Fondements

1
Fondements avenir incertain

• Professor André Farber
• Solvay Business School
• Université Libre de Bruxelles

2
Rappel Certitude 1 période
Valeur actuelle
Critères de choix dinvestissement
Interprétation de la VAN
Mesure laccroissement de richesse des
propriétaires de lentreprise Indépendante des
préférences de choix intertemporels
Valeur de lentreprise
Non endettée
Endettée
3
Introduction de lincertitude

• Deux approches possibles
• Source dincertitude états de la  nature 
  (Arrow 1953)
• Applications contemporaines actifs dérivés
• Rentabilités financières variable aléatoires
  distribuées selon loi normale (Markowitz 1952)
• Aujourdhui analyse dans le cadre détats de la
  nature
• TEMPS 1 période
• INCERTITUDE Une seule source dincertitude la
  conjoncture
• 2 états possibles
• Bonne conjoncture b Probabilité p
• Mauvaise conjoncture m Probabilité 1-p

4
Exemple
Prix aujourdhui Cash flow bonne conjoncture (0.40) Cash flow mauvaise conjoncture(0.60)
Zéro-coupon unitaire (ZC) 100 105 105
Action (A) 50 100 25
Taux dintérêt sans risque rf
Cash flow attendu
Rentabilité attendue de laction
5
Actifs financiers
Prix aujourdhui Cash flow bonne conjoncture (p) Cash flow mauvaise conjoncture(1-p)
Zéro-coupon unitaire v1 1 1
Action a CFA1bua CFA1mda
Taux dintérêt sans risque rf
Cash flow attendu
Rentabilité attendue de laction
6
Evaluation de laction

• Le prix de laction est égale à la valeur
  actuelle
• du cash flow
• actualisé au taux de rentabilité attendue

7
Evaluation dun actif nouveau
Valeur Bonne conjoncture Proba 0.40 Mauvaise conjoncture Proba 0.60 Rentabilité attendue
Nouvel actif ? 30 50 ?
Evaluation par comparaison est-il possible de
reproduire lactif nouveau en combinant
lobligation et laction?
Nous devons résoudre le systéme déquations
suivant
Solution nZC 0.54
nS - 0.27
La valeur du portefeuille est donc V 0.54 100
(-0.27) 50 40.6
Conclusion la valeur de lactif nouveau est V
40.6 Sinon, ARBITRAGE
8
Titres contingents / Options digitales
Une option digitale est un titre qui paie 1 dans
un état du monde, 0 autrement. (also known as
Arrow-Debreu securities, contingent claims)
Valeur Etat B Etat M
Option B v1b 1 0
Option D v1m 0 1
2 états? 2 options D
Evaluation
nZC -0.0032 nA 0.0133
nZC 0.0127 nA -0.0133
vu 0.35
vd 0.60
Les prix doptions digitales sont appelés prix
des titres contigents, prix détats
9
Prix de titres contingents
A léquilibre, le prix payé pour recevoir 1 dans
un état du monde doit être le même dans les deux
titres
Dans le cas contraire, il y aurait une
possibilité darbitrage

• Un portefeuille darbitrage est un portefeuille
• - dont la valeur est négative ou nulle (vous ne
  payez rien ou, mieux encore, vous êtes payé pour
  détenir ce portefeuille)
• dont la valeur est positive dans au moins un des
  états du monde et nulle dans les autres.

Labsence darbitrage est lune des conditions
les plus générale déquilibre (dans un marché à
léquilibre, pas de repas gratuit!)
10
Théorème fondamental
Dans un marché complet (nombre dactifs nombre
détats), la condition dabsence darbitrage (NA)
est satisfaite si et seulement si il existe des
prix détats strictement positifs tels que
Dans notre exemple
Valuing Asset 3
Expected return
11
A more general formulation
Price Value up state Proba p Value down state Proba 1 - p
Zéro-coupon 1 1rf 1rf
Action a ua da
12
Utilisation des prix détats
Une fois connus les prix détats, lévaluation
est simple La valeur dun actif générant des
cash flows futurs C1b et C1m est
La valeur actuelle dun projet de coût I qui
rapporte C1b ou C1m