Fondements normatifs de l

1
Fondements normatifs de lintervention publique
2
Evaluation normative générale

• X, un ensemble d états sociaux mutuellement
  exclusifs
• État social description complète de tous les
  aspects pertinents dune situation sociale.
• N un ensemble dindividus N 1,..,n indicés
  par i
• Exemple 1 X ?n (lensemble des distributions
  de revenu)
• Exemple 2 X ?nl (lensemble des allocations
  de l biens (publics et privés) entre les n
  individus.
• ?i la préférence de lindividu i pour les
  états sociaux dans X (préférence stricte ?i ,
  indifférence ?i).
• ?i réflexive, complète et transitive (un
  ordre).
• Question Comment comparer les éléments de X sur
  la base de leur  désirabilité normative  en
   respectant  les préférences des individus ? 

3
Evaluation normative générale

• Arrow (1950) a formulé le problème comme suit.
• Soit (?1 ,, ?n) un profil de préférences
  individuelles.
• ? lensemble de toutes les relations binaires sur
  X.
• ? ? ?, lensemble de tous les ordres sur X.
• D ? ?n, lensemble (domaine) de tous les profils
  de préférences a priori admissibles.
• Problème (K. Arrow 1950) Trouver une  fonction
  de décision collective C D ? ? qui associe à
  chaque profil (?1 ,, ?n) de préférences
  individuelles une relation binaire ? C (?1 ,,
  ?n)
• x ? y  x est faiblement mieux que y dun point
  de vue normatif lorsque les préférences
  individuelles sont (?1 ,, ?n)

4
Exemples de fonctions de décision collective ?

• 1 Dictature de lindividu h x ? y si et
  seulement si x ?h y (pas très séduisant)
• 2 Classement a priori des états sociaux du
  point de vue dun code exogène (ex Charia).
  Supposons que le code exogène compare les états
  sociaux sur la base de lordre ?c (x ?c y x
  (une femme conduit une voiture) est faiblement
  mieux que y (la femme ne conduit pas).
• Dans cet exemple C(?1 ,, ?n) ?c pour tous les
  profils (?1 ,, ?n).
• N.B. Même si tout le monde est convaincu que y
  est strictement préférable à x, le critère
  normatif (charia) dicte que x est mieux y.

5
Exemples de fonctions de décision collective

• 3 Règle de lunanamité) (critère de Pareto)
  x ? y ssi x ?i y pour tout individu i.
• Intéressant mais profondément incomplet (ne peut
  comparer deux états sociaux entre lesquels les
  individus sont en désaccord)
• 4 règle majoritaire. x ? y ssi
  i ? N x ?i y ? i ? N y ?i x. Très
  utilisée, mais ne donne pas toujours lieu à un
  classement transitif des états sociaux. (Paradoxe
  de Condorcet).

6
Paradoxe de Condorcet
7
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
8
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Marine Nicolas François
9
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
Marine Nicolas François
10
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
François Marine Nicolas
Marine Nicolas François
11
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
François Marine Nicolas
Marine Nicolas François
Une majorité (1 et 3) préfère Marine à Nicolas
12
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
François Marine Nicolas
Marine Nicolas François
Une majorité (1 et 3) préfère Marine à Nicolas
Une majorité (1 et 2) préfère Nicolas à François
13
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
François Marine Nicolas
Marine Nicolas François
Une majorité (1 et 3) préfère Marine à Nicolas
Une majorité (1 et 2) préfère Nicolas à François
La transitivité exigerait que Marine soit
préférée socialement à François
14
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
François Marine Nicolas
Marine Nicolas François
Une majorité (1 et 3) préfère Marine à Nicolas
Une majorité (1 et 2) préfère Nicolas à François
La transitivité exigerait que Marine soit
préférée socialement à François mais
15
Paradoxe de Condorcet
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Marine
François Marine Nicolas
Marine Nicolas François
Une majorité (1 et 3) préfère Marine à Nicolas
Une majorité (1 et 2) préfère Nicolas à François
La transitivité exigerait que Marine soit
préférée socialement à François mais
Une majorité (2 et 3) préfère strictement
François à Marine
16
Exemple 5 règle  positionnelle  de Borda

• Définie que si X est fini.
• Pour chaque individu i et état social x, on
  définit le score de Borda de x pour i par le
  nombre détats sociaux que i considère comme
  (faiblement) pires que x.
• La règle dite  de Borda  compare les états
  sociaux sur la base de la somme de ces scores de
  Borda individuels.
• Illustrons cette règle par un exemple.

17
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas François Jean-Luc Marine
François Marine Nicolas Jean-Luc
Marine Nicolas Jean-Luc François
18
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
19
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
20
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
21
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
22
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
23
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marne 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Nicolas est la meilleure alternative, suivie par
Marine et François. Jean-Luc est la pire des
alternatives
24
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Problème Le classement social de François,
Nicolas et Marine dépend des préférences pour
lalternative (non-pertinente) Jean-Luc
25
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Mettre Jean-Luc au dessus de Nicolas pour 1 et
baisser Jean-Luc sous Marine pour 2 modifie le
classement social de Marine et Nicolas!
26
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Jean-Luc
2 Marine 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Nicolas 3 Jean-Luc
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Mettre Jean-Luc au dessus de Nicolas pour 1 et
baisser Jean-Luc sous Marine pour 2 modifie le
classement social de Marine et Nicolas!
27
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Marine
2 Jean-Luc 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Jean-Luc 3 Nicolas
2 François 1
Somme des scores de Marine 8
Somme des scores de Nicolas 9
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Mettre Jean-Luc au dessus de Nicolas pour 1 et
baisser Jean-Luc sous Marine pour 2 modifie le
classement social de Marine et Nicolas!
28
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Marine
2 Jean-Luc 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Jean-Luc 3 Nicolas
2 François 1
Somme des scores de Marine 9
Somme des scores de Nicolas 8
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Mettre Jean-Luc au dessus de Nicolas pour 1 et
baisser Jean-Luc sous Marine pour 2 modifie le
classement social de Marine et Nicolas!
29
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Marine
2 Jean-Luc 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Jean-Luc 3 Nicolas
2 François 1
Somme des scores de Marine 9
Somme des scores de Nicolas 8
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Mettre Jean-Luc au dessus de Nicolas pour 1 et
baisser Jean-Luc sous Marine pour 2 modifie le
classement social de Marine et Nicolas!
30
Règle de Borda
Individu 3
Individu 2
Individu 1
Nicolas 4 François 3 Marine
2 Jean-Luc 1
François 4 Marine 3 Nicolas
2 Jean-Luc 1
Marine 4 Jean-Luc 3 Nicolas
2 François 1
Somme des scores de Marine 9
Somme des scores de Nicolas 8
Somme des scores de François 8
Somme des scores de Jean-Luc 5
Le classement social de Marine et Nicolas dépend
des préférences individuelles pour Jean-Luc!
31
Peut-on trouver dautres règles de décision
collectives ?

• Arrow (1950) a proposé une approche axiomatique à
  cette question.
• Il a proposé 5 axiomes qui, daprès lui,
  devraient être satisfaits par toute règle de
  décision collective digne dintérêt.
• Il a démontré quil nexistait aucune règle qui
  satisfaisait ces 5 axiomes.
• Ce théorème dimpossibilité est resté célèbre, en
  douchant deau glacée les espoirs, hérités des
  lumières, de pouvoir obtenir une définition
  satisfaisante de lintérêt général en fonction
  des intérêts individuels.

32
5 propriétés désirables dune règle de décision
collective

• 1) Non-dictature. Il nexiste pas dindividu h
  dans N tel que, quels que soient les états
  sociaux x et y, et le profil de préférences (?1
  ,, ?n) dans le domaine D, x ?h y implique x ?
  y (avec ? C(?1 ,, ?n))
• 2) Rationalité Collective. Le classement social
  devrait être un ordre (i.e. limage de C devrait
  être ?) (violée par la règle de lunanimité
  (complétude) et par la règle de la majorité
  (transitivité)
• 3) Domaine non-restreint. D ?n (toutes les
  combinaisons logiquement concevables dordres de
  préférence individuels sont a priori possibles)

33
5 propriétés désirables dune règle de décision
collective

• 4) Principe faible de Pareto. Pour tous les états
  sociaux x et y, et pour tous les profils (?1 ,,
  ?n) ? D , x ?i y pour tous les individus i ? N
  doit impliquer x ? y (où ? C(?1 ,, ?n) (violé
  par la règle de décision collective résultant
  dun code exogène)
• 5) Indépendance binaire par rapport aux
  alternatives non-pertinentes. Pour nimporte
  quels deux profils (?1 ,, ?n) et (?1 ,, ?n) ?
  D et nimporte quels deux états sociaux x et y
  tels que x ?i y ? x ?i y pour tous les
  individus i, on doit avoir x ? y ? x ? y où ?
  C (?1 ,, ?n) et ? C (?1 ,, ?n) Le
  classement social de x et y ne doit dépendre que
  des classements que font les individus eux-mêmes
  de x et y.

34
Théorème dArrow Il nexiste pas de fonction de
décision collective C D ? ? qui vérifie les
axiomes 1-5.
35
Touts les axiomes dArrow sont indépendants

• La dictature de lindividu h satisfait Pareto, la
  rationalité collective, lindépendance binaire
  par rapport aux alternatives non-pertinentes et
  le domaine non-restreint mais viole la
  non-dictature.
• Le classement des états sociaux sur la base dun
  code traditionnel satisfait tous les axiomes
  dArrow autres que le principe faible de Pareto.
  
• La règle majoritaire satisfait la non-dictature,
  Pareto, lindépendance binaire par rapport aux
  alternatives non-pertinentes et le domaine
  non-restreint mais viole la rationalité
  collective (tout comme la règle de lunanimité).
• La règle de Borda satisfait la non-dictature,
  Pareto, le domaine non-restreint et la
  rationalité collective mais viole lindépendance
  binaire par rapport aux alternatives
  non-pertinentes.
• Nous verrons sous-peu quil existe des règles de
  décision collective qui viole le domaine
  non-restreint mais qui vérifient tous les autres
  axiomes dArrow.

36
Comment sortir du nihilisme du théorème dArrow ?

• Stratégie naturelle assouplir les axiomes
• Difficile dassouplir la non-dictature.
• On peut peut être assouplir lexigence que le
  classement normatif des états sociaux soit un
  ordre (En particulier, on peut accepter quil
  soit  incomplet )
• On peut restreindre le domaine des profils de
  préférences a priori admissibles.
• On peut assouplir lindépendance par rapport aux
  alternatives non-pertinentes
• Quid de Pareto ?

37
Assouplir le principe de Pareto ? (1)

• Non! diront spontanément les économistes, qui
  utilisent le principe de Pareto comme critère l
  defficacité.
• Beaucoup déconomistes abusent du principe de
  Pareto.
• Etant donné un ensemble A détats sociaux dans X,
  un état a est efficace dans A sil nexiste pas
  dautres états dans A que tout le monde préfère
  faiblement à a et quau moins un individu préfère
  strictement à a.
• Abus fréquent si a est efficace dans A et b ne
  lest pas, alors a est normativement meilleur que
  b.
• Autre abus (principe damélioration potentielle
  au sens de Pareto) a est normativement mieux que
  b sil est possible de compenser les perdants du
  passage de b à a tout en conservant gagnants les
  gagnants!
• Un seul usage est correct Si tout le monde
  faiblement préfère x à y, alors x est
  normativement mieux que y.

38
Illustration Boîte dEdgeworth
xA2
B
xB1
y
?2
z
x
xA1
A
?1
xB2
39
Illustration Boîte dEdgeworth
xA2
B
xB1
x est efficace z nest pas efficace
y
z
x
xA1
A
xB2
40
Illustration Boîte dEdgeworth
xA2
B
xB1
x est efficace z nest pas efficace
y
x nest pas mieux que z du point de vue du
principe de Pareto.
z
x
xA1
A
xB2
41
Illustration Boîte dEdgeworth
xA2
B
xB1
y est mieux que z du point de vue du principe
de Pareto.
y
z
x
xA1
A
xB2
42
Devrait-on assouplir le principe de Pareto? (2)

• Trois variantes de ce principe (qui vérifient
  toutes le fait que si x ?i y pour tous les
  individus i, alors x ? y)
• Pareto faible si x ?i y pour tout i ? N, alors x
  ? y.
• Pareto indifférence si x ?i y pour tout i ? N,
  alors x ? y.
• Pareto fort si x ?i y pour tout i ? N et x ?h y
  pour au moins un individu h, alors x ? y.
• Sen (1970 J. Pol. E.) a formulé une critique
  restée célèbre du Principe de Pareto lorsque
  combiné avec lhypothèse de domaine
  non-restreint, il entre en conflit avec des
  valeurs libérales largement acceptées (Paradoxe
  libéral).

43
Paradoxe libéral de Sen (1970) (1)

• Libéralisme minimal un respect pour la  sphère
  personnelle  de lindividu (John Stuart Mills).
• Exemple x est un état social dans lequel Marie
  dort sur le dos et y est un état social identique
  à x à tout égard autre que le fait que, dans y,
  Marie dort sur dos.
• Un libéralisme minimal exigerait, semble t-il,
  que Marie soit   dictateur  (décisif) dans
  toute décision impliquant un choix entre entre x
  et y.

44
Paradoxe libéral de Sen (1970) (2)

• Libéralisme minimal Il existe au moins deux
  individus h et i ? N, et quatre états sociaux
  (pas nécessairement distincts un à un) w, x,, y
  et z tels que h est décisif sur x et y et i est
  décisif sur w et z.
• Théorème dimpossibilité de Sen Il nexiste pas
  de fonction de décision collective C D?? qui
  satisfait simultanément les axiomes de domaine
  non-restreint, de Pareto-faible et de libéralisme
  minimal.

45
Preuve du théorème dimpossibilité de Sen

• Un roman Lamant de Lady Chatterley.
• 2 individus Prude et Libertin
• 4 états sociaux tout le monde lit le roman (w),
  personne ne lit le roman (x), Prude seulement lit
  le roman (y), Libertin seulement lit le roman
  (z).
• Par laxiome du libéralisme minimal, Prude est
  décisif sur x et y (et sur w et z) et Libertin
  est décisif sur x et z (et sur w et y)
• Puisque le domaine est non-restreint, le profil
  où Prude préfère x à y et y à z et Libertin
  préfère y à z et z à x est possible.
• Par libéralisme minimal (Prude est décisif sur x
  et y), x est socialement mieux que y et, par
  Pareto, y est socialement mieux que z.
• Il sensuit par transitivité que x est
  socialement mieux que z malgré le fait que le
  libéralisme minimal aurait exigé un respect, par
  la société, de la préférence de Libertin pour z
  par rapport à x.

46
Le paradoxe libéral de Sen

• Indique un conflit possible entre libéralisme
  minimal et respect des préférences individuelles
  lorsque le domaine dans lequel ces préférences
  peuvent être choisies nest pas restreint a
  priori.
• Lorsque les individus sont autorisés à avoir
  nimporte quelle préférence (y compris pour des
  états sociaux qui  ne les regardent pas ), il
  est impossible de respecter simultanément ces
  préférences (au sens faible de Pareto) et le
  principe libéral de la souveraineté de lindividu
  sur les éléments de sa  sphère personnelle .
• Le paradoxe libéral de Sen sattaque à la
  combinaison du principe de Pareto et de
  lhypothèse de domaine non-restreint.
• Il suggère donc que cette dernière hypothèse est
  peut être trop forte.

47
Restreindre le domaine des préférences (1)

• Une possibilité imposer des hypothèses
  structurelles additionelles sur lensemble X.
• Exemple X est lensemble de toutes les
  allocations de l biens (l gt 1) entre les n
  individus (i.e. X ?nl)
• Dans ce cadre, il serait naturel dimposer des
  hypothèses additionnelles sur les préférences
  individuelles.
• Par exemples, les individus pourraient être
  égoïstes (ne sintéresser quà leur panier, et
  pas à celui des autres), et pourraient avoir des
  préférences convexes, continues et localement
  non-saturables.
• Malheureusement, aucune de restrictions de
  domaine de ce type (domaines  économiques ) ne
  permet de sortir des conclusions négatives du
  théorème dArrow.

48
Restreindre le domaine des préférences (2)

• Une restriction classique unimodalité
  (single-peakedness)
• Supposons quil existe un ordre universellement
  reconnu R (avec facteur asymétrique P) sur
  lensemble X détats sociaux (e.g. la position
  des politiques sur un axe gauche droite, le
  caractère élevé ou non dun taux dimpôt, etc.)
• Un ordre de préférence individuel ?i est unimodal
  pour R si, pour nimporte quels trois états x, y
  et z tels que x P y P z , x ?i
  z ? y ?i z et z ?i x ? y ?i x
• Un profil de préférences (?1 ,, ?n) est dit
  unimodal sil existe un ordre R par rapport
  auquel chaque préférence individuelle du profil
  est unimodale.
• Dsp ? ?n lensemble de tous les profils
  unimodaux.
• Théorème (Black 1947) Si le nombre dindividus
  est impair et si D Dsp , il existe des
  fonctions de décision collective C D? ? autre
  que la dictature dun individu qui satisfait
  Pareto et lindépendence binaire par rapport aux
  alternatives non-pertinentes. La règle
  majoritaire est lune dentre elles.

49
Préférences unimodales ?
Unimodale
gauche
droite
Nicolas
Jean-Luc
François
50
Préférences unimodales ?
Unimodale
gauche
droite
Nicolas
Jean-Luc
François
51
Préférences unimodales ?
unimodale
gauche
droite
Nicolas
Jean-Luc
François
52
Préférences unimodales ?
unimodale
gauche
droite
Nicolas
Jean-Luc
François
53
Préférences unimodales ?
Pas unimodale
gauche
droite
Nicolas
Jean-Luc
François
54
Préférences unimodales ?
Pas unimodale
gauche
droite
Nicolas
Jean-Luc
François
55
Commentaires sur le théorème de Black

• Très utilisé en économie publique.
• Dans chaque ensemble détats sociaux où chaque
  individu a au plus un état favori, létat social
  qui est préféré à tout autre par une majorité
  dindividus (gagnant de Condorcet) est létat
  social favori de lindividu médian (par rapport à
  lensemble des états sociaux favoris)(théorème
  dit de lélecteur médian)
• Notice the odd restriction on the number of
  individuals

56
Assouplir lindépendence binaire par rapport aux
alternatives non-pertinentes ?

• Justification de cet axiome parcimonie de
  linformation utilisée.
• La règle de De Borda viole cet axiome.
• Dans des domaines économiques, on trouve beaucoup
  de critères dévaluation sociale qui violent cet
  axiome, mais qui satisfont tous les autres
  axiomes dArrow.
• Exemple célèbre le surplus agrégé du
  consommateur.

57
Surplus agrégé du consommateur ?

• X ?nl (ensemble de toutes les allocations de l
  biens entre n individus).
• xi ? ?l le panier de lindividu i dans x.
• ?i, un ordre continu, convexe, monotone croissant
  et égoïste sur ?nl
• Egoïsme pour tout i ? N, w, x, y et z ? ?nl
  tels que wi xi et yi zi, x ?i y ? w ?i z
• Légoïsme implique que nous pouvons concevoir les
  préférences individuelles comme nétant définie
  que sur ?l

58
Surplus agrégé du consommateur ?

• Les individus évoluent dans un environnement
  concurrentiel.
• Lindividu i confronté aux prix p (p1,.,pl)
  et dispose dune richesse de wi.
• B(p,wi)x ? ?l p.x ? wi (Ensemble de budget)
• La préférence ?i de i sur ?l induit la
  préférence (indirecte) ?Ii sur toutes les paires
  de configuration de prix et de richesse (p,w) ?
  ?l1 par
• (p,w) ?Ii (p,w) ? pour tout x? B(p,w), il
  existe un x ? B(p,w) pour lequel x ?i x.
• Ui ?l ??, une représentation numérique de ?i
  (Ui(x) ? Ui (y) ? x ?i y) (elle existe en
  vertu du théorème de Debreu (1954) elle est
  unique à une transformation croissante près)
• Vi ?l1 ?? une représentation numérique de ?Ii.
• Vi(p,wi)  lutilité maximale obtenue par i
  lorsque que confronté aux prix p ? ?l avec une
  richesse de wi 
• Problème danalyse coût-bénéfice appliquée
  Comparer des configurations alternatives de prix
  et de richesse.

59
Surplus agrégé du consommateur ?

• Une représentation monétaire des préférences
• Pour toute configuration de prix p ? ?l et tout
  niveau u dutilité, on definit E(p,u) par

E(p,u) associe, à tout niveau u dutilité le
montant minimal de dépense nécessaire, aux prix
p, pour atteindre ce niveau dutilité.
Cette fonction (de dépenses) est croissante par
rapport à lutilité Étant donnés les prix.. Elle
fournit pour cette raison Une représentation
numérique (en unités monétaires) des préférences.
60
Aggregate consumers surplus ?
Direct money metric
Gives the amount of money needed at prices p to
be as well-off as with bundle x
Indirect money metric
Gives the amount of money needed at prices p to
achieve the level of satisfaction associated to
prices q and wealth w .
money metric utility functions depend upon
reference prices
61
Aggregate consumers surplus ?
These money metric utilities are connected to
observable demand behavior
Marshallian (ordinary) demand functions
Hicksian (compensated) demand functions (depends
upon unobservable utility level)
62
Aggregate consumers surplus ?
Six important identities (valid for every p ?
?l, w ? ? and u ? ?)
(1)
(2)
(3)
(4)
Roys identity
(5)
Sheppards Lemma
(6)
63
Aggregate consumers surplus ?
64
Aggregate consumers surplus ?
65
Aggregate consumers surplus ?
66
Aggregate consumers surplus ?
67
Aggregate consumers surplus ?
68
Aggregate consumers surplus ?
69
Aggregate consumers surplus ?
70
Aggregate consumers surplus ?
71
Aggregate consumers surplus ?
72
Aggregate consumers surplus ?
identity (1)
73
Aggregate consumers surplus ?
74
Aggregate consumers surplus ?
75
Aggregate consumers surplus ?
76
Aggregate consumers surplus ?
77
Aggregate consumers surplus ?
Recurrent application of Sheppards lemma
78
Aggregate consumers surplus ?
79
Aggregate consumers surplus ?
80
Aggregate consumers surplus ?
81
Aggregate consumers surplus ?
82
Aggregate consumers surplus ?
83
Aggregate consumers surplus ?
84
A one good, one price illustration
price
a
pj
Hicksian demand
b
pj
Surplus area pjabpj
quantity
?ni1xHij(p1,,pj-1,pj,pj1,,pl,ui)
?ni1xHij(p1,,pj-1,pj,pj1,,pl,ui)
85
Aggregate consumers surplus ?

• Usually done with Marshallian demand (rather than
  Hicksian demand)
• Marshallian surplus is not a correct measure of
  welfare change for one consumer but is an
  approximation of two correct measures of welfare
  change Hicksian surplus at prices p and Hicskian
  surplus at prices p (Willig (1976), AER,
   consumers surplus without apology).
• Widely used in applied welfare economics

86
Is the ranking of social states based on the sum
of money metric a collective decision rule?

• It violates slightly the unrestricted domain
  condition (because it is defined on all selfish,
  convex, monotonic and continuous profile of
  individual orderings on ?nl but not on all
  profiles of orderings (unimportant violation)).
• It satisfies non-dictatorship and Pareto
• It obviously satisfies collective rationality if
  the reference prices used to evaluate money
  metric do not change
• It violates binary independence of irrelevant
  alternatives (prove it).
• Ethical justification for Aggregate consumers
  surplus is unclear

87
Normative evaluation with individual utility
functions

• What does it mean to say that Bob prefers social
  state x to social state y ?
• Economic theory is not very precise in its
  interpretation of preferences
• A preference is usually considered to be an
  ordering of social states that reflects the
  individuals  objective  or  interest  and
  which rationalizes individuals choice
• More precise definition preferences reflects the
  individuals  well-being  (happiness, joy,
  satisfaction, welfare, etc.)
• What happens if one views the problem of defining
  general interest as a function of individual
  well-being rather than individual preferences ?
• Philosophical tradition Utilitarianism
  (Beccaria, Hume, Bentham) The best social
  objective is to achieve the maximal  aggregate
  happiness .

88
What is happiness ?

• Objective approach happiness is an objective
  mental state
• Subjective approach happiness is the extent to
  which desires are satisfied
• See James Griffin  Well being Its meaning,
  measurement and moral importance , London,
  Clarendon 1988
• Can happiness be measured ?
• Can happiness be compared accross individuals ?
• If the answers given to these two questions are
  positive, how should we aggregate individuals
  happinesses ?

89
Can we measure happiness ? (1)

• Suppose ?i is an ordering of social states
  according to is well-being.
• Can we get a  measure  of this happiness ?
• In a weak ordinal sense, the answer is yes
  (provided that the set X is finite or, if X is
  some closed and convex subset of ?nl , if ?i is
  continuous (Debreu (1954))
• Let Ui X ? ? be a numerical representation of ?i
  
• Ui is such that, for every x and y in X,
  Ui(x) ? Ui(y) ? x Ri y
• Ordinal measure of happiness

90
Can we measure happiness ? (2)

• Ordinal measure of happiness defined up to an
  increasing transform.
• Definition g A? ? (where A ? ?) is an
  increasing function if, for all a, b ? A, a gt b ?
  g(a) gt g(b)
• If Ui is a numerical representation of ?i, and if
  g ?? ? is an increasing function, then the
  function h X ? ? defined by h(x) g(Ui(x)) is
  also a numerical representation of ?i
• Example if ?i is the ordering on ?2 defined
  by (x1,x2) ?i (y1,y2) ? lnx1 lnx2 ?
  lny1 lny2 , then the functions defined, for
  every (z1,z2), by
• U(z1,z2) lnz1 lnz2
• G(z1,z2) e U(z1,z2) elnz1elnz2 z1z2
• H(z1,z2) -1/G(z1,z2) -1/(z1z2) all represent
  numerically ?i

91
Can we measure happiness ? (3)

• The three functions of the previous example are
  ordinally equivalent.
• Definition Function U is said to be ordinally
  equivalent to function G (both functions having X
  as domain) if, for some increasing function
  g ?? ?, one has U(x) g(G(x)) for every x ?
  X
• Remark ordinal equivalence is a symmetric
  relation, because if g ?? ? is increasing, then
  its inverse is also increasing.
• Ordinal measurement of well-being is weak because
  all ordinally equivalent functions provide the
  same information about this well-being.

92
Can we measure happiness ? (4)

• Ordinal notion of well-being does not enable one
  to talk about changes in well-being.
• For example a statement like  I get more extra
  happiness from my first beer than from my
  second  is meaningless with ordinal measurement
  of well-being.
• proof let a, b and c be the alternatives in
  which I drink, respectively, no beer, one beer
  and two beers.

93
Can we measure happiness ? (4)

• Ordinal notion of well-being does not enable one
  to talk about changes in well-being.
• For example a statement like  I get more extra
  happiness from my first beer than from my
  second  is meaningless with ordinal measurement
  of well-being.
• proof let a, b and c be the alternatives in
  which I drink, respectively, no beer, one beer
  and two beers. If U is a function that measures
  ordinally my happiness, the statement  I get
  more extra happiness from the first beer than
  from the second  writes U(b)-U(a) gt U(c)
  U(b) ? U(b) gt U(c)U(a)/2.

94
Can we measure happiness ? (4)

• Ordinal notion of well-being does not enable one
  to talk about changes in well-being.
• For example a statement like  I get more extra
  happiness from my first beer than from my
  second  is meaningless with ordinal measurement
  of well-being.
• proof let a, b and c be the alternatives in
  which I drink, respectively, no beer, one beer
  and two beers. If U is a function that measures
  ordinally my happiness, the statement  I get
  more extra happiness from the first beer than
  from the second  writes U(b)-U(a) gt U(c)
  U(b) ? U(b) gt U(c)U(a)/2. Yet this last
  statement is not preserved by a monotonic
  transformation.

95
Can we measure happiness ? (4)

• Ordinal notion of well-being does not enable one
  to talk about changes in well-being.
• For example a statement like  I get more extra
  happiness from my first beer than from my
  second  is meaningless with ordinal measurement
  of well-being.
• proof let a, b and c be the alternatives in
  which I drink, respectively, no beer, one beer
  and two beers. If U is a function that measures
  ordinally my happiness, the statement  I get
  more extra happiness from the first beer than
  from the second  writes U(b)-U(a) gt U(c)
  U(b) ? U(b) gt U(c)U(a)/2. Yet this last
  statement is not preserved by a monotonic
  transformation. U(b) gt U(c)U(a)/2 being true
  does not imply that g(U(b)) gt g(U(c))g(U(a))/2
  is true for every increasing function g ?? ?.

96
Can we measure happiness ? (4)

• Ordinal notion of well-being does not enable one
  to talk about changes in well-being.
• For example a statement like  I get more extra
  happiness from my first beer than from my
  second  is meaningless with ordinal measurement
  of well-being.
• proof let a, b and c be the alternatives in
  which I drink, respectively, no beer, one beer
  and two beers. If U is a function that measures
  ordinally my happiness, the statement  I get
  more extra happiness from the first beer than
  from the second  writes U(b)-U(a) gt U(c)
  U(b) ? U(b) gt U(c)U(a)/2. Yet this last
  statement is not preserved by a monotonic
  transformation. U(b) gt U(c)U(a)/2 being true
  does not imply that g(U(b)) gt g(U(c))g(U(a))/2
  is true for every increasing function g ?? ?.
  For example, having 3 gt (41)/2 does not imply
  having 33 gt (4313)/2

97
Can we measure happiness ? (5)

• Stronger measurement of well-being cardinal.
• Suppose U X? ? and G X? ? are two measures of
  well-being. We say that they are cardinally
  equivalent if and only if there exists a real
  number a and a strictly positive real number b
  such that, for every x ? X, U(x) a bG(x).
• We say that a cardinal measure of well-being is
  unique up to an increasing affine transform (g
  ?? ? is affine if, for every c ? ?, it writes
  g(c) a bc for some real numbers a and b gt 0
• Statements about welfare changes make sense with
  cardinal measurement
• If U(x)-U(y) gt U(w)-U(z), then (abU(x)-(abU(y))
  bU(x)-U(y) gt bU(w)-U(z) (if b gt 0)
  (a bU(w)-(abU(z))

98
Can we measure happiness ? (6)

• Example of cardinal measurement in sciences
  temperature. Various measures of temperature
  (Kelvin, Celsius, Farenheit)
• Suppose U(x) is the temperature of x in Celcius.
  Then G(x) 32 9U(x)/5 is the temperature of x
  in Farenheit and H(x) -273 U(x) is the
  temperature of x in Kelvin
• With cardinal measurement, units and zero are
  meaningless but a difference in values is
  meaningful.

99
Can we measure happiness ? (7)

• Measurement can even more precise than cardinal.
  An example is age, which is what we call
  ratio-scale measurable.
• If U(x) is the age of x in years, then G(x)
  12U(x) is the age of x in months and H(x)
  U(x)/100 is the age of x in centuries. Zero
  matters for age. A ratio scale measure keeps
  constant the ratio. Statements like  my
  happiness today is one third of what it was
  yesterday  are meaningful if happiness is
  measured by a ratio-scale
• Functions U X? ? and G X? ? are said to be
  ratio-scale equivalent if and only if there
  exists a strictly positive real number b such
  that, for every x ? X, U(x) bG(x).

100
Can we measure happiness ? (8)

• Notice that the precision of a measurement is a
  decreasing function of the  size  of the class
  of functions that are considered equivalent.
• Ordinal measurement is not precise because the
  class of functions that provide the same
  information on well-being is large. It contains
  indeed all functions that can be obtained from
  another by mean of an increasing transform.
• Cardinal measurement is more precise because the
  class of functions that convey the same
  information than a given function is restricted
  to those functions that can be obtained by
  applying an affine increasing transform
• Ratio-scale measurement is even more precise
  because equivalent measures are restricted to
  those that are related by a increasing linear
  function.

101
Can we measure happiness ? (9)

• What kind of measurement of happiness is
  available ?
• Ordinal measurement is  easy  you need to
  observe the individual choosing in various
  circumstances and to assume that her choices are
  driven by the pursuit of happiness. If choices
  are consistent (satisfy revealed preferences
  axioms), you can obtain from choices an ordering
  of all objects of choice, which can be
  represented by a utility function
• Cardinal measurement seems plausible by
  introspection. But we havent find yet a device
  (rod) for measuring differences in well-being
  (like the difference between the position of a
  mercury column when water boils and its position
  when water freezes).
• Ratio-scale is even more demanding it assumes
  the existence of a zero level of happiness (above
  you are happy, below you are sad). Not
  implausible, but difficult to find. Level at
  which an individual is indifferent between dying
  and living ?

102
Can we define general interest as a function of
individuals well-being ?

• As before, we assume that there are n individuals
• Ui X ? ? a (utility) function that measures
  individual is well-being in the various social
  states
• (U1 ,, Un) a profile of individual utility
  functions
• ?the set of all logically conceivable real valued
  functions on X
• DU ? ?n the domain of  plausible  profiles of
  utility functions
• A social welfare functional is a mapping W DU ?
  ? that associates to every profile (U1 ,, Un)
  of individual utility functions a binary relation
  R W(U1,,Un))
• Problem how to find a  good  social welfare
  functional ?

103
Examples of social welfare functionals

• Utilitarianism x R y ??iUi(x) ? ?iUi(y) where R
  W(U1,,Un)
• x is no worse than y iff the sum of happiness is
  no smaller in x than in y
• Venerable ethical theory Beccaria, Bentham,
  Hume, Stuart Mills.
• Max-min (Rawls) x R y ? min (U1(x),, Un(x)) ?
  min (U1(y),, Un(y)) where R W(U1,,Un)
• x is no worse than y if the least happy person in
  x is at least as well-off as the least happy
  person in y

104
Contrasting utilitarianism and max-min
u2
utility possibility set
u1 u2
u1
105
Contrasting utilitarianism and max-min
u2
u
-1
u1 u2
Utilitarian optimum
u
u1
u
u
106
Contrasting utilitarianism and max-min
u2
u
-1
u1 u2
Rawlsian optimum
u
u1
u
u
107
Contrasting utilitarianism and max-min
u2
Utilitarian optimum
u1 u2
Rawlsian optimum
Best feasible egalitarian outcome
u1
108
Contrasting utilitarianism and Max-min

• Max-min and utilitarianism satisfy the weak
  Pareto principle (if everybody (including the
  least happy) is better off, then things are
  improving).
• Max-min is the most egalitarian ranking that
  satisfies the weak Pareto principle
• Max-min does not satisfy the strong Pareto
  principle (Max min does not consider to be good a
  change that does not hurt anyone and that
  benefits everybody except the least happy
  person)
• Utilitarianism does not exhibit any aversion to
  happiness-inequality. It is only concerned with
  the sum, no matter how the sum is distributed

109
Examples of social welfare functionals

• Utilitarianism and Max-min are particular
  (extreme) cases of a more general family of
  social welfare functionals
• Mean of order r family (for a real number r ? 1)
  x R y
  ??iUi(x)r1/r ? ?iUi(y)r1/r if r ? 0 and
  x R y ??ilnUi(x) ? ?ilnUi(y) otherwise
  (where R W(U1,,Un))
• If r 1, Utilitarianism
• As r ? -?, the functional approaches Max-min
• r ? 1 if and only if the functional is weakly
  averse to happiness inequality.

110
Mean-of-order r functional
u2
r0
u1 u2
r1
u1
111
Mean-of-order r functional
u2
r0
u1 u2
r1
u1
112
Mean-of-order r functional
u2
r -?
r0
u1 u2
r1
u1
113
Mean-of-order r functional
u2
r -?
r0
u1 u2
r1
u1
114
Mean-of-order r functional
u2
r -?
r0
u1 u2
r1
r?
u1
115
Mean-of-order r functional
u2
u1 u2
Max-max indifference curve
r?
u1
116
Extension of Max-min

• Max-min functional does not respect the strong
  Pareto principle
• There is an extension of this functional that
  does Lexi-min (due to Kolm (1972)
• Lexi-min x R y ? There exists some j ? N such
  that U(j)(x) ? U(j)(y) and U(j)(x) U(j)(y)
  for all j lt j where, for every z ? X,
  (U(1)(z),,U(n)(z)) is the (ordered) permutation
  of (U1(z)Un(z)) such that U(j1)(z) ? U(j)(z)
  for every j 1,,n-1 (R W(U1,,Un))

117
Information used by a social welfare functional

• When defining a social welfare functional, it is
  important to specify the information on the
  individuals utility functions used by the
  functional
• Is individual utility ordinally measurable,
  cardinally measurable, ratio-scale measurable ?
• Are individuals utilities interpersonally
  comparable ?

118
Information used by a social welfare functional
(ordinal)

• A social welfare functional W DU? ? uses ordinal
  and non-comparable (ONC) information on
  individual well-being iff for all (U1,Un) and
  (G1,,Gn) ? DU such that Ui gi(Gi) for some
  increasing functions gi ?? ? (for i 1,n), one
  has W (U1,Un) W(G1,,Gn)
• A social welfare functional W DU? ? uses ordinal
  and comparable (OC) information on individual
  well-being iff for all (U1,Un) and (G1,,Gn) ?
  DU such that Ui g(Gi) for some increasing
  function g ?? ? (for i 1,n), one has W
  (U1,Un) W(G1,,Gn)

119
Information used by a social welfare functional
(cardinal)

• A social welfare functional W DU? ? uses
  cardinal and non-comparable (CNC) information on
  individual well-being iff for all (U1,Un) and
  (G1,,Gn) ? DU such that Ui aiGibi for some
  strictly positive real number ai and real number
  bi (for i 1,n), one has W (U1,Un)
  W(G1,,Gn)
• A social welfare functional W DU? ? uses
  cardinal and unit-comparable (CUC) information on
  individual well-being iff for all (U1,Un) and
  (G1,,Gn) ? DU such that Ui aGibi for some
  strictly positive real number a and real number
  bi (for i 1,n), one has W (U1,Un)
  W(G1,,Gn)
• A social welfare functional W DU? ? uses
  cardinal and fully comparable (CFC) information
  on individual well-being iff for all (U1,Un) and
  (G1,,Gn) ? DU such that Ui aGib for some
  strictly positive real number a and real number b
  (for i 1,n), one has W (U1,Un) W(G1,,Gn)

120
Information used by a social welfare functional
(ratio-scale)

• A social welfare functional W DU? ? uses
  ratio-scale and non-comparable (RSNC) information
  on individual well-being iff for all (U1,Un) and
  (G1,,Gn) ? DU such that Ui aiGi for some
  strictly positive real number ai (for i 1,n),
  one has W (U1,Un) W(G1,,Gn)
• A social welfare functional W DU? ? uses
  ratio-scale and comparable (RSC) information on
  individual well-being iff for all (U1,Un) and
  (G1,,Gn) ? DU such that Ui aGi for some
  strictly positive real number a (for i 1,n),
  one has W (U1,Un) W(G1,,Gn)

121
Information used by a social welfare functional

• There are some connections between these various
  informational invariance requirements
• Specifically, ONC ? CNC ? CUC ? CFC ? RSFC and,
  similarly, OFC ? CFC and CUC ? CFC. On the other
  hand, it is important to notice that CUC does not
  imply nor is implied by OFC.
• What information on individuals well-being are
  the examples of welfare functional given above
  using ?

122
Information used by a social welfare functional

• Max-min, Max-max, lexi-min, lexi-max are all
  using OFC information.
• Utilitarianism uses CUC information
• Mean of order r uses RSC information.
• Under various informational assumptions, can we
  obtain sensible welfare functionals ?

123
Desirable properties on the Social Welfare
functional

• 1) Non-dictatorship. There exists no individual h
  in N such that, for all social states x and y,
  for all profiles (U1,,Un) ? DU, Uh(x) gt Uh(y)
  implies x P y (where R W(U1,,Un))
• 2) Collective rationality. The social ranking
  should always be an ordering (that is, the image
  of W should be ?)
• 3) Unrestricted domain. DU ?n (all logically
  conceivable combinations of utility functions are
  a priori possible)

124
Desirable properties on the Social Welfare
Functional

• 4a) Strong Pareto. For all social states x and y,
  for all profiles (U1,,Un) ? DU , Ui(x) ? Ui(y)
  for all i ? N and Uh(x) gt Uh(y) for some h should
  imply x P y (where R W(U1,,Un))
• 4b) Pareto Indifference. For all social states x
  and y, for all profiles (Ui,,Un) ? DU , Ui(x)
  Ui(y) for all i ? N implies x I y (where R
  W(U1,,Un))
• 5) Binary independance from irrelevant
  alternatives. For every two profiles (U1,,Un)
  and (U1,,Un) ? DU and every two social states
  x and y such that Ui(x) Ui(x) and Ui(y)
  Ui(y) for all i, one must have x R y ? x R y
  where R W(U1,,Un)) and R W(U1,,Un))

125
Welfarist lemma If a social welfare functional W
satisfies 2, 3, 4b and 5, there exists an
ordering R on ?n such that, for all profiles
(U1,,Un) ? DU,
x R y ? (U1(x),,Un(x)) R (U1(y),,Un(y))
(where R W(U1,,Un))
126
Welfarist lemma

• Quite powerful The only information that matters
  for comparing social states is the utility levels
  achieved in those states
• Ranking of social states can be represented by a
  ranking of utility vectors achieved in those
  states.
• This lemma can be used to see whether Arrows
  impossibility result is robust to the replacement
  of information on preference by information on
  happiness
• As can be guessed, this robustness check will
  depend upon the precision of the information that
  is available on individuals happiness.

127
Limpossibilité Arrovienne demeure si le bien
être nest pas comparable entre individus

• Théorème si une fonctionnelle de bien être
  social W DU ? ? satisfait les conditions 2-5 et
  nutilise quune information CNC ou ONC sur les
  bien êtres des individus, alors W est
  dictatoriale.
• Proof Diagrammatique (utilise le lemme du
  welfarisme, et illustrée pour deux individus)

128
Illustration
u2
u
u1
129
Illustration
u2
A
u
u
u1
130
Illustration
u2
A
u
u
B
u1
131
Illustration
u2
A
C
u
u
B
u1
132
Illustration
u2
A
C
u
u
D
B
u1
133
Illustration
u2
A
C
Better than u by Pareto
u
u
D
B
u1
134
Illustration
u2
A
C
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
135
Illustration
u2
By NC, all points in C are ranked in the same
way vis-à-vis u
A
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
136
Illustration
u2
By NC, all points in C are ranked in the same
way vis-à-vis u
A
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
137
Illustration
u2
a
A
b
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
138
Illustration

• The social ranking of a (a1,a2) and u(u1,u2)
  must be the same than the social ranking of
  (?1a1?1, ?2a2?2) and (?1u1?1, ?2u2?2) for
  every numbers ?i gt 0 and ?i (i 1, 2).
• Using ?i (ui-bi)/(ui-ai) gt 0 and
  ?i ui(bi-ai)/(ui-ai), this implies that the
  social ranking of b (?1a1?1, ?2a2?2) and u
  (?1u1?1, ?2u2?2) must be the same than the
  social ranking of a and u

139
Illustration
u2
a
A
b
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
140
Illustration
u2
a
A
b
Better than u by Pareto
u
u
all points here are also ranked in the same way
vis-à-vis u
B
Worse than u by Pareto
u1
141
Illustration
by Pareto, a and b can not be indifferent to
u (and to themselves) by transitivity)
u2
a
A
b
Better than u by Pareto
u
u
all points here are also ranked in the same way
vis-à-vis u
B
Worse than u by Pareto
u1
142
Illustration
u2
by NC, the (strict) ranking of region
C vis-à-vis u must be the opposite of the
(strict) ranking of D vis-à-vis u
A
C
u
u
D
B
u1
143
Illustration
u2
A
C
u
u
D
B
u1
144
Illustration
u2
A
c
u
u
d
D
B
u1
145
Illustration

• The social ranking of c (c1,c2) and u
  (u1,u2) must be the same than the social ranking
  of (?1c1?1, ?2c2?2) and (?1u1?1, ?2u2?2) for
  every numbers ?i gt 0 and ?i (i 1, 2).
• Using ?i (di-ui)/(ui-ci) gt 0 and
  ?i (u2i-dici)/(ui-ci), this implies that the
  social ranking of u (?1c1?1, ?2c2?2) and d
  (?1u1?1, ?2u2?2) must be the same than the
  social ranking of c and u
• If c is above u, d is below u and if c is below
  u, d is above u

146
Illustration
u2
A
C
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
147
Illustration
u2
A
Worse
Better than u by Pareto
u
u
Better
B
Worse than u by Pareto
u1
148
Illustration
u2
A
Worse
u
u
Better
B
u1
149
Illustration
u2
Individual 1 is the dictator
A
Worse
u
u
Better
B
u1
150
Illustration
u2
A
C
Better than u by Pareto
u
u
D
B
Worse than u by Pareto
u1
151
Illustration
u2
A
Better
Better than u by Pareto
u
u
Worse
B
Worse than u by Pareto
u1
152
Illustration
u2
A
Better
u
u
Worse
B
u1
153
Illustration
u2
A
Individual 2 Is the dictator
Better
u
u
Worse
B
u1
154
Moral of this story

• Arrows theorem is robust to the replacement of
  preferences by well-being if well-being can not
  be compared interpersonally (notice that cardinal
  measurability does not help if no interpersonal
  comparison is possible)
• What if well-being is ratio-scale measurable and
  interpersonnally non-comparable ?
• Welfarist theorem gives nice geometric intuition
  on whats going on, see Blackorby, Donaldson and
  Weymark (1984), International Economic Review
• Generalization to n individuals is easy

155
Allowing ordinal comparability

• A strengthening of non-dictatorship Anonymity
• A social welfare functional W is anonymous if for
  every two profiles (U1,,Un) and (U1,,Un) ? DU
  such that (U1,,Un) is a permutation of
  (U1,,Un), one has R R where R W(U1,,Un))
  and R W(U1,,Un))
• Dictatorship of individual h is clearly not
  anonymous.
• Hence, by virtue of the previous theorem, there
  are no anonymous social welfare functionals that
  use ON or CN information on individuals
  well-being and that satisfy axioms 2)-5).
• We will now show that this impossibility vanishes
  if we allow for ordinal comparisons of well-being
  accross individuals.
• Specifically, we are going to show that if we
  allow the social welfare functional to use OC
  information on individual well-being, then the
  only anonymous social welfare functionals are
  positional dictatorships

156
Positional dictatorship

• A social welfare functional W is a positional
  dictatorship if there exists a rank r ? 1,,n
  such that, for every two social states x and y,
  and every profile (U1,,Un) of utility functions
  U(r)(x) gt U(r)(y) ? x P y where R W(U1,,Un))
  and, for every z ? X, (U(1)(z),,U(n)(z)) is the
  ordered permutation of (U1(z),Un(z)) satisfying
  U(i)(z) ? U(i1)(z) for every i 1,,n-1
• Max-min and Lexi-min are positional dictatorships
  (for r 1). So is Max-max (r n). Another one
  would be the dictatorship of the smallest integer
  greater than or equal to n/2 (median)
• Positional dictatorship rules only specify the
  social ranking that prevails when the positional
  dictator has a strict preference. They dont
  impose anything on the social ranking when the
  positional dictator is indifferent.
• Hence, positional dictatorship does not enable a
  distinction between lexi-min and max-min.

157
A new theorem

• Theorem A social welfare functional W DU ? ?
  is anonymous, satisfies conditions 2-5 and uses
  OC information on individuals well-being if and
  only if W is a positional dictatorship.

158
Remarks on this theorem

• If we drop anonymity, we get other kinds of
  dictatorships (including non-anonymous ones)
• Proof of this result is straightforward, but
  cumbersome (see Gevers, Econometrica (1979) and
  Roberts R. Eco. Stud. (1980).
• Max dictatorship is not very appealing. Can we
  eliminate it ?
• Yes if we impose an axiom of  minimal equity  ,
  due to Hammond (Econometrica, 1976)
• A social welfare functional W satisfies
  Hammonds minimal equity principle if for every
  profile (U1,,Un) and every two social states x
  and y for which there are individuals i and j
  such that Uh(x) Uh(y) for all h ? i, j, and
  Uj(y) gt Uj(x) gt Ui(x) gt Ui(y), one has x P y
  where R W(U1,,Un))

159
The Lexi-min theorem

• Theorem A social welfare functional
  W DU ? ? is anonymous, satisfies conditions
  2-5, uses OC information on individuals
  well-being and satisfies Hammonds equity
  principle if and only if it is the Lexi-min .

160
Cardinal measurability and unit comparability

• Theorem An anonymous social welfare functional
  W DU ? ? satisfies conditions 2-5 and uses CUC
  information on individuals well-being if and only
  if it is utilitarian.

161
Remarks on this utilitarian theorem

• If anonymity is dropped, then asymmetric
  utilitarianism emerges (social ranking R is
  defined by x R y ? ?i?N?iUi(x) ? ?i?N?iUi(y) for
  some non-negative real numbers ?i (i 1,,n)
  (numbers are strictly positive if strong Pareto
  is satisfied).
• Notice that if weak Pareto only is required (some
  ?i can be zero), this family of social orderings
  contains standard dictatorship (which is not
  surprising)

162
Collective decision with asymmetric information

• So far, we have assumed that the information
  needed to make collective decision (in our
  setting, on individual preferences or utility
  functions) is available to the public autority.
• Yet, one of the main difficulty of public
  economics is that the public authority does not
  have the information.
• What are people preferences for police
  protection, etc. ?
• Question how can the public authority decides
  when it does not know peoples preference ?

163
Collective decision making under asymmetric
information

• X universe of social states
• A, a subset (menu) of X
• D ? ?n, the set of all admissible preference
  profiles.
• A social choice correspondence is a mapping C D?
  A that associates to every preference profile (R1
  ,, Rn) ? D a set C (R1 ,, Rn) of  socially
  optimal  alternatives in A.
• A social choice correspondence is called a social
  choice function if C (R1 ,, Rn) 1 for all (R1
  ,, Rn) ? D.

164
Example of a social choice correspondence that
is not a function

• X ?nl (set of all allocations of l goods
  accross n individuals)
• A x ? ?nl x1jxnj ? ?j for j 1,,l for
  some ? ? ?l (an Edgeworth box)
• D th