Onde Elastiche

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Onde Elastiche
Taiwan
data 20/09/1999tempo 174719.0
GMTlatitudine 23.78 longitudine 121.09
profondità 33 kmmagnitudo 6.5 Mb
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Foreword

• Equazioni del moto
• Descrizione della sorgente sismica
• Teoria che leghi la descrizione della sorgente e
  le equazioni del moto

• Ipotesi
• Sovrapposizione lineare del moto
• Il moto sismico può essere determinato unicamente
  dalla combinazione
• delle proprietà della sorgente e del mezzo di
  propagazione

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Propagazione delle onde sismiche

• Ingredienti
• Sforzo, deformazione
• Legge di Hooke (comportamento elastico)
• Equazione del moto

• Ipotesi semplificative
• gli spostamenti associati alla propagazione delle
  onde sono di piccola entità
• Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo
  elastico (ritorno alla posizione di equilibrio
  una volta rimossa la sollecitazione esterna)

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corpo elastico e isotropo
Spostamento di P in P
Spostamento di Q in Q
Regime di elasticità lineare
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Tensore delle deformazioni infinitesime
Per ogni coppia di indici i,j
rotazione rigida
deformazione infinitesima
Tensore delle deformazioni infinitesime
Leffetto di una deformazione infinitesima su di
un elemento linea dxi è quello di cambiare la
posizione relativa dei suoi estremi di una
quantità pari a eijdxj
Il tensore delle deformazioni è simmetrico
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Definizione di Sforzo
n
tn
t
tt
t
Forze di superficie Forze agenti tra particelle adiacenti
Forze di volume f(x,t) Forze tra particelle non adiacenti (es. forza gravitazionale) Forze dovute allapplicazione di un processo fisico esterno al corpo stesso (es. effetto di un magnete sulle particelle di ferro)
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Tensore degli Sforzi
Volume infinitesimo
La condizione di elasticità lineare equivale a
supporre il cubetto in uno stato prossimo
allequilibrio di conseguenza il momento
associato agli sforzi agenti sul cubetto deve
essere nullo
Il tensore degli sforzi è un tensore simmetrico
Qualunque forza applicata su di una generica
superficie può essere scritta come combinazione
lineare delle componenti del tensore degli sforzi
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Legge di Hooke
Relazione Costutiva
Un corpo che obbedisce alla relazione costitutiva
è lineare e elastico
Per un materiale omogeneo e isotropo
in termini di deformazione
in termini di spostamento
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Equazioni del moto
Cerchiamo una relazione tra accelerazione, forze
di volume e sforzi agenti su di un volume V
racchiuso da una superficie S.
Bilancio delle forze agenti sul volume V
Teorema della divergenza
Bilancio delle forze scritto per componenti
Equazione del moto
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Equazione donda
Legge di Hooke
Equazione del moto
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Teorema di Lamè
soddisfa la condizione
Se il campo di spostamento
E se le forze di volume e i valori iniziali di u e
vengono espressi in termini di potenziali di
Helmotz
nulli
Con
Allora esistono due potenziali ? e ? per u con le
seguenti proprietà
Onda P
Onda S
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Teorema di Reciprocità (Betti)
Il teorema di reciprocità stabilisce una
relazione tra una coppia di soluzioni per lo
spostamento generate da diverse forze applicate
condizioni al bordo su S condizioni iniziali t0
condizioni al bordo su S condizioni iniziali
t0 generalmente diverse
Il teorema del Betti non coinvolge condizioni
iniziali per . È dunque valido anche
se le quantità vengono
valutate in un tempo t1t e le quantità
vengono valutate in un tempo t2t-t
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Integriamo il Betti in un intervallo temporale
(o,t)
Il termine di accelerazione si riduce ad un
termine che dipende solo dal valore iniziale e
finale del sistema
se esiste un tempo t0 in cui sono
ovunque nulli attraverso il volume V e quindi
allora
Campo di spostamento in condizione di passato
quiescente
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Funzione di Green per lelastodinamica
Il campo di spostamento generato da una sorgente
impulsiva unidirezionale è la funzione di Green
per lelastodinamica .
Impulso unitario applicato
in direzione Gin(x,t?,t) la
i-esima componente dello spostamento generato
La funzione di Green è un tensore che dipende sia
dalle coordinate sia della sorgente sia del
ricevitore, e soddisfa lequazione
Reciprocità
Se le condizioni al bordo sono indipendenti dal
tempo, il tempo origine può essere traslato
Se G soddisfa condizioni al bordo omogenee su S,
sfruttando il teorema di Betti è possibile
dimostrare che
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Teorema di Rappresentazione
Campo di spostamento in condizione di passato
quiescente
Il teorema di rappresentazione è uno strumento
che consente di sintetizzare lo spostamento
generato da sorgenti realistiche a partire dallo
spostamento generato dalla sorgente più semplice
un impulso unidirezionale, localizzato nello
spazio e nel tempo
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Teorema di Rappresentazione
Superficie terrestre
Piano di faglia
Se lo scorrimento avviene su S, il campo di
spostamento è discontinuo e lequazione del moto
non viene soddisfatta allinterno di S. Tuttavia
è soddisfatta allinterno della superficie
Continuità delle trazioni sulla superficie S
Assenza di forze di volume
S è scelta in modo tale che G sia continua su di
essa assieme a tutte le sue derivate
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Campo donda generato da una sorgente puntiforme
con simmetria sferica
Tempo di ritardo
Se la sorgente si estende su di un volume V
Equazione di Poisson
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Soluzione per la funzione di Green per
lelastodinamica in un mezzo omogeneo illimitato
e isotropo
Teorema di rappresentazione
Troviamo i due potenziali per la forza tali che
Usiamo la soluzione dellequazione di Poisson per
costruire i potenziali
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Il secondo passo per trovare lo spostamento è
quello di risolvere lequazione donda per i
potenziali di Lamè
La soluzione è data da
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La funzione di Green per lo spostamento dovuta ad
una forza di volume X0(t) nella direzione x1 è
dunque
Introducendo i coseni direttori
Termine di near field
Far-Field onde S
Far-Field onde P
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Proprietà del campo far-field onda P

• Si attenua come r-1
• Ha una forma donda che dipende dalla
  combinazione spazio-temporale t-r/a, si propaga
  con una velocità pari ad a
• La forma donda è proporzionale alla forza
  applicata al tempo di ritardo
• La direzione dello spostamento uP in x è
  parallela alla direzione ? dalla sorgente. Il
  campo donda far-field per londa P è
  longitudinale il moto delle particelle ha la
  stessa direzione del verso di propagazione

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Proprietà del campo far-field onda S

• Si attenua come r-1
• Ha una forma donda che dipende dalla
  combinazione spazio-temporale t-r/ß, si propaga
  con una velocità pari ad ß
• La forma donda è proporzionale alla forza
  applicata al tempo di ritardo
• La direzione dello spostamento uS in x è
  perpendicolare alla direzione ? dalla sorgente.
  Il campo donda far-field per londa S è
  trasversale il moto delle particelle è normale
  alla direzione di propagazione