III MENGHITUNG NILAI RATA-RATA

1
III MENGHITUNG NILAI RATA-RATA

• Nilai Rata-rata
• 1. Pengertian Nilai Rata-rata
• Adalah merupakan penjelasan kelompok yang
  didasarkan nilai rata-rata dari kelompok
  tersebut. Maka individu-individu yang mewakili
  kelompok itu diharapkan tidak terjadi
  penyimpangan yang ekstrem sehingga bisa mewakili
  ( representatif) dari kelompok atau populasi /
  obyek penelitian
• Teknik statistik untuk menjelaskan nilai
  rata-rata pada kelompok ini disebut tendency
  central (gejala pusat) dapat menggunakan tekhnik
  yaitu modus, median, mean
• 2. Sifat Nilai Rata-rata
• a. Modus Digunakan bila peneliti ingin cepat
  memberikan penjelasan kepada kelompok dengan
  hanya mempunyai data yang

2
populer pada kelompok saja. Teknik ini kurang
teliti karena merupakan penghitungan kasar.

• b. Median digunakan bila ada data yang ektrem
  dalam kelompok
• c. Mean digunakan bila dalam kelompok itu
  mempunyai data yang merata.
• Namun demikian agar pembaca memberikan
  interpretasi sendiri maka ketiga tekhnik
  tersebut digunakan semua dan hasilnya juga
  disajikan semua

3
MENGHITUNG Data Modus, Median, Mean
DATA TUNGGAL

• Modus
• Merupakan tekhnik penjelasan kelompok yang
  dilaksanakan atas niai yang sedang populer ( yang
  sedang menjadi mode) atau yang sering muncul
  dalam kelompok tersebut.
• Contoh Data kualitatif
• 1. Kebanyakan pemuda Indonesia merokok
• 2. Kebanyakan tentara berambut pendek
• Contoh Data Kuantitatif
• Hasil pencatatan umur pegawai di kanor X adalah
  sbb ( dalam tahun).
• 20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51,
  35.

4
Tabel data sbb
UMUR PEGAWAI JUMLAH
19 20 35 45 51 56 57 60 1 2 1 5 ( Modus) 1 1 1 1
JUMLAH 13
5
Median

• Merupakan salah satu tekhnik pejelasan
  kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari
  kelmpok data yang telah disusun urutannya dari
  terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Mis
  kelompok umur sbb
• 19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56,
  57,60. n ganjil
• 180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147,
  145, cm (TB )
• Bila n genap maka nilai dibagi dua
  sehingga
• 166 165 165,5 artinya tinggi badan
  rata-rata kelompok
• 2 itu 165,5

6
Mean mrupakan pejelasan kelompok yang didasarkan
atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut .
Rata-rata ( mean ) dapat dihitung dengan
menjumlah data seluruh individu dalam kelompok
itu kemudian dibagi n sehingga rumus sbb.

• Me S X i
• n
• Ket Me Mean ( rata-rata )
• S Epselon ( jumlah )
• Xi Nilai x ke 1 sampai ke n
• n jumlah individu / sampel/
  responden
• Contoh tinggi badan ( cm )
• (90 120160601801909018070160) 10
• Me 1300 10 130. Me harus
  mewakili individu artinya data
• jangan terjadi penyimpangan yang
  ektrem

7

• Contoh penyimpangan yang ekstremPeghasilan
  rata-rata dari 8 penduduk adalah sbb ( ribu
  )70, 90, 90, 190, 600, 1200, 1800, 2000 755
  8ini tidak mewakili
  artinya 755 terlalu jauh dengan 70 ribu juga
  terlalu jauh dari 2000.
• Maka akan lebih mewakili jika dihitung dengan
  tekhnik median sehingga
• 190 600 395 ribu rupiah artinya 395 lebih
  
• 2 dekat dengan 70 juga
  dengan 2000

8
Menghitung Data Bergolong

• Contoh data hasil Test kemampuan managerial
  terhadap 100
• pegawai di kantor X dengan distribusi sbb
• DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAGERIAL 100 PEGAWAI
  DIKANTOR X

INTERVAL NILAI KEMAMPUAN FREKUENSI / JUMLAH
21 - 30 31 40 41 50 51 60 61 70 71 80 81 90 91 - 100 2 6 18 30 20 10 8 8
jumlah 100
9
a. Modus ( data bergolong )

• Rumus
• MO bp ( bi )
• bi b2
• MO Modus
• b batas bawah klas interval dengan
  frekuensi terbanyak
• p panjang klas interval
• b1 frekuensi pada klas modus (frekuensi
  pada klas interval
• terbanyak) dikurangi frekuensi klas
  interval terdekat
• sebelumnya
• b2 frekuensi klas modus dikurangi
  frekuensi klas interval
• berikutnya

10

• Hitungannya sbb
• Klas modus adalah klas ke 4 , frekuensinya (
  f, 30 )
• b 51 0,5 50,5
• b1 30 18 12
• b2 30 20 10 MO 50,5 10( 12
  ) 55, 95
• 
  12 10
• b. Menghitung Median
• Rumus Md b p ( ½n F )
• 
  f
• Md Median n jumlah
  smpel/data
• b. batas bawah dimana median akan terletak
• F jumlah semua frekuensi sebelum klas median
• f frekuensi klas median

11

• Cara menghitung
• ½ n ½ x 100 50 klas median akan terletak
  pada interval ke 4
• b batas bawah adalah 51 0,5 50,05
• p panjang klas
  10
• F 2 6 18 26
• f frekuensi klas median
  30
• Jadi Median 50,05 10 ( 50 26 )
  58,5
• 
  30
• C.Menghitung Mean
• a Rumus x Sf N t
• n
• Ket x rata-rata
• S jumlah
• f frekuensi
• Nt nilai tengah klas
• n jml data

12
Contoh

• Berat Badan Penderita TBC

no Berat Badan f Nt f Nt
1 2 3 4 5 6 7 8 -- 45 -- 50 -- 55 -- 60 -- 65 -- 70 -- 75 76 -- 80 4 4 1 2 5 7 5 2 43 48 53 58 63 68 73 78 172 192 53 116 315 476 365 156
jumlah 30 1.845 jadi x 1845 61,5 kg 30 jumlah 30 1.845 jadi x 1845 61,5 kg 30 jumlah 30 1.845 jadi x 1845 61,5 kg 30 jumlah 30 1.845 jadi x 1845 61,5 kg 30 jumlah 30 1.845 jadi x 1845 61,5 kg 30
13
Rata-rata Menggunakan Kode

• Rumus ( b) x N t0 i ( S f d )
• n
• Ket x rata-rata
• N t0 nilai titik tengah n jumlah
  pengamatan
• d kode I interval klas
• Langkah-langkah
• Pilih satu titik klas sebagai titik nol yang
  diberi kode (d)
• Pemilihan titik tengah boleh disembarang tempat
  tapi sebaiknya ditengah
• Untuk diatas titik nol diberi tanda negatif
  secara berurutan sedangkan untuk titik dibawah
  titik nol diberi tanda positif
• fd adalah hasil perkalian frekuensi dengan d

14
5. Hitung nilai tengah titik nol ( pertengahan
nilai tengah pada klas tersebut )
6.Bagilah hasil pada point C dengan jumlah
pengamatan dan kalikan dengan interval klas
( i ) kemudian hasilnya ditambah dengan
nilai tengah titik nol

• Contoh rata-rata BB Px penyakit jantung di RS X
  2008

no Berat Badan f d fd ket
1 2 3 4 5 6 7 8 41 -- 45 46 -- 50 51 -- 55 56 -- 60 61 -- 65 66 -- 70 71 -- 75 76 -- 80 4 4 1 2 5 7 5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -16 -12 -2 -2 0 7 10 6 ( d )
JML 30 S -9
X 63 5 ( - 9/30 ) 61,5 kg
15
RANGE ( RENTANG )

• Rentang merupakan ukuran despersi ( penyimpangan
  )
• yang paling sederhana karena hanya melibatkan 2
  nilai
• dalam distribusi . Yaitu nilai terbesar dan
  terkecil. Range
• merupakan gambaran kasar tentang besarnya variasi
  
• sehingga dengan range saja belum bisa mengetahui
  variasi
• yang sebenarnya
• Contoh
• Distribusi berat badan dengan range yang sama
  tetapi mean berbeda
• Range berbeda tapi mean sama

16
Distribusi BB Mahasiswa
Distribusi Nilai Ujian
no Kelompok I Kelompok II
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 43 49 60 60 64 65 65 66 70 40 41 40 40 43 45 50 52 55 70
582 474
no Kelompk I Klmpok II
1 2 3 4 5 40 45 50 55 60 10 25 55 70 90
250 250
17
Ket tabel diatasBB Mhs nilai ujianrange
30 range 30
rata-rata 50 rata-rata 50rata-rata 58,2
rata-rata 47,4 range 20 range
80

• UKURAN KUARTIL
• Data yang telah disusun menjadi suatu distribusi
  dibagi
• mejadi 4 bagian yang sama atau disebut kuartil (
  K ) Kuartil
• I disebut K 1 merupkan 25 dari seluruh
  distribusi. K 2
• Merupkan 50 dan K 3 75 dari bagian
  distribusi.
• Kelebihan kuartil adalah
• 1. Kuartil menggunakan 50 bagian tengah hingga
  tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.
• 2. Posisi K1, K 2, K 3, dapat dihitung deviasi
  terhadap median

18
Tabel Rentang antar Kuartil
25
25
K1
K2 K3

• Selisih antara K3 --- K1 disebut rentang antar
  kuartil ( inter
• kuarti range ) yang sama dengan 50 bagian
  tengah dari
• seluruh distribusi , sedangkan setengah antar
  kuartil
• disebut simpangan kuartil ( quartile Deviation )
  
• Cara menghitung rentang kuartil simpangan
• Setelah data didistribusi tersusun, tentukan
  letak juga nilai dari K1 dan K3 berada, dengan
  meggunakan rumus
• I. Letak K3 ¾( n 1 ) K1 ¼( n1 )
• II Nilai K3 atau K1 L b ( S L )
• L nilai sebelum K3 atau K1. S nilai dimana
  K3 dan K1 berada
• b kekurangan unit untuk mencapai K3 atau k 1

19
Contoh mengetahui rentang kuartil ( kolesterol )
data tunggal150, 152, 160, 165, 167, 169,
171, 174, 175, 593 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10

• 1 Menentukan Letak
• K3 ¾( 10 1 ) 8,25 8 K1 ¼(
  101 ) 2,75 3
• ( berada antara 8 9 berada
  antara 2 3 )
• 2. Nilai K3 171 0,25 ( 174 171 )
• 171 0,25 x 3
  171 0,75 171,75
• Nilai K1 152 0,75 ( 160 152)
• 152 0,75 x8
  152 6 158
• Jadi rentang kuartil adalah 171,75 158 13,75

20
Rentang Data Bergolong

• Untuk menghitung data rentang kuartil pada data
  bergolong
• Maka Letak kuartil diubah menjadi jumlah unit
  
• Letak ? ( K x n ) / 4.
• Nilai Kuartil K k L i ( x f kum )
  
• 
  f
• L tepi bawah klas dimana kuartil berada
• i interval klas
• f kum frekuensi kumulatif sebelum kuartil
• f frekuensi dimana kuartil berada
• x letak kuartil

21
Data kuartil bergolong ( frekuensi distribusi
kumulatif penderita
hepatitis )
no umur f f kum
1 2 3 4 5 6 7 10 -- 19 20 -- 29 30 -- 39 40 -- 49 50 -- 59 60 -- 69 70 -- 79 2 23 15 11 9 5 2 2 25 40 51 60 65 67
jml 67
22
Letak K 3 ( 3 x 67 ) / 4 50,25 terletak
antara kelas 5 6Letak K 1 ( 1 x 67 ) / 4
16, 75 terletak antara kelas 1 2Nilai kuartil
K3 49,5 10 ( 50,25 51 ) / 9
49,5 0,83 48,67Nilai
Kuartil K1 19,5 10 ( 16,75 2 ) / 23
19,5 6,41 25,91 jadi rentang
kuartil adalah 48,67 25, 91 22,76

• Desil ( Decile )
• Bila data yang telah disusun menjadi distribusi
  dan dibagi
• menjadi 10 bagian yang sama maka disebut decil.
• Prinsip penghitungan sama dengan penghitungan
  untuk
• Kuartil. Dengan menghitung desil kita akan
  mendapat
• informasi yang lebih teliti dibanding kuartil.

23
Contoh Hasil pemeriksaan kolesterol darah 10
orang Px Hypertensi, sbb150, 152, 160, 165,
167, 169, 171, 174, 175, dan 180 1 2
3 4 5 6 7 8 9
10

• Letak Dd data ke d ( n 1 ) / 10
• Letak data D itu bisa dihitung mulai dat no 2 s/d
  9
• letak D4 4 ( 10 1 ) /10 4,4 antara data 4
  5
• letakD9 9(101 ) /10 9,9 antara data 9 10
• Rumus Nilai D Dd L b( S - L )
• L nilai sebelum Dd
• S Nilai dimana D berada
• B kekurangan unit untuk mencapai Dd

24
Nilai D4 adalah 1600,6(165-160) 160 3
163Nilai D9 adalah 175 0,1 ( 180 175 0
175 0,5 175,5Rentang decil adalah 175,5
163 12,5

• Persentil ( Percentile )
• Persentil adalah suatu distribusi dibagi mejadi
  100 bagian
• yang sama, dengan demikian akan mendapatkan 99
  bagian
• yang sama. Pada prinsipnya penghitungannya sama
• dengan decile dan kuartil. Dengan persentil akan
• mendapatkan hasil yang lebih cermat.
• Letak Pp ( Pp ) ke p ( n1 ) / 100
• Nilai Pp L b ( S - L )
• L Nilai sebelum Pp
• S Nilai dimana Pp berada
• b kekurangan unit untuk mencapai Pp
  

25
Contoh pemeriksaan BB dari 15 orang penyakit
jantung45, 46, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 57,
59, 60, 61, 63, 65 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15

• Bila seseorang pasien dikatakan mempunyai BB yang
  
• Terletak pada percentile 30 maka berapakah
  berat
• badannya
• Jawab Letak P30 30 ( 15 1) / 100 4,8
• berada pada data antara 4 5
• Nilai P30 4,8 0,7 ( 50 48 )
• 4, 8 1,4 49,4

26
DEVIASI RATA-RATA. ( Mean deviasi)

• Pada prinsipnya simpangan rata-rata merupakan
  modifikasi
• dari ukuran rata-rata, yaitu apabila rata-rata (
  mean) adalah
• jumlah pengamatan setiap individu dibagi dengan
  banyak
• nya pengamatan, sedangkan pada simpangan
  rata-rata
• Adalah jumlah selisih antara hasil setiap
  pengamatan
• dengan rata-rata dibagi dengan banyaknya
  pengamatan
• Simpangan rata-rata bermanfaat untuk mengetahui
  variasi
• yang terjadi di dalam suatu kelompok pengamatan
  atau
• membandingkan tingkat variabilitasnya dalam dua
  kelompok
• atau lebih.
• Rumus Mean Deviation ( MD ) adalah
• MD S X X
• n

27
Rumus Mean Deviation ( MD ) adalah MD S X
X n

• Contoh
• Berat badan 2 kelompok penderita yang
  masing-masing
• terdiri dari 5 orang

Kelompok I Kelompok I Kelompok I Kelompok II Kelompok II Kelompok II
BB Kg Mean selisih BB Kg Mean selisih
40 45 50 55 60 50 10 5 0 5 10 25 35 55 60 75 50 25 15 5 10 25
250 30 250 80
28
Kelompok I Kelompok II X 50
X 50 X
X 30 X - X 80
MD 30/5 6 MD 80/5 16

• Dari hasil perhitungan diatas dinyatakan bahwa
  variablitas
• kelompok 2, adalah 3 X lebih besar dari pada
  kelompok 1

29
Standar Deviasi ( Deviation Standart )

• Simpangan baku merupakan ukuran dispersi yang
  sngat
• penting dan sangat banyak digunakan dalam
  statistik.
• Penyimpangan atau selisih nilai hasil pengamatan
  dengan rata-rata dapat menghasilkan nilai yang
  negatif, untuk menghindari hal ini tanpa
  memperhatikan nilai aljabarnya maka hasilnya
  dipangkatkan 2 sehingga hasilnya menjadi positif.
• jumlah seluruh selisih hasil pengamatan dengan
  rata-rata
• yang telah dipangkatkan dua dibagi dengan jumlah
• pengamatan disebut VARIANS, bila varians ini
  ditarik akar
• maka akan menghasilkan STANDAR DEVIATION. Dengan
  
• kata lain standar deviasi adalah akar dari
  varians

30
Rumus Varians a2 S( X - µ )2 / nDeviasi
standar a ? ( X - µ )2 / na deviasi
standar x hasil pengamatanµ rata-rata n
banyaknya pengamatan

• Caramenghitung
• Data mentah disusun secara berurutan
• Jumlahkan hasil pengamatan
• Bagilah sigma X dengan banyaknya pengamatan(Sx/N
  µ)
• Kurangkan hasil pengamatan dengan rata-rata
• Pangkatkan hasil no 4
• Jumlahkan hasil no 5
• Bagilah hasil no 5 dengan banyaknya pengamatan
• Hasil no 7 ditarik akarnya

31
Contoh hasil pemeriksaan gula darah 10 orang
sbb
no Gula darah X (rata-rata) X - X (X - X)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 70 72 76 77 78 79 80 85 86 81 78,4 -8,4 -6,4 -2,4 -1,4 -0,4 0,6 1,6 6,6 7,6 2,6 70,56 40,97 5,76 1,96 0,16 0,36 2,56 43,56 57,76 6,76
jml 784 230,40
32
Varians 230,40 23,04
10SD ? 23,04 4,8 mg

• KOEFISIEN VARIASI ( coefisien of variation )
• Standar deviasi tidaklah bisa umtuk dua variasi
  dengan
• satuan yang berbeda, karena standar deviasi hanya
  
• bisa untuk membedakan atau menghitung dispersi
  absolut.
• Cara yang lebih tepat untuk mrnghitung dua
  variasi dengan
• satuan yang berbeda adalah dengan tekhnik
  koefisien
• Variasi, yaitu dengan mengadakan perbandingan
  secara
• relatif
• Rumus KV ( SD/ X ) x 100

33
Rumus KV ( SD/ X ) x 100

• Contoh 1
• Seorang analis A dalam sehari rata-rata mampu
  memeriksa
• 40 sampel darah dengan deviasi sandar/ tingkat
  kesalahan
• Analis B mampu Memeriksa 160 sampel dengan
  deviasi
• Standar/ tingkat kesalahan 15. Sepintas dapat
  dilihat
• analis B mempunyai variasi kesalahan lebih besar
  dibanding
• Dengan analis A. tetapi analis B mampu memeriksa
  sampel
• darah 4 kali lebih besar dari pada analis A
  sehingga
• perbandingannya dapat dilihat sbb
• Analis A KV ( 5/40 ) x 100 12,5
• Analis B KV ( 15/160 ) x 100 9,4
• Kesimpulan analis B mempunyai deviasi variasi
  lebih kecil
• dibanding analis A

34
Contoh 2 ( Data Kelompok )Berat Badan
No Kelompok 1 Kelompok 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 12 14 16 18 20 27 30 35 25 30 40 45 50 55 60 65 70 75 80
jml 207 570
35
Ket KV ( SD/ X ) x 100Kelompok
I Kelompok IIn 10 n 10x 20,7 x
57SD 7,52 SD 15,5KV ( 7,52 / 20,7 ) x
100 KV ( 15,5/57) x 100
36,33 27,2

• Contoh 3Hasil pemeriksaan suhu dan nadi dari
  sekelompok PX fibris
• Suhu x 38,5 c Nadi x 120 / menit
• SD 1,5 SD 6
• KV (1,5/38,5)x 1003,9 KV ( 6/120) x
  100 5
• Kesimpulan nadi mempunyai variasi kira-kira 1,3
  kali lebih
• besar dibanding suhu.

36
Dari kedua contoh diatas dapat disimpulkan 1.
KV dapat dipergunakan untuk membandingkan satu
variabel dari dua kelompok yang sama.2.
Membandingkan dua variabel dari satu kelompok
dengan satuan yang berbeda3. KV juga dapat
untuk mengetahui homogenitas dari suatu
kelompok, yaitu apa bila koefisien variasi kurang
dari 10 maka kelompok tersebut dianggap
cukup homogen