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Análisis de la ecuación vectorial
de Swift-Hohenberg
por Matías G. dellErba Director
Miguel Hoyuelos
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Introducción

• Estabilidad y bifurcaciones
• Ecuaciones de amplitud

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Ecuaciones de amplitud
Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg
?
Ecuaciones de amplitud describen la dinámica de
un conjunto de sistemas físicos entorno de su
inestabilidad.
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Sistema físico
Para R lt Rc
sistema estable
sistema inestable
Para R gt Rc
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Para R Rc
bifurcación
Bifurcación cambio cualitativo en la solución
de una ecuación diferencial.
Bifurcación de Hopf
Im(l) ? 0 ?Re(l) R Rc gt
0 ?R Solución a (R)1/2
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Deducción de las ecuaciones de amplitud
Se parte de las ecuaciones de un sistema físico
particular. Se linealiza el sistema en torno de
una solución conocida. Se toman en cuenta las
no-linealidades a partir de un escaleo apropiado.
Ventaja de las ecuaciones de amplitud
Cada ecuación de amplitud describe un conjunto
de sistemas físicos de naturaleza diferente.
Esto se debe al número restringido de tipos de
bifurcaciones.
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Deducción de la ecuación vectorial de
Swift-Hohenberg

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Ecuaciones vectoriales de Maxwell-Bloch (MB).
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Linealizando en torno de E P N M 0, la
solución queda
Con ella se puede obtener
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El cálculo de autovalores conduce a
Escribimos l m - i n ,y hacemos m 0 y W 0
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Curva de estabilidad neutral o marginal
Modo más inestable
k 0, rc 1, l 0
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Para tomar en cuenta los términos no-lineales
R parámetro de control del sistema. (
)
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Escaleamos las variables espaciales y temporales
Escribimos las ecuaciones de MB como
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donde
Igualando términos del mismo orden en
llegamos a
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Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg
con
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Análisis de casos particulares
Estabilidad de soluciones homogéneas Inestabilidad
de Eckhaus en solución de onda plana Dependencia
en los parámetros e y g
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Estabilidad de soluciones homogéneas
Proponemos como solución
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Buscamos soluciones estacionarias. (
)
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Calculamos los autovalores de la matriz
jacobiana. Para e gt - 1
donde I solución inestable, E solución
estable, PE punto de ensilladura, X
sin solución.
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Campo vectorial e gt 0, g lt -1.
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Campo vectorial e gt 0, -1lt g lt 1.
22
Campo vectorial e gt 0, g gt 1.
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Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda
plana.
Proponemos como solución
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Hacemos una perturbación en A
donde
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Analizamos los casos y
Escribiendo
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Caso k k- k
Definimos y
Reemplazando en el sistema se llega a (a 1 g
)
Ecuación de difusión
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La estabilidad de la onda plana esta dada por
además, como Q gt 0
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Caso k -k- k
Escribiendo r , f en función de q ltlt 1, las
ecuaciones paraf quedan
Para -1 lt g lt 1, los autovalores (aproximados)
son
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La estabilidad de la onda plana esta dada por
Como antes Q gt 0, entonces
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Dependencia en los parámetros e y g.
Para soluciones con poca dependencia espacial
Para e lt -1, el sistema converge a la solución
nula. Para g lt - 1, el sistema diverge. Para e gt
-1 y g gt 1, una componente del campo se anula.

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Análisis numérico
Resolución numérica y análisis de
soluciones Velocidad de los defectos
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Resolución numérica y análisis de datos.
Región principal de análisis -1 lt e,g lt 1.5.
Gráfico modelo
Defectos topológicos
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Región A
El sistema diverge o se anula
e lt -1
A se anula
a partir de g (-0.9,-0.9) (0,-0.7) (0.5,-0.5)
(1.5,-0.4)
A diverge
e,g lt -1
A se anula
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Región B
A2
j
(-0.5,-0.5)
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A2
j
(0,1)
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A2
A-2
(0,1)
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Región C
A2
j
(0,-0.5)
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Región D
A2
A-2
(0.5,1.5)
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A2
A-2
(0,1.6)
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j
j
(0,5) (0,1.6)

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Esquema de las regiones A, B, C y D en el plano
(e,g)
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Velocidad de los defectos.
Láser clase C He-Ne l 3.39 mm, P 5 torr
g? 2 108 s-1, k 2.5 107s-1
6 cm 256 pixels
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Dxsd dx pixels 1 85 85 Dtsd 2 dt
iteraciones 2 0.2 50 20
Escaleo en las coordenadas x y t
vdef 5.4 105 m/s
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Conclusiones
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Los resultados más importantes obtenidos son
Fuerte dependencia de la estabilidad en e y g
Solución Homogénea
El carácter vectorial modi_ fica la estabilidad
respecto al caso escalar
Onda Plana
Nuevas estructuras defectos móviles espirales
de doble brazo
Análisis Numérico