Investiga

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Investigação Operacional

• Metodologia científica para abordar problemas das
  ciências, gestão, economia e engenharia.
• As suas principais características são
• interdisciplinaridade.
• Manipular modelos matemáticos para apoiar a
  tomada de decisão.
• Utilizar o computador.

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As 7 etapas do processo de modelação

• 1. Definir o problema
• 2. Observar o sistema e recolher informação
• 3. Formular um modelo matemático
• 4. Validar o modelo.
• 5. Escolher uma decisão com base no modelo
• 6. Apresentar a análise
• 7. Implementar e monitorar continuamente

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As 7 etapas do processo de modelação
Formular um modelo matemático
Escolher uma decisão alternativa
Observar o sistema, recolher informação
Implementar e monitorar continuamente
Apresentar os resultados
Validar o modelo
Definir o problema
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1. Definir o problema

• Identificar
• o agente de decisão (quem exerce controle)
• os seus objectivos (e.g. minimizar custos)
• as decisões alternativas com que são confrontados
  (i.e., as variáveis controláveis)
• os parâmetros que, não sendo controláveis,
  influenciam o resultado das decisões (as
  variáveis incontroláveis).
• Discutir
• o tempo disponível para o estudo
• o involvimento do agente de decisão (e
  organização) no estudo

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2. Observar o sistema e recolher informação

• Estabelecer o diagnóstico inicial
• observar e analisar a forma como o sistema real
  opera
• recolher informação
• conceber um sistema idealizado.
• Elaboração de um relatório que
• estrutura o conhecimento que se adquiriu do
  sistema
• co-responsabiliza os elementos da organização

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3. Formular um modelo matemático

• Objectivo
• Reproduzir as relações entre as componentes do
  problema (objectivo, variáveis de decisão,
  variáveis incontroláveis, restrições).
• Passos essenciais
• Identificar a estrutura de relações causa-efeito.
• Quantificar essas relações de forma
  determinística ou probabilística.

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3.1 Identificar as relações causa-efeito
3. Formular um modelo matemático

• Identificação de todas as relações entre
  variáveis, controláveis ou não, e a medida (ou
  medidas) de utilidade.
• A ? B significa A contribui para a definição
  de B
• Identificação de variáveis auxiliares que agregam
  informação de diversas variáveis.
• Obriga a formular as primeiras hipóteses no
  sentido da simplificação do problema através da
  inclusão de apenas as relações relevantes.

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3.1 Identificar as relações causa-efeito
3. Formular um modelo matemático
1,2,3
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3.2 Quantificar as relações causa-efeito
3. Formular um modelo matemático

• Três abordagens distintas
• método dedutivo
• método de simulação
• método de inferência estatística

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Método dedutivo (primeiro exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• A unidade de produção de uma empresa pretende
  fabricar os produtos A e B.
• Fabricar cada produto envolve quatro operações,
  com os seguintes tempos unitários de fabricação
  (em segundos)

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Método dedutivo (primeiro exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• As capacidade de produção das diferentes secções
  fabris são as seguintes
• Os lucros unitários por peça produzida e vendida
  são
• Esc. 0.90 (Produto A) Esc. 1.20
  (Produto B)
• Admitindo que o mercado absorve toda a produção,
  como maximizar o lucro total a operação?

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Método dedutivo (primeiro exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito
4,5
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Método dedutivo (segundo exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Uma empresa pretende determinar qual a quantidade
  (Q) a produzir e a que preço (p) deve vender uma
  determinada peça de vestuário durante a estação
  de Inverno que se avizinha.
• Obtiveram-se estimativas para a procura (em
  função do preço de venda p) e custos unitário de
  produção (em função da quantidade produzida Q) -
  ver próximo slide.
• Se a produção exceder a procura, o valor em
  excesso fica reduzido a um preço de saldo.
• O objectivo da empresa é maximizar o lucro
  associado à operação.

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Método dedutivo (segundo exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito
6,7
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Método de simulação
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Quando não é possível explicitar as relações
  entre as componentes do modelo através do método
  dedutivo (seja de forma determinística ou
  probabilística).
• Quando as relações são de tal forma complexas que
  o melhor que analista consegue fazer é imitar o
  comportamento do sistema idealizado.

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Método de simulação (exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Uma empresa possui cinco linhas de produção em
  paralelo que funcionam sem interrupção.
• Uma equipa de manutenção repara avarias nas
  linhas de produção pela ordem em que ocorrem
  (FIFO). A equipa funciona 5 dias por semana, 3
  turnos por dia.
• O tempo que decorre entre o início de
  funcionamento de uma linha e a avaria seguinte
  varia de forma imprevisível (ou aleatória). Da
  mesma forma, o tempo de reparação é varia de
  forma imprevisível. Ver gráficos seguintes.
• Que benefício advém de ter mais equipas de
  manutenção?

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Método de simulação (exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito
8,9,10,11
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Método de simulação
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Objectivos
• Reproduzir a sequência de acontecimentos pelos
  quais o sistema passa.
• Recolher informação com base na qual se pode
  medir a eficiência do sistema.
• Vantagens
• Possui enorme flexibilidade (simula-se tudo o
  que se quiser)
• Desvantagens
• Requer grande esforço computacional para estimar
  o valor esperado da medida de utilidade face a
  apenas uma concretização das variáveis de
  decisão.
• A busca de melhores decisões é um processo
  difícil de sistematizar.

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Método de inferência estatística
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Quando não é possível explicitar as relações
  entre as componentes do modelo através do método
  dedutivo (seja de forma determinística ou
  probabilística).
• Quando as relações são inúmeras e complexas mas é
  possível pela análise estatística de dados
  inferir aquelas que melhor reproduzem o
  comportamento do sistema sem demasiada
  complexidade.

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Método de inferência estatística (exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Em Janeiro, uma empresa importadora pretende
  prever o preço de determinada mercadoria agrícola
  durante todos os meses que se seguem até Junho.
• A produção dessa mercadoria concentra-se em larga
  escala num dado país que contribui contribui com
  55 da produção mundial e 75 da exportação
  mundial.
• Em Janeiro de cada ano, o MA desse país publica
  previsões da oferta e da procura até ao final do
  ano agrícola (Outubro).

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Método de inferência estatística (exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito

• Pretende-se construir um modelo descritivo que
  explique o preço da mercadoria nos vários meses
  até Junho para auxiliar o planeamento da
  aquisição do referido produto durante o período
  de Janeiro a Junho.
• Numerosos e complexos factores (variáveis
  controláveis e incontroláveis) contribuem para
  explicar o preço da mercadoria. Naturalmente uns
  são mais relevantes que outros.
• Deve o analista efectuar hipóteses sobre quais os
  factores que mais influenciam o preço da
  mercadoria.

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Método de inferência estatística (exemplo)
3. Formular um modelo matemático 3.2
Quantificar as relações causa-efeito
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4. Validar o modelo

• Validar o modelo significa averiguar se o impacto
  das decisões previsto pelo modelo corresponde ao
  impacto real das mesmas decisões.

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4. Validar o modelo

• Objectivo detectar insuficiências que são apenas
  detectáveis no contexto da definição global do
  modelo.
• Métodos de validação (sem ser exaustivo)
• análise de sensibilidade
• simulação.
• Nota o modelo pode ser adequado ou inadequado
  conforme os valores das variáveis incontroláveis,
  estimados ou conhecidos no momento da decisão.

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Análise de sensibilidade
4. Validar o modelo

• Averiguar como é que a alteração de valores das
  variáveis incontroláveis influencia a solução
  proposta pelo modelo.
• Averiguar como é que desvios à solução proposta
  pelo modelo influencia a utilidade (eficiência)
  do sistema representado.

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Análise de sensibilidade
4. Validar o modelo
5,15
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Recurso à simulação
4. Validar o modelo

• Retomemos o exemplo da mercearia. Uma forma de
  validar o modelo descritivo que se utilizou seria
  simular (pode-se simular quase tudo) a entrada de
  clientes, os seus tempos de espera e as
  desistências.
• Após diversas simulações, registar valores médios
  de comprimento médio da fila, tempo de espera
  médio e percentagem de desistentes.
• Os valores obtidos devem ser muito semelhantes
  aos obtidos com o modelo.

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5. Escolher uma decisão com base no modelo

• Determinar os valores das variáveis controláveis
  que, satisfazendo as restrições do modelo,
  conduzem ao valor máximo da medida de utilidade
  ou eficiência.
• Em geral há três formas de busca de soluções
  óptimas
• métodos analíticos
• métodos de optimização
• métodos heurísticos

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Métodos analíticos
5. Escolher uma decisão

• Métodos de Análise Infinitésimal (diferenciação,
  procura de máximos e mínimos, extremos
  condicionados,etc.)
• Permitem obter uma representação explicita da
  solução.
• Leque de aplicações muito restrito.

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Métodos analíticos (exemplo)
5. Escolher uma decisão

• Seja X uma variável aleatória de densidade
  f(x,?), onde ? é um parâmetro desconhecido.
• Se x1, x2,..., xn forem realizações de X então a
  verosimelhança da amostra é uma função de ?
  definida por
• L(?) f(x1, ?) f(x2, ?)... f(xn, ?)
• A estimativa da máxima verosimelhança é o valor
  ? que torna máximo o valor de L(?) ou, de modo
  equivalente, o valor máximo de
• log L(?) log f(x1, ?) log f(x2, ?)... log
  f(xn, ?)

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Métodos analíticos (exemplo)
5. Escolher uma decisão

• A condição necessária de optimalidade impõe
• Por exemplo, se X é uma variável aleatória com
  distribuição de Poisson de parâmetro ? então
  aquela condição é equivalente a

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Métodos de optimização
5. Escolher uma decisão

• Processo sistemático de gerar aproximações
  sucessivas para a solução.
• Garantia de convergência ao fim de um número
  finito ou infinito de passos.
• Esforço computacional pode ser demasiado elevado.
  
• Normalmente, convergência para a solução do
  problema é assegurada apenas quando o modelo
  possui uma propriedade adicional - convexidade.

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Métodos de optimização (exemplo)
5. Escolher uma decisão

• Seja f(x) uma função real unidimensional.
  Pretende-se o valor x que torna f(x)0.
• O método de Newton-Raphson consiste no seguinte
  processo iterativo
• a partir de um ponto inicial x0.
• Sob hipóteses adicionais sobre f o método
  converge.

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Métodos de optimização (exemplo)
5. Escolher uma decisão

• Método de Newton-Raphson aplicado à determinação
  da maior raiz positiva de f(x)x6-x-1

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Métodos de optimização (exemplo)
5. Escolher uma decisão

• O método de Newton-Raphson impõe que f seja
  diferenciável.
• Quando f não é diferenciável deve utilizar-se o
  método da bissecção, entre outros.
• O facto de o método de Newton-Raphson usar
  informação da derivada de f faz com a sua
  convergência seja mais rápida.

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Métodos heurísticos
5. Escolher uma decisão

• São frequentes os problemas que não podem ser
  resolvidos por métodos de optimização.
• Os métodos heurísticos são também métodos
  iterativos, mas que se baseiam em regras de
  senso comum.
• Em geral, não é possível garantir convergência
  para a solução do problema mas é possível
  encontrar uma boa solução rapidamente.

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Métodos heurísticos (exemplo)
5. Escolher uma decisão
13,14
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Análise crítica das soluções iniciais
5. Escolher uma decisão

• As soluções propostas pelo modelo podem também
  servir de instrumento para validação do modelo.
• Esta análise deve ser conduzida com o agente de
  decisão. Dificuldade há que distinguir entre as
  críticas genuínas e a tendência natural de
  rejeição de soluções inovadoras.
• Deficiências que podem ser detectadas nesta fase
• deficiente definição de objectivos
• falta de restrições
• representação inadequada das relações entre
  componentes do modelo.

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6. Apresentar os resultados

• Os elementos da organização a quem se destina a
  análise devem ser envolvidos desde o início e não
  apenas nesta fase.
• A esses elementos deve ser facultado um atractivo
  e sistema de apoio à decisão e simples de
  manipular que lhes permita averiguar o
  comportamento do modelo em diversas
  circunstâncias (what if ...).
• Preferencialmente, o benefício da adopção do
  modelo deve ser demonstrado de forma prospectiva
  ou retrospectiva.

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7. Implementar e monitorar continuamente

• Os elementos da organização que vão utilizar o
  modelo devem também ser envolvidos desde o início
  e não apenas nesta fase.
• O analista é responsável
• pela implementação do novo sistema até que este
  se torne rotina.
• pela monitorização do sistema de forma que o
  modelo permaneça válido e eficaz ao longo do
  tempo.
• Um caso de sucesso, mesmo que de pequena
  dimensão, é chave para a análise de outros
  problemas.