema obedecía a
  objetivos didácticos y prácticos.
• El sistema que presento a continuación pretende
  mejorar el sistema original atendiendo a los
  mismos objetivos.

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OBJETIVOS DEL SISTEMA

• EN LO DIDÁCTICO
• Está diseñado expresamente para facilitar la
  enseñanza y el aprendizaje de las reglas del
  cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco
  grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su
  utilidad a diferencia de las presentaciones
  tradicionales, que las clasifican únicamente en
  dos grupos, como reglas de implicación y reglas
  de equivalencia, atendiendo sólo a su forma
  lógica.
• EN LO PRÁCTICO
• Está diseñado expresamente para facilitar el
  empleo de las reglas al efectuar deducciones,
  justo debido a sus ventajas didácticas.

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VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA

• El sistema está diseñado expresamente para
  facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la
  lógica proposicional, debido básicamente a dos
  aspectos
• Debido al modo peculiar en que se expone y
  contextualiza dentro del sistema cada regla en
  particular, como ilustraremos a continuación.

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VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA

• 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se
  incluyen dos conjuntos de ejercicios. Uno
  diseñado para el grupo mismo y otro para la
  conjunción de ese grupo con los anteriores que ya
  hayan sido expuestos.
• De modo que al final de la exposición del
  sistema el alumno adquiere los siguientes saberes
  prácticos
• Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y
  cómo articular ese saber práctico dentro del
  manejo del grupo al que la regla pertenece y, más
  en general, dentro del manejo del sistema en el
  que ésta se inserta.
• Es capaz de realizar inferencia con todas las
  reglas de manera fluida.

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ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA

• Hay seis aspectos de cada regla que se consideran
  dentro del sistema. Veamos un ejemplo
• Nombre Doble Negación.
• Abreviatura DN.
• Presentación formal A ? ??A.
• Lectura estructural Una fórmula equivale a su
  doble negación.
• Prueba de validez

A A ? ??A
v f v vf v fv
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ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA

• 6. Utilidad
• Individual Permite introducir o eliminar el
  signo de negación en fórmulas o subfórmulas
  individuales.
• Grupal Misma que la anterior, dado que el grupo
  de reglas al que pertenece incluye una sola
  regla.
• Sistémica Es auxiliar de todas aquellas reglas
  que incluyen negación.

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REGLA AUXILIAR

• 1. Doble Negación (DN)
• A ? ??A

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I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA
DISYUNCIÓN

• 2. Conjunción (Conj) 3. Simplificación (Simp)
• A A ? B
• B______ /? A
• /? A ? B
• 4. Adición (Ad) 5. Silogismo Disyuntivo (SD)
• A______ A ? B
• /? A ? B ?A __
• /? B

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II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL

• 6. Modus Ponens (MP) 7. Modus Tollens (MT)
• A ? B A ? B
• A____ ?B___
• /? B /? ?A
• 8. Silogismo Hipotético (SH)
• A ? B
• B ? C___
• /? A ? C

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III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y
LA DISYUNCIÓN

• 9. Conmutación (Conm) 10. Asociación (Asoc)
• (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ?
  C) ? (A ? B) ? C
• (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
  B) ? C
• 11. Idempotencia (Idem) 12. Distribución (Dist)
• A ? (A ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
  B) ? (A ? C)
• A ? (A ? A) A ? (B ? C) ?
  (A ? B) ? (A ? C)

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IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL

• 13. Transposición (Tr) 14. Exportación (Exp)
• (A ? B) ? (?B ? ?A) (A ? B) ? C ? A ?
  (B ? C)
• 15. Distribución del Condicional (DC)
• (A ? B) ? C) ? (A ? C) ? (B ? C)
• A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C)

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V. REGLAS DE TRADUCCIÓN

• 16. Leyes de Morgan (de M) 17. Implicación
  Material(IM)
• ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? (?A ? B)
• ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? ?(A ? ?B)
• 18. Equivalencia Material (EM) 19. Ley Expansiva
  Fundamental (LEF)
• (A ? B) ? (A ? B) ? (B ? A) A ? (A ? B) ?
  (A ? ?B)
• (A ? B) ? (A ? B) ? (?A ? ?B) A ? (A ? B) ?
  (A ? ?B)

14

• GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS

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CONDICIONALIZACIÓN Y REDUCCIÓN AL ABSURDO EN
UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO
PROPOSICIONAL

• Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
• Academia de Filosofía, UACM
• Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
• parv_at_servidor.unam.mx

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INTRODUCCIÓN

• Hace poco presenté ante el TDL un sistema de
  reglas de deducción natural para la lógica
  proposicional (LP), el cual modificaba un sistema
  anterior elaborado originalmente durante la
  primera mitad de la década de los 90s por los
  profesores Raúl Orayen, Arturo González y el que
  esto escribe.
• En lo que sigue, expondré los métodos de prueba
  condicional (PC) y de reducción al absurdo (RAA)
  dentro del sistema modificado.

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INTRODUCCIÓN

• Primero, presentaré informalmente ambos métodos.
  Luego, propondré demostraciones semánticas y
  sintácticas de validez para cada uno, mostrando
  las ventajas didácticas de las primeras sobre las
  segundas (estas últimas las desarrollaré dentro
  del sistema modificado). Por último, hablaré
  sobre la utilidad de estos métodos de prueba.
• Debo aclarar que la exposición de ambos métodos
  es una elaboración mía, por lo que cualquier
  error lógico que contenga no debe atribuirse a
  los otros profesores mencionados.

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TRES MÉTODOS FORMALES DE PRUEBA MD, PC Y RAA

• Los sistemas deductivos de LP suelen contar con
  tres tipos de métodos formales o sintácticos de
  demostración el método directo (MD) y dos
  métodos indirectos, la PC y la RAA.
• El MD consiste en deducir una conclusión a partir
  de un conjunto dado de premisas usando sólo ese
  conjunto de premisas y las reglas de deducción
  habituales (conjunción, adición, etc.).
• Los métodos indirectos operan sumando premisas
  extra al conjunto original de premisas y
  deduciendo, con el auxilio de las reglas
  habituales, no directamente la conclusión, sino
  otras fórmulas (de las que la conclusión deseada
  es deducible en cualquier caso).

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DESCRIPCIÓN INFORMAL DE LA PC Y LA RAA

• La PC opera añadiendo como premisa extra el
  antecedente de un condicional que se desea
  demostrar y deduciendo su consecuente (del cual
  es deducible el condicional usando básicamente
  adición e implicación material).
• La RAA opera añadiendo como premisa extra lo
  contradictorio de lo que se desea demostrar y
  deduciendo a partir de ello una contradicción
  cualquiera (de la cual es deducible la conclusión
  usando básicamente adición y silogismo
  disyuntivo).

20
DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PC

• Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
  argumento cualquiera y A ? B su
  fórmula-conclusión, entonces
• No es posible que No es posible que
• P1 v P1 v
• P2 v P2 v
• . ? .
• . .
• Pn ___ _ v Pn v
• /? A ? B f A___ v
• /? B f

21
Demostración semántica del primer condicional de
la PC

• 1. Hipótesis 2. Por demostrar
• No es posible que No es posible que
• P1 v P1 v
• P2 v P2 v
• . ? .
• . .
• Pn ___ v Pn v
• /? A ? B f A___ v
• /? B f
• Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
  (P1, P2, Pn) v, no es posible que A v y B
  f (en 2), pues, en tal caso, A ? B f (en1), lo
  cual no es posible por la hipótesis.

22
Demostración semántica del segundo condicional de
la PC

• 1. Hipótesis 2. Por demostrar
• No es posible que No es posible que
• P1 v P1 v
• P2 v P2 v
• . ? .
• . .
• Pn v Pn_____ v
• A___ v /? A ? B f
• /? B f
• Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
  (P1, P2, Pn) v, no es posible que A ? B f
  (en 2), pues, en tal caso, A v y B f (en 1),
  lo cual no es posible por la hipótesis.

23
DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PRUEBA POR RAA

• Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
  argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B
  una subfórmula cualquiera de P1, P2, , Pn o A,
  entonces
• No es posible que No es posible que
• P1 v P1 v
• P2 v P2 v
• . ? .
• . .
• Pn _ v Pn v
• /? A f ?A_____ v
• /? B ? ?B f

24
Demostración semántica del primer condicional de
la prueba por RAA

• 1. Hipótesis 2. Por demostrar
• No es posible que No es posible que
• P1 v P1 v
• P2 v P2 v
• . ? .
• . .
• Pn _ v Pn v
• /? A f ?A _____ v
• /? B ? ? B f
• Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
  (P1, P2, Pn) v, no es posible que ?A v (en
  2), pues, en tal caso, A f (en 1), lo cual no
  es posible por la hipótesis.

25
Demostración semántica del segundo condicional de
la prueba por RAA

• 1. Hipótesis 2. Por demostrar
• No es posible que No es posible que
• P1 v P1 v
• P2 v P2 v
• . ? .
• . .
• Pn v Pn__ v
• ?A______ v /? A f
• /? B ? ? B f
• Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
  (P1, P2, Pn) v, no es posible que A f (en
  2), pues, en tal caso, ?A v , lo cual no es
  posible por la hipótesis.

26
DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PC

• Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
  argumento cualquiera y A ? B su
  fórmula-conclusión, entonces
• P1 P1
• P2 P2
• . ? .
• . .
• Pn_______ Pn
• /? A ? B A___
• /? B

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Demostración formal del primer condicional de la
PC

• Hipótesis Por demostrar
• P1 P1
• P2 P2
• . ? .
• . .
• Pn_____ Pn
• /? A ? B A___
• /? B

28
Demostración

• 1. P1
• 2. P2
• .
• .
• n. Pn
• n1. A /? B
• .
• .
• nk. A ? B 1, 2,, n, Hip.
• nk1. B n1, nk, MP

29
Demostración formal del segundo condicional de la
PC

• Hipótesis Por demostrar
• P1 P1
• P2 P2
• . ? .
• . .
• Pn Pn____
• A___ /? A ? B
• /? B

30
Demostración

• 1. P1
• 2. P2
• .
• n. Pn /? A ? B
• .
• n(n-1). P1 ? P2 ? Pn 1, 2,n, Conj.
• .
• n(n-1)k. (P1 ? P2 ? Pn ? A) ? B Hip.,
  LEF
• n(n-1)k1. (P1 ? P2 ? Pn) ? (A ? B) n(n-1)k,
  Exp.
• n(n-1)k2. A ? B n(n-1), n(n-1)k1, MP

31
DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PRUEBA POR RAA

• Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
  argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B
  una subfórmula cualquiera de P1, P2, , Pn o A,
  entonces
• P1 P1
• P2 P2
• . ? .
• . .
• Pn__ Pn
• /? A ?A______
• /? B ? ?B

32
Demostración formal del primer condicional de la
prueba por RAA

• Hipótesis Por demostrar
• P1 P1
• P2 P2
• . ? .
• . .
• Pn__ Pn
• /? A ? A________
• /? B ? ? B

33
Demostración

• 1. P1
• 2. P2
• .
• .
• n. Pn
• n1. ?A /? B ? ?B
• .
• .
• nk. A 1, 2,, n, Hip.
• nk1. A v (B ? ?B) nk Ad
• NK2 B ? ?B n1, nk1, SD

34
Demostración formal del segundo condicional de la
prueba por RAA

• Hipótesis Por demostrar
• P1 P1
• P2 P2
• . ? .
• . .
• Pn Pn__
• ?A_____ /? A
• /? B ? ?B

35
Demostración

• 1. P1
• 2. P2
• .
• .
• n. Pn /? A
• .
• .
• nk. ? A ? (B ? ?B) Hip., PC
• Nk1. ??A v (B ? ?B) nk, IM
• nk2. A v (B ? ?B) nk1, DN
• nk3. (A v B) ? (A v ?B) nk2, Dist
• nk4. A nk3, LEF

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UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC
Y LA RAA

• En general, la utilidad de ambos métodos radica
  en que facilitan las deducciones pues, debido a
  la premisa extra que permiten añadir, aumentan
  las posibilidades deductivas respecto del
  conjunto original de premisas.
• En particular, la PC se aplica con provecho a la
  demostración de fórmulas cuya conectiva principal
  sea ?, o v mientras que la RAA se puede
  aplicar con provecho a cualquier tipo de fórmula.
• Usando cualquiera de ambos métodos pueden
  deducirse conclusiones intermedias que coadyuven,
  luego, a deducir la conclusión final de
  argumentos también pueden combinarse ambos en
  una misma deducción. En todos estos casos deben
  introducirse hipótesis con alcances limitados en
  las demostraciones, cuidándose de cerrarlos
  adecuadamente a fin de evitar falacias en las
  deducciones.

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UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC
Y LA RAA

• El sistema de reglas de deducción natural para la
  LP modificado, mencionado al principio de esta
  charla, cuenta con una LEF para introducir
  tautologías, por lo que es completo A ? (A ?
  B) ? (A ? ?B). Mediante esta regla puede
  demostrarse que una tautología se deduce de
  cualquier fórmula.
• Los métodos de la PC y la RAA también permiten
  introducir tautologías en las demostraciones. Se
  diferencian de LEF en que son más manejables,
  debido a lo ya mencionado, y más potentes, pues
  permiten demostrar que una tautología se deduce
  del conjunto vacío de fórmulas.
• En sistemas de deducción directa incompletos en
  los que no se pueden demostrar tautologías (como
  el de Copi en Lógica simbólica) estos métodos
  permiten, pues, completarlos (tal como lo hace
  Copi con su sistema mencionado).

38

• GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS